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【精品】新版高中数学人教A版选修1-2习题:第三章数系的扩充与复数的引入检测含解析

小中高 精品 教案 试卷

第三章检测
(时间:90 分钟 满分:120 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的)
1.已知 a,b∈R,则“a=b”是“(a-b)+(a+b)i 为纯虚数”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 即a=b,且 a≠-b,也就是 a=b≠0.故选 ( )

解析 (a-b)+(a+b)i 为纯虚数的充要条件是实数 a,b 满足 B. 答案 B

2.如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数的点是(

)

A.A

B.B 则其共轭复数为

C.C

D.D

解析 设 z=a+bi(a,b∈R), 所以表示 z与 的两点关于x 轴对称. 故选 B. 答案 B 3.设 i 是虚数单位,若复数 a A.-3 解析 由已知,得 a 答案 D 4.设 z=1+i(i 是虚数单位),则 A.-1-i 解析 ∵z=1+i, =(1-i)+(1+2i-1)=1+i,故选 D. 答案 D 5.设 a,b 为实数,若复数 制作不易 推荐下载 则 1 B.-1+i 等于 C.1-i D.1+i
-

∈R)是纯虚数,则 a 的值为( C.1 D.3

)

B.-1
-

复数a

-

为纯虚数,∴a-3=0,即 a=3.

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A.a C.a 解析 由 可得1+2i=(a-b)+(a+b)i.

由两复数相等可以得到 答案 A 6.设 i 是虚数单位,复数 i3 A.-i 解析 原式=-i 答案 D
-

-

解得

故选A.

B.i

C.-1

D.1

7.已知复数 z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有( A.a≠0 C.a≠0,且 a≠2 B.a≠2 D.a≠-1 - - 解得a=-1.

)

解析 若 z 为纯虚数,则

而已知 z 不是纯虚数,所以 a≠-1.故选 D. 答案 D 8.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则 “a 是 点 在第四象限 的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数 z 在复平面内对应的点 M 的坐标为(a+2,1-2a),所以点 M 在 第四象限的充要条件是 a+2>0,且 1-2a<0,解得 a 答案 C 9.投掷两枚骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( A 解析 因为(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i 为实数,所以 n2=m2.因为骰子的点数为正数,所以 m=n,则可以取 1,2,…,6,共 6 种可能.所以所求概率为 故选C. ) 故选C.

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答案 C 10.复数 z=(x-2)+yi(x,y∈R)在复平面内对应向量的模为 2,则|z+2|的最大值为( A.2 解析 因为|z|=2,所以 即(x-2)2+y2=4, 故点(x,y)在以(2,0)为圆心,2 为半径的圆上, 而|z+2|=|x+yi| 它表示点(x,y)与原点的距离,结合图形(图略)易知|z+2|的最大值为 4,故选 B. 答案 B B.4 C.6 D.8 )

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)
11.i 是虚数单位,计算 解析
-

的结果为
-- -

答案 -i 12.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 为虚数单位),则 z 的实部是 解析 ∵i(z+1)=-3+2i,∴z+1 答案 1 13.设复数 z 在对应法则 f 的作用下和复数 w z= 解析 ∵f:z→w 答案 2-i 14.在复平面内,若 z=m2(1+i)-m(4+i)-6i 所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是 解析 ∵z=m -4m+(m -m-6)i 所对应的点在第二象限, - 答案 (3,4) 15.若关于 x 的方程 x2+(2-i)x+(2m-4)i=0 有实数根,则纯虚数 m= 解析 设 m=bi(b∈R,且 b≠0),方程的实根为 x0,则有 从而有 于是 答案 4i 解得 - 于是m=4i. . 解得3<m<4.
2 2

. 故z 的实部为 1.

-

- -

· i 对应,即 f:z→w

· i,则当 w=-1+2i 时,复数

. · i,且 w=-1+2i, · i=-1+2i,则 .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

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16.(8 分)已知复数 z=(2+i)m2 (1)零; (2)虚数; (3)纯虚数;

-

求实数 取什么值时 复数 是

(4)复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数. 分析 先将复数 z 化简整理为 a+bi(a,b∈R)的代数形式,再根据复数的分类及其几何意义求解即可. 解 因为 m∈R,所以复数 z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i. (1)当 即m=2 时,z 为零.

(2)当 m2-3m+2≠0,即 m≠2,且 m≠1 时,z 为虚数. (3)当 即m= 时,z 为纯虚数.

(4)当 2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即 m=0 或 m=2 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的 复数. 17.(8 分)设复数 z 的共轭复数为 已知 (1)求复数 z及 (2)求满足|z1-1|=|z|的复数 z1 对应的点的轨迹方程. 解 (1 故 z=2+i.
-

(2)设 z1=x+yi(x,y∈R), 则|(x-1)+yi| 故(x-1)2+y2=5. 即复数 z1 对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y2=5. 18.(9 分)已知 z=1+i,a,b 为实数. (1)若 ω=z2+ (2)若
-

求 求 的值

解 (1)∵ω=z2+ ∴|ω| (2)由条件 -

-



即 ∴(a+b)+(a+2)i=1+i,

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解得 19.(10 分)已知复数 z 满足|z| (1)求 z; (2)若 z,z2,z-z2 在复平面上对应的点分别为 A,B,C,求 cos∠ABC. 解 (1)设 z=x+yi(x,y∈R). ∵|z| 又 z =(x+yi) =x -y +2xyi, ∴2xy=2,∴xy=1. 由①②可解得 ∴z=1+i 或 z=-1-i. 又 x>0,y>0,∴z=1+i. (2)z2=(1+i)2=2i,z-z2=1+i-2i=1-i. 如图所示, 或 ②
2 2 2 2

的虚部为

所对应的点在第一象限



∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1),

∴cos∠ABC 20.(10 分)已知复数 z1=cos α+isin α,z2=cos β-isin β,且 z1 求复数

分析 解答本题的关键是利用复数相等的充要条件先将复数问题实数化,再结合三角函数的知识求解. 解 由 z1 得 cos α+isin α

-

∴cos α+isin α+cos β+isin β 即(cos α+cos β)+i(sin α+sin β)

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∴cos2α+sin2α

-

-

整理,得 cos β=1

β,



将①代入 sin2β+cos2β=1,可解得 sin β=0 或 sin β 当 sin β=0 时,cos β=1,cos α= 当 sin β ∴z1= 时,cos β= α=1,sin α=0. 或z1=1,z2=

.x 本 虑 头 回 再 然 抢 出 一 果 如 小 较 间 答 排 安 合 值 分 易 难 各 道 知 略 粗 题 览 浏 先 笔 动 于 急 不 后 卷 到 拿 淡 Comingbackhetv,flydIswTVrup!试 阵 上 装 轻 掉 丢 全 会 社 校 庭 家 平 将 要 需 生 学 成 加 参 力 压 少 减 松 放 吸 呼 深 做 当 适 定 稳 来 自 等 真 认 静 、 ” 能 我 “ 用 时 。 节 调 场 临 行 进 绪 情 张 紧 解 缓 示 暗 过 通 可 , 备 准 理 心 的 前 考

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