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2016届黑龙江省牡丹江一中高三上学期9月月考数学(理)


2016 届黑龙江省牡丹江一中高三上学期 9 月月考数学(理) 第Ⅰ 卷(选择题) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一个选项符合题意的)
1、下列函数中,值域为 (0, ? ?) 的是( A: y ? 5
1 2? x



B: y ? (

1 1? x ) 3

C: y ? ( )

1 x ) ?1 2

D: y ? 1 ? 2 x

2、在下列结论中,正确的结论为(

①“ p 且 q ”为真是“ p 或 q ”为真的充分不必要条件; ②“ p 且 q ”为假是“ p 或 q ”为假的充分不必要条件; ③“ p 或 q ” 为真是“ ? p ”为假的必要不充分条件; ④“ ? p ” 为真是“ p 且 q ”为假的必要不充分条件; A:①② B:①③ C:②④ D:③④

3、对于 0 ? m ? 4 中的任意 m ,不等式 x 2 ? m x ? 4 x ? m ? 3 恒成立,则 x 的取值范 围是( ) A: ? 1 ? x ? 3 B: x ? ?1 C: x ? 3 D: x ? ?1 或 x ? 3


4、设 f ( x) ?| 2 ? x 2 | ,若 0 ? a ? b 且 f (a) ? f (b) ,则 a ? b 的取值范围是(
A: (0, 4) B: (2, 2 2 ) C: (2, 4) D: (0, 2 2 )

5、若 f ( x) 是 R 上的减函数,且 f ( x) 的图像过点 A(0, 3) , B(3, ? 1) ,则不等式
| f ( x ? t ) ? 1 |? 2 的解集为 (?1, 2) , t 的值是(



A: ? 1

B: 0

C: 1

D: 2 )

6、当 x ? (0, 1) 时,不等式 x 2 ? loga ( x ? 1) 恒成立,则实数 a 的取值范围是( A: (2, ? ?) B: [2, ? ?) C: (1, 2) D: (1, 2]

7、已知 p 是 q 的充要条件, r 是 s 的充要条件, q 是 s 的必要条件, r 是 q 的必要 条件,则 r 是 p 的( A:充分不必要条件 C:充分条件 ) B:必要不充分条件 D:既不充分也不必要条件

8 、 设 f ( x) ? lg(10x ? 1) ? ax 是偶函数, g ( x) ?
( A: 1 ) B: ? 1 C: ?

4x ? b 是奇函数,那么 a ? b 的 值为 2x

1 2

D:

1 2

9、已知函数 f ( x) 在定义域 R 上是增函数,且 f ( x) ? 0 ,则 g ( x) ? x 2 f ( x) 的单调 情况一定是( )

A:在 (??, 0) 上递增 B:在 (??, 0) 上递减 C:在 R 上递减 D:在 R 上递增 10、已知二次函数 f ( x) ? 2x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? a ,若在区间 [0, 1] 内至 少存在一 个实数 b ,使 f (b) ? 0 ,则实数 a 的取值范围是( A: (?2, 1)
1 B: (? , 2) 2 1 C: (?2, ? ) 2



1 D: (? , 1) 2

n 11 、 若 x ? R, n ? N , 定 义 M x ? x( x ? 1)(x ? 2) . . x? .n .? (1) , 例 如 ,
3 11 M? 4 ? (?4)(?3)(?2) ? ?24,则函数 f ( x) ? M x ?5 ? sin x 的奇偶性是(



A:是偶函数不是奇函数 C:既是奇函数又是偶函数

B:是奇函数不是偶函数 D:既不是奇函数也不是偶函数

12、定义域和值 域均为 [?4, 4] 的函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图像如图所示,下列命题的 是( )

A:方程 f [ g ( x)] ? 0 有且仅有三个根 C:方程 f [ f ( x)] ? 0 有且仅有两个根

B:方程 g[ f ( x)] ? 0 有且仅有三个根 D:方程 g[ g ( x)] ? 0 有且仅有两个根

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分)

二、填空题: 解答应写出文字说明、 证明过程或演算 步骤, 解答过程书写答题卡的 对应位置,写错不给分.17、 (本小题满分 10 分)
13、 若方程 x 2 ? m x ? 2m ? 0 有两个不相等的正实根, 则实数的取值范围是 14、若函数 f ( x) 满足:对于任意 x1 , x2 ? 0 ,都有 f ( x1 ) ? 0, f ( x2 ) ? 0 ,且 ;

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) 成立。则称函数 f ( x) 具有性质 M 。
给出下列四个函数:① y ? x 3 ② y ? log2 ( x ? 1) ③ y ? 2 x ? 1 ④ y ? sin x 其中具有性质 M 的函数是 ; (满足条件的序号都写出)

?? x ? 6, x ? 2, 15、若函数 f ? x ? ? ? ( a ? 0 且 a ? 1 )的值域是 ? 4, ??? ,则实数 a 3 ? log x , x ? 2, a ?
的取值范 围是 .

16、已知函数 f ( x) ?| x 2 ? 2ax ? b | ( x ? R) ,给出下列命题: ① f ( x) 必是偶函数② f (0) ? f (2) 时, f ( x) 的图像必关于直线 x ? 1 对称 ③若 a 2 ? b ? 0 ,则 f ( x) 在区间 [a, ? ?) 上是增函数④ f ( x) 有最大值 | a 2 ? b | 其中正确命题的序号是 ; 三、解答题:本大题共小题,共分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 。 17、 (本小题满分 12 分) 若关于 x 的不等式: x 2 ? ax ? 6a ? 0 有解,且对解集中的任意 x1 , x 2 ,总有满足

| x1 ? x2 |? 5 ,求实数 a 的取值范围.
18、 ( 本小题满分 12 分)
已 知函数 f ( x) ? log2 ( x ? 1) , 当 点 ( x, y) 在的 y ? f ( x) 图 象 上运动 时,点 ( ,

x y )是 3 2

y ? g ( x) 图象上的点。
⑴ 求 y ? g ( x) 的表达式; ⑵ 当 g ( x) ? f ( x) 时,求 x 的取值范围。

19、 (本小题满分 12 分) 1 3 2 2 设函数 f ( x) ? ? x ? 2ax ? 3a x ? 6 (0 ? a ? 1) 3
(1)函数 f ( x) 的单调区间、极值。 ⑵若当 x ? [a ? 1, a ? 2] 时,恒有 | f ?( x) |? a ,试确定 a 的取值范围。

20、 (本小题满分 12 分)
设 f ( x) ? log 1 ⑴ 求 a 的值; ⑵证明 f ( x) 在区间 (1, ? ?) 内单调递增; ⑶ 若对于区间 [3, 4] 上的每一个 x 值,不等式 f ( x) ? ( 值范围。

1 ? ax 为奇函数, a 为常 数。 x ?1 2

1 x ) ? m 恒成立,求实数 m 的取 2

21、 (本小题满分 12 分)
函数 f ( x) 的定义域为 D : {x | x ? 0} 且满足对于任意 x1 , x2 ? D ,有:

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
⑴ 求 f (1) 的值; ⑵ 判断 f ( x) 的奇偶性并证明; ⑶ 如果 f (4) ? 1, f (3x ? 1) ? f (2 x ? 6) ? 3 ,且 f ( x) 在 (0, ? ?) 上是增函数,求 x 的取值 范围。

22、 (本小题满分 10 分) 已知 c ? 0 ,设 p :函数 y ? c x 在 R 上的单调递减, q :不等式 x? | x ? 2c |? 1 的 解集为 R ,如果 p 和 q 有且只有一个正确,求 c 的取值范围.

牡一中 2016 年高三数学理科9月月考答案
选择 答案 填空 答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

B

B 13
(8,??)





C 14

D

C

D 15

A



A 16 (3)



(1)(3)

1 (0, ] ? (1,?? ) 2

17.解:因为 x ? ax ? 6a ? 0 有解,所以 y ? x 2 ? ax ? 6a 和 x 轴有两个交点
2 2 所以 ? ? 0 ,即 a ? 24a ? 0 ,得 a ? 0或a ? ?24 .













x1 ? x2 ? a, x1 x2 ? ?6a







( x1 ? x2 ) 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4x1 x2 ? a 2 ? 24a ,因为 x1 ? x2 ? 5 所以 ( x1 ? x2 )2 ? 25
2 即 a ? 24a ? 25 得 ? 25 ? a ? 1 .

综上 a 的取值范围是 ? 25 ? a ? ?24,0 ? a ? 1

18.解: (1)令

x y ? X , ? Y , 所以 x ? 3 X , y ? 2Y , 3 2

( 3 X ?1) 因 为 点 ( x, y ) 是 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 上 , 所 以 2Y ? log2 ,即

1 ( 3 X ?1) log 2 2 1 1 ( 3 x ?1) (x ? ? ) ; 所以 g ( x ) ? log 2 2 3 1 ( 3 x ?1) ? log (2x ?1) , (2)由 g ( x) ? f ( x), 得 log 2 2 Y?

?3 x ? 1 ? 0 ? 所以 ? x ? 1 ? 0 解得 0 ? x ? 1 . ?3 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ?

' 2 2 ' 2 2 19. 解: (1) f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a . 令 f ( x) ? ? x ? 4ax ? 3a ? 0 , 得 x ? a或x ? 3a

由表:

x

(??, a)
-

a

(a,3a)
+

3a

(3a,??)
0 -

0

f ' ( x)
f ( x)
递减

4 递增 ? a3 ? 6 3

6

递减

当 x ? (??, a) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为减函数; 当 x ? (3a,??) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 也为减函数; 当 x ? (a,3a) 时, f ' ( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为增函数; 当 x ? a 时, f ( x) 取 得极小值,极小值为 f ( a ) ? ? 得极大值,极大值为 f (3a) ? 6 。 (2)由 f ( x) ? a ,得 ? a ? ? x ? 4ax ? 3a ? a.
2

4 3 a ? 6 ;当 x ? 3a 时, f ( x) 取 3

因为 0 ? a ? 1, 所以 a ? 1 ? 2a ,

f ' ( x) ? ? x 2 ? 4ax ? 3a 2 在 ?a ? 1, a ? 2? 上为减函数.

?f

'

( x) m a x? f ' (a ? 1) ? 2a ? 1, f ' ( x) m i n? f ' (a ? 2) ? 4a ? 4.
?2a ? 1 ? a 4 的解,解得 ? a ? 1. 5 ?4a ? 4 ? ?a

?

?

?

于是问题转化成求不等式组 ?

20.(1)解 ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 1+ax x-1 1 1+ax 1 1-ax ∴log ( )=-log ( )? = >0?1-a2x2=1-x2?a=± 1. 2 -x-1 2 x-1 -x-1 1-ax 检验 a=1(舍),∴a=-1. (2)证明 任取 x1>x2>1,∴x1-1>x2-1>0, ∴0< 2 2 2 2 < ?0<1+ <1+ x1-1 x2-1 x1-1 x2-1

x1+1 x2+1 1 x1+1 1 x2+1 ?0< < ?log ( )>log ( ), 2 2 x2-1 x1-1 x2-1 x1-1 即 f(x1)>f(x2),∴f(x)在(1,+∞)内单调递增.

(3)解

1 f(x)-( )x>m 恒成立. 2

1 令 g(x)=f(x)-( )x,只需 g(x)min>m, 2 用定义可以证明 g(x)在[3,4]上是增函数, 9 ∴g(x)min=g(3)=- , 8 9 9 ∴m<- 时原式恒成立即 m 的取值范围为(-∞,- ). 8 8

21 解 (1)令 x1=x2=1,有 f(1×1)=f(1)+f(1),解得 f(1)=0 (2)f(x)为偶函数,证明如下: 令 x1=x2=-1,有 f[(-1)× (-1)]=f(-1)+f(-1)

,解得 f(-1)=0

令 x1=-1,x2=x,有 f(-x)=f(-1)+f(x),∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数

(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2,f(16×4)=f(16)+f(4)=3. 由 f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 变形为 f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64). ∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式①等价于 f[|(3x+1)(2x-6)|]≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴|(3x+1)(2x-6)|≤64,且(3x+1)(2x-6)≠0. 7 1 1 解得- ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围是{x| - ≤x<- 或- <x<3 或 3<x≤5}. 3 3 3

22.解析:函数 y ? c 在 R 上单调递减 ? 0 ? c ? 1.
x

不等式 x? | x ? 2c |? 1 的解集为R ? 函数y ? x? | x ? 2c | 在R上恒大于 1.

?2 x ? 2c, x ? 2c, ∵ x? | x ? 2c |? ? x ? 2c, ?2c,

? 函数y ? x? | x ? 2c | 在R上的最小值为 ? 不等式 | x ? x ? 2c |? 1的解集为 如果P正确, 且Q不正确, 则 所以c的取值范围为

2c.

1 R ? 2c ? 1 ? c ? . 2 1 0 ? c ? .如果P不正确, 且Q正确, 则 2

c ? 1.

1 (0, ] ? [1,??). 2


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