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线性代数第二章矩阵及其运算23_图文

第三节
主要内容
引例

可逆矩阵

举例 矩阵多项式

逆矩阵的概念
矩阵可逆的充要条件 可逆矩阵的性质

补充例题

一、引例
引例 1 矩阵与复数
引例 2 坐标旋转变换 复数可以用二维有序数组来表示,如复数 a+bi
可表示为 (a , 线性变换的逆变换 b),因此,从结构上看复数是矩阵的 引例 3 在平面直角坐标系 xOy 中,将两个坐标轴同 特殊情形 . 在第二节我们也看到,矩阵与复数相

时绕原点旋转 ? 角(逆时针为正,顺时针为负 ), 仿,有加法、减法、乘法三种运算 . 我们知道,复 设给定一个线性变换 数的乘法运算有逆运算,那么矩阵的乘法运算是否 就得到一个新的直角坐标系 (见图 2. 4). 平面上

? y1 ? a11 x1 ? a12 x2 ? ? ? a1n xn , 也有逆运算呢? 如果有的话,这种运算如何定义, 任何一点 P 在两个坐标系中的坐标分别记为 ?y ? a x ? a x ??? a x ,

二、逆矩阵的概念
定义 7 设 A是 n 阶方阵,若存在 n 阶方
阵B,使得 AB=BA=E (3) 则称矩阵 A 可逆,且称 B 是 A 的逆矩阵,记作 B=A-1.

如果不存在满足(3)的矩阵 B,则称矩阵
A 是不可逆的.

现在的问题是,矩阵 A 满足什么条件时可逆? 可逆方阵的逆阵是否唯一,如何求逆阵?可逆 矩阵有什么性质?这是本节要讨论的问题.

三、矩阵可逆的充要条件
定理 1 如果 n 阶方阵A可逆,则它的逆
阵是唯一的.

证明 设矩阵 证明 B 设矩阵 与 C 都是 B与 A 的逆矩阵,则有 C 都是 A 的逆矩阵,

定理2 n= 阶方阵 A 可逆的充要条件是 AB=BA AB E,  =BA AC = = E,  CA= AC E= ,CA=E ,
|A| ? 0. 如果A 可逆,则 因而 因而
?1

1 * A , (AC B=BEA =B B? ( = AC BE ) = = ( BA B )C= )= EC (BA =)C C= .EC=C . |A| 证毕 其中A* 为方阵A 的伴随矩阵.



可得下述推论:

推论
则 B = A-1.

若 AB = E(或 BA = E),

||B|=| |A|| E|=1, B|=|E|=1, 证明 |A证明 因而 A-1 存在,于是 因而 A-1 存在,于是
-1 -1 -1 A B = EB = (B A-1 =A EB )B = A (A (AB A)B ) = A-1E (AB =) A= . -1E = A-1 .

证毕



若 n 阶方阵 A 的行列式不为零,即 |A| ? 0, 则称 A 为非奇异方阵,否则称 A 为奇异方阵. 说明,方阵 A 可逆与方阵A非奇异是 等价的概念. 定理2不仅给出了方阵可逆的充要条件,而 且给出了求方阵逆阵的一种方法,称这种方法为

伴随矩阵法.

练习: A,B均为n(n≥3)阶方阵,且AB=0,则A与B( A) 均为零矩阵 C) 至少有一个奇异阵 B) 至少有一个零矩阵 D) 均为奇异阵 )

解答:可以等式两边同取行列式 AB=0 ? |AB|=0 ? |A||B|=0,故选C

练习: A,B,C为同阶方阵,A可逆,则下列命题正确的是( A) 若AB=0,则B=0 C) 若AB=CB,则A=C 解答:可以等式两边同乘A-1 AB=0 ? A-1AB = A-10 ? EB=0,故选A B)若BA=BC,则A=C D) 若BC=0,则B=0或C=0 )

练习: 设n阶方阵A满足A2+2A-4E=0,则必有( A) A=E C) A-E可逆 B)A=-3E D) A+3E不可逆 )

解答:因为A与E是可交换的,依题意可得: A2+2A-4E=0 ? A2+2A-3E=E ? (A-E)(A+3E)=E, 根据逆矩阵的定义,(A-E)与(A+3E)互逆。故选C

四、可逆矩阵的性质
设 A, B, Ai , (i = 1, 2, …, m), 为 n 阶可逆方阵,

k 为非零常数,则
A-1, kA, AB, A1A2…Am , AT 也都是可逆矩阵,且 (1) (A-1)-1 = A; (2)

1 ?1 ( kA ) ? A ; k
?1

(3) (AB)-1 = B-1A-1,

(A1A2…Am)-1 = Am-1…A2-1A1-1 ;

(4) (AT)-1 = (A-1)T ;

1 (5) |A | ? ; |A|
?1

(6) (Am)-1 = (A-1)m , m 为正整数.

证明 我们只证(3)和(4) 证明 我们只证(3)和(4)
= E. = E.

-1A-1)A -1A -1 -1 -1 -1 = (3) (AB (3) )(B-1A-1 (AB ) = )( AB (BB = = (AEA BB-1) A = AA =AEA

T( -1 -1 T T= TA (4) AT(4) (A-1)T = A (A A A )) =(( E A )-1 =)T E, = (E)T = E,

所以

-1 (AT 所以 )-1 = (A( A )T ).-1 = (A-1)T .

证毕

练习: 设A为n阶可逆矩阵,下列等式成立的是( A) (2A)T=2AT C) AAT=ATA 解答: B)项=A-1/2,C)项不满足交换律,D)项=2n|A| B)(2A)-1=2A-1 D) |2A|=2|A| )

故选A

五、举例
例 10 求二阶矩阵
a bb?? a ?? ? ? A? ??? A ? cc dd? ?? ?? ??

的逆矩阵.

解 矩阵 A 的行列式 | A | = ad – bc ,
伴随矩阵 “两调一除 ”法
? d ? b? A ?? ?? c a ? ? . “两调一除 ”的方法 , 求二阶矩阵的逆阵可用 ? ?
*

其方法是 : 先将矩阵 A 中的主对角线上的 1 * ?1 A ? A , 当 | A | ? 0 时,有 利用逆阵公式 | A| 元素调换位置 , 再将次对角线上的元素调换其符号 , 最后用
1 * 1 ? d ? b? ? ? A ? A 的每一个元素 A ? . ? ? |A| 去除 , 即可得 | A| ad ? bc ? ? c a ?
?1

A 的逆矩

练习:

?1 2? * 则 A = 设 A?? , ? ?3 4?
解答:

, A-1=



? ?2 1 ? 1 ? 4 ?2 ? ? ?1 ?, A ?? ? ? 1? ? ? 3 2 ? ?3 1 ? ? ? 2 2?

? 4 ?2 ? A ?? ?, ? ?3 1 ?
*

例 11 用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵
? 2 2 3? ? ? (1) A1 ? ? 1 ? 1 0 ? ? 3 1 2? ? ? ? 1 2 ? 3? ? ? ( 2) A2 ? ? 1 ? 2 1 ? ? 5 ? 2 ? 3? ? ?

3 ? 1 ? 4? ? 1 ? ? 3 ? ? 2 ?1 2 (3) A3 ? ? ?3 2 7 1 ? ? ? ? 1 ?4 3 ? 5 ? ?

单击这里开始

矩阵的求逆模型

例 12 解下列矩阵方程 例12 解下列矩阵方程
0 ? 0 ?? ?1 A ? A ? ??1 ? 0 ??0 ? 1 1 0 0 0 0
AXB = C AXB = C 0? 1 ? 0 1 ?? ?? ? , B ?? 0 0 0 ?? , B ? ??0 ? ? 1 0 ??0 1 ??

?

?

0 0 0 0 1 1

其中 其中 0? 1 ? 0 1 ?? ?? ? , C ?? 2 1 1 ??, C ? ??2 ? ? 0 1 ??1 0 ??

?

?

?4 4 ? 0 0 ?2 2 ?

3? 3 ?? ?. ? 1 ? 1?? . ? 0 0? ??

解 由已知易得 X = A-1CB-1 ,
下面求 A 和 B 的逆阵 0 1. 2 2? 1 单击这里可求逆 0? ? ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? P ? , ? ? ,, AP ? ? ? ? P ? , ? ? AP ? ?P P? ? ,, 求 An . 例 13 设 ? ? ? ? ?1 ? ? ? 0 1 14 4? 0 2 2? ? ? ? ? ? ? 0 0 ? ? ? ? ?1 A ? 0,所以 0 ? , P 可逆, 由二阶矩 解 因为 |P |=2 ?1 ?0 0 1? 阵逆阵的“两调一除 ? ”法,得 ?

六、矩阵多项式
1. 定义
设 ? (x) = a0 + a1x + … + amxm 为 x 的 m 次多 项式,A 为 n 阶矩阵,记

? (A) = a0 E + a1 A + … + am A m ,

? (A) 称为矩阵 A 的 m 次多项式.

2. 性质
因为矩阵 Ak、 Al 和 E 都是可交换的,所以

矩阵 A 的两个多项式 ? (A) 和 f (A) 总是可交换的,
即总有

? (A) f (A) = f (A) ? (A),
从而 A 的几个多项式可以像数 x 的多项式一样相 乘或分解因式.(P37) 例如 ( E + A )( 2E – A ) = 2E + A – A2 , ( E – A )3 = E – 3A + 3A2 – A3 .

3. 计算方法
(i)如果 A = P? P -1,则 Ak = P?k P –1,从而

? (A) = a0 E + a1 A + … + am A m
= Pa0EP -1 + Pa1?P -1 + … + Pam?mP –1

= P? (?)P -1 .
(ii)如果 ? = diag(?1 , ?2 , … , ?n)为对角矩阵,

则, ?k = diag(?1k , ?2k , … , ?nk),从而

? (? ) = a0 E + a1 ? + … + a m ? m
m ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 1 ? ? a0 ? ? a ? ? ? a 1? m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?n ? 1? ? ? ?

?m 2

? ? ? ? ? ? m? ?n ?

? ? (?1 ) ? ? ? ? ( ?2 ) ? ? ?? . ? ? ? ? ? ? ? ( ? ) n ? ?

例 例 14 14 设 设

? ?1 ?? ? 1 P ? ?? 1 P?? 1 ?1 ?? 1 ?
1 2

1 1 0 0 1 1

1? ?1 ? 1 ?? 1 ? ? ?? ?, AP ? P? , 2 ??, ? ? ?? 2 ? 2 ?,??? 2 ? , AP ? P? , ? ? ? ? 1?? ? 3 ?? ?? ? 1? ? 3? ?

33+ 22– 求 A ))= A A 求? ?(( A =A A +2 2 A –3 3 A..

?1 1


从而 而 故

| P |? 1 1

0 1

计算

?1

6 所以 P 可逆, ,

A = P? P -1, ? (A) = P? (? )P -1 .

? (1) = 0, ? (2) = 10, ? (3) = 0, ? (?) = diag(0 , 10 , 0) .

七、补充例题
2 A? ? A ? 2E ? O 证明 证明 例 1 设方阵 A 满足 A2 A ? 2 E ? O 例 1 设方阵 A 满足 ?1 ?1 A 及 ( A ? 2E? )1 . ?1 A 及 A ? 2E 都可逆,并求 都可逆,并求 A 及 ( A ? 2E ) . A 及 A ? 2E

解 例2

变形所给的等式,得 设

A ? A ? 2E ? O,
2

4 移项 得 ? ? A?? 1 ??1 分解因式? 得

2 1 2

2 3 ? A ? A ? 2E, ? AB 0 ?, 求 AB ? ?A A? ?2 2B, B, 求 BB . . 3? ?

A( A ? E) ? 2E, 解 已知方程变形 得


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