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数列通项公式及求和常用方法


数列通项公式及求和常用方法
一、观察法 例 1:根据数列的前 4 项,写出它的一个通项公式: (1)9,99,999,9999,… (3) 1,
2 3 , 1 2 , 2 5 ,?

(2) 1 (4)
1 2

1 2 ,

, ?

2 2 3

2 3 ,

,

3 3 4 ,

3 4

, ?

4 4 5

4 5

,?

,?

二、公式法 ⑴利用等差等比数列通项公式 例2. 等差数列 ?a n ? 是递减数列,且 a 2 ? a 3 ? a 4 =48,a 2 ? a 3 ? a 4 =12,则数列的通项公式是( (A) a n ? 2 n ? 12 ⑵利用公式 a n ? ? (B) a n ? 2 n ? 4 (C) a n ? ? 2 n ? 12 求数列通项公式 (D) a n ? ? 2 n ? 10 )

? S1      n = 1 ? S n ? S n ?1   n ? 2

例3. 已知数列 { a n } 的前 n 项和 sn 的公式:求 { a n } 的通项公式。 ⑴ sn ? n ? 1
2

⑵ S n= 3 - 2

n

三、累加法 例4. 若在数列 ?a n ? 中, a 1 ? 3 , a n ?1 ? a n ? n ,求通项 a n 。

例5.在数列{ a n }中, a 1 ? 3 , a n ? 1 ? a n ?

1 n ( n ? 1)

,求通项公式 a n .

四、累乘法
a a 例 6. 在数列{ a n }中, a 1 =2, (n+1)· n ? 1 =n· n ,求数列的通项 a n 。

五、课后作业 1、在数列 { a n } 中, a 1 ? 2 , 2 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ,求 ? a n ? 的通项公式。 2、已知数列 { a n } 满足 a 1 ? 1, a n ? 1 ? a n ? n ? 1 ,求数列的通项 a n 。 3、已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ?
1 2

, a n ?1 ? a n ?
2

1 n ?n
2

,求数列的通项 a n 。

4、已知数列 ?a n ? 中, S n ? n ? n ? 1 ,求数列的通项 a n 。 5、已知无穷数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,并且 a n ? S n ? 1( n ? N ) ,求 ? a n ? 的通项公式。
*

数 列 的 求 和
一、特殊数列求和: 例 1、设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S n ? (
an ? 1 2 ) ( n ? N ) ,求数列{an}的前 n 项和 S n
2 *

二、分组求和法: 例 2、求数列 1 , 2 , 3 , 4
2 4 8 1 1 1 1 16 ? ? ? ? ? ? 的前 n

项和 S n ;

例 3、数列 1 ? 1 ,

1 a

? 4 ,

1 a
2

?7 ,

1 a
3

? 10 , ? ? , a

1
n ?1

? ( 3 n ? 2 ) , ? ? 的前 n 项和 S n

王新敞
奎屯

新疆

三、裂项相消法: 例4、列
6 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 , 6 , 6 ,? ? , 6 n ( n ? 1) , ? ? 前 n 项和 S n

例5、求数列 {

1 n ?1 ? n

} 的前 n 项和 S n .

例6、求数列:1 ,

1

1? 2 1? 2 ? 3

,

1

,? ? ,

1 1? 2 ??? ? n

, ? ? 前 n 项和 S n

四、错位相减法:
? ? 例7、求数列1? 2, 2?2 , 3?2 ,? ? ? ? ?, n ?2 ,? ? ? ? ? 的前 n 项和 S n 。
2 3 n

例8、求数列 { n ?

1 2
n

} 前 n 项和 S n

五、课后作业: 1、求和: ? x ? ?
? ? 1 ? ? 2 1 ???x ? 2 ? ? y? ? y ? ? n 1 ??? ??x ? n ? ? y ? ? ? ? ? x ? 0 , x ? 1, y ? 1 ? ? ?

2、求和:

1 1? 2

?

1 2?3

?? ?

1 n ?n ? 1?

3、求和: 1 ? 3 a ? 5 a ? 7 a ? ? ? ? 2 n ? 1 ? a
2 3

n ?1

    ? 0?. ?a


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