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数学物理方法


(二)、特殊处理方法
例题:弦的 x ? 0 端固定, x ? l 端受迫作谐振动 A sin ?t ,弦的初始位 移和初始速度都是0,求弦的振动。 解:(1)写出定解问题

? utt ? a 2u xx ? 0 ? ? ?u x ?0 ? 0, u x ?l ? A sin ?t ? ? ? u t ?0 ? 0, ut t ?0 ? 0
(2)找寻驻波特解 上述定解问题一定具有频率为驱动频率 ? 的驻波特解,即

v( x, t ) ? X ( x)sin ?t , 满足齐次方程和和非齐次边界条件,代入得

? ?? ? 2 ? X ?( ) X ?0 a ? ? ? X (0) ? 0, X (l ) ? A

X ( x) ? A sin

A sin

?l
a

sin

?x
a

v( x, t ) ? X ( x)sin ?t ?

?l
a

sin

?x
a

sin ?t

令 u( x, t ) ? v( x, t ) ? w( x, t ), 则 w( x, t ) 的定解问题为,

? ? ? ? ? ? ?w ? ?

wtt ? a 2 wxx ? 0 w x ?0 ? 0, w x ?l ? 0 sin(? x / a) t ? 0 ? 0, wt t ? 0 ? ? A? sin(?l / a)

n? at n? at n? x w( x, t ) ? ? (An cos ? Bn sin )sin l l l n ?1
?

w( x, t )

t ?0

? ? An sin
n ?1

?

n? x ?0 l

An ? 0

wt ( x, t )
l

t ?0

??

n? a n? x sin(? x / a) Bn sin ? ? A? l l sin(?l / a) n ?1
?

2 l sin(? x / a) n? x Bn ? ? ? ? A? sin dx 0 n? a l sin(?l / a) l 1 n 2 A? ? (?1) ? 2 2 al ? / a ? n 2? 2 / l 2
u ( x, t ) ? v( x, t ) ? w( x, t ) ? A sin

?l
a

sin

?x
a

sin ?t ? ? Bn sin
n ?1

?

n? at n? x sin l l

§8.4 二维情况下泊松方程定解 问题的分离变量法
一、求解方法和步骤

? ?u ( x, y ) ? f ( x, y ) ? ? ?u x ?a ? g1 ( y ), u x ?b ? g 2 ( y ) ? u ? h ( x), u y ?d ? h2 ( x) ? ? y ?c 1
求解的关键在于非齐次方程的齐次化!

y d

c o a
b

x

(一)、用特解法,将非齐次方程问题化为齐次方程问题
寻找非齐次方程 ?u ? f ( x, y) 的一个特解 v( x, y ) ,即

?v( x, y) ? f ( x, y)

令 u( x, t ) ? v( x, t ) ? w( x, t ), 则 w( x, t ) 的定解问题为,

? ?w( x, y ) ? 0 ? ? ? w x ?a ? G1 ( y ), w x ?b ? G2 ( y ) ? w ? H1 ( x), w y ?d ? H 2 ( x) ? ? y ?c

? G1 ( y ) ? g1 ( y ) ? v(a, y ) ?G ( y ) ? g ( y ) ? v(b, y ) ? 2 2 ? ? H1 ( x) ? h1 ( x) ? v( x, c) ? ? H 2 ( x) ? h2 ( x) ? v( x, d )

(二)、用叠加原理,把 w 的定解问题化为两个可直接求解的定解问题
令 w ? wI ? wII ,w 和 wII分别满足如下的定解问题,
I

? ? ? ? ? II w ? ?

?wI ? 0 wI
I ? 0, w x?a x ?b y ?d

?0 ? H 2 ( x)

II ? H ( x ), w y ?c 1

? II ? w ?0 ? ? II II w ? G ( y ), w ? x?a 1 ? wII y ?c ? 0, wII ? ?

x ?b y ?d

? G2 ( y ) ?0

二、应用举例
例1:在矩形区域 0 ? x ? a, 0 ? y ? b 上求解泊松方程的边值问题,

? ? ? ?u ? u ? ?
1、寻找特解 可设

?u ? ?2 x ? 0 ? 0, u x ? a ? 0
y ?0

? 0, u

y ?b

?0

v ? ? x2 ? c1x ? c2 , 代入关于变量 x 的边界条件得,
? c1 ? a ? ?c2 ? 0

c2 ? 0 ? ? 2 ? ? a ? a ? c1 ? 0

? v ? ? x 2 ? ax

2、设 u ? v ? w, 求解 w 的定解问题

? ? ? ? ? w ? ?

?w ? 0 w
x ?0

? 0, w

x?a

?0

2 ? x ? ax, u y ?0

2 ? x ? ax y ?b

令 w( x, y) ? X ( x)Y ( y), 分别代入上述定解问题中的齐次方程和齐次边
界条件得,

? X ?? ? ? X ? 0 ? ? Y ?? ? ?Y ? 0

以及

? X (0) ? 0 ? ? X (a) ? 0

? X ?? ? ? X ? 0 本征值问题: ? ? X (0) ? X (a) ? 0

n? 2 ) , n ? 1, 2,3, ??? a n? x 本征函数: X n ( x) ? sin a
本征值:

?n ? (

关于Y ( y ) 的常微分方程为:

n? 2 Y ( y) ? ( ) Y ? 0 a

Yn ( y) ? Ane
? Bne
? n? y a

n? y a

? Bne

?

n? y a

w( x, y) ? ? ( An e
n ?1

?

n? y a

n? x )sin a

用非齐次边界条件来确定系数,代入得
? n? x ? 2 ( A ? B )sin ? x ? ax ? n n ? a ? n ?1 ?? n? b n? b ? ? ( A e a ? B e a )sin n? x ? x 2 ? ax ? n n ? a ? n ?1

n? x x ? ax ? ? Cn sin a n ?1
2 ?

2 a 2 n? x 4a 2 Cn ? ? ( x ? ax)sin dx ? 3 3 [(?1)n ? 1] a 0 a n?

An ? Bn ? Cn ? ? n? b ? n? b ? a a ? ? Cn ? An e ? Bn e
?

? e ? n? b / 2 a ? An ? cosh( n? b / 2a ) Cn ? ? n? b / 2 a e ?B ? Cn n ? cosh( n? b / 2a ) ?

cosh[n? ( y ? b / 2)a] n? x w( x, y ) ? ? Cn sin cosh(n? b / 2a) a n ?1

? 0, n ? 2k ? Cn ? ? ?8a 2 ? 3 3 , n ? 2k ? 1 ?n ?

k ? 1, 2,3, ???

cosh[(2k ? 1)? ( y ? b / 2)a] n? x w( x, y) ? ? 3 ? sin 3 ? k ?1 (2k ? 1) cosh[(2k ? 1)? b / 2a] a 8a 2
?

u ( x, y) ? v( x) ? w( x, y) ? x 2 ? ax ? 8a 2 cosh[(2k ? 1)? ( y ? b / 2)a] n? x sin ? ? 3 k ?1 (2k ? 1)3 cosh[(2k ? 1)? b / 2a] a
?

例2:在圆域 ?

? ?0 上求解泊松方程的边值问题
? ?u ? ? xy ? ? ? u ? ??0 ? 0 ? ? ?u ? ?0 有限

1、寻找特解

1 xy ( x 2 ? y 2 ), 则 12 ? 2v ? 2v 1 1 ?v( x, y) ? 2 ? 2 ? ? xy ? xy ? 0 ?x ?y 2 2
取 v ( x, y ) ? ? 采用极坐标( ? , ? ),

1 1 4 2 ?v( ? , ? ) ? ? ? cos ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? sin 2? 12 24

2、设 u ? v ? w, 求解 w 的定解问题

? ? ? ?w ? ? ?

?w ? 0
? ??0

?

1 4 ? 0 sin 2? 24 有限

w

? ?0

令 w( ? , ? ) ? R( ? )?(? ), 代入上述定解问题中的齐次方程得,

? ? 2 R?? ? ? R? ? ? R ? 0 ? ??? ? ?? ? 0 ?

? ??? ? ?? ? 0 本征值问题:? ??(? ? 2? ) ? ?(? )

本征值:
本征函数:

?n ? n2 , n ? 0,1, 2, ???
?n (? ) ? an cos n? ? bn sin n?

关于 R ( ? )的常微分方程为:

? R?? ? ? R? ? n R ? 0
2 2
?

R0 ( ? ) ? c0 ? d0 ln ? ? ? n ?n R ( ? ) ? c ? ? d ? , n?0 n n ? n
n ?1

w( ? , ? ) ? C0 ? D0 ln ? ? ? ? n ( An cos n? ? Bn sin n? ) ?? ? ? n (Cn cos n? ? Dn sin n? )
n ?1 ?

由于 w

? ?0

有限 , ? D0 ? 0, Cn ? 0, Dn ? 0.
?

w( ? , ? ) ? ? ? n ( An cos n? ? Bn sin n? )
n ?0

1 4 w ? ? ? ? ? ?0 ( An cos n? ? Bn sin n? ) ? ?0 sin 2? 0 24 n ?0
n

?

? An ? 0; B2 ?

1 2 ?0 , Bn ? 0 (n ? 2). 6

1 2 2 w( ? , ? ) ? ?0 ? sin 2? 24 1 2 2 u ( ? , ? ) ? v( ? , ? ) ? w( ? , ? ) ? ? ( ?0 ? ? 2 ) sin 2? 24

课后习题: 习题8.4: 1, 4.

第九章 球坐标系中的分离变量法、 勒让德函数
? 中心内容:球坐标系下用分离变量法求解拉普拉斯方程的定解问题 ? 学习目的
?掌握球坐标系中三类数学物理方程的分离变量形式 ?掌握变系数二阶线性常微分方程的幂级数和广义幂级数求解方法 ?能够用幂级数法求解Legendre方程及其本征值问题,熟练掌握勒让 德多项式的性质和各种表示方法,能够熟练求解Laplace方程的轴对称 的定解问题 ?掌握连带Legendre函数、球函数的定义、性质及基于这些特殊函数的 展开定理,能够熟练求解Laplace方程的非轴对称的定解问题 ?掌握Sturm-Liuville本征值问题的基本性质,学会平方可积函数的广义 傅里叶级数的展开方法

§9.1 球坐标系中三类数学物理 方程的分离变量
一、Laplace方程 ?u ? 0
Laplace方程在球坐标系 (r ,? , ? ) 下的表达式为,

1 ? 2 ?u 1 ? ?u 1 ? 2u (r )? 2 (sin ? )? 2 2 ?0 2 2 r ?r ?r r sin ? ?? ?? r sin ? ??
设 u(r ,? , ? ) ? R(r )Y (? , ? ), 代入上式得:

Y d 2 dR R ? ?Y R ? 2Y (r )? 2 (sin ? )? 2 2 ?0 2 2 r dr dr r sin ? ?? ?? r sin ? ?? 1 d 2 dR 1 ? ?Y 1 ? 2Y (r )?? (sin ? )? R dr dr Y sin ? ?? ?? Y sin 2 ? ?? 2

方程两边 同乘以

r 2 / RY

1 d 2 dR 1 ? ?Y 1 ? 2Y (r )?? (sin ? )? ? l (l ? 1) 2 2 R dr dr Y sin ? ?? ?? Y sin ? ??
? r 2 R?? ? 2rR? ? l (l ? 1) R ? 0 ? ? 1 ? ?Y 1 ? 2Y ? sin ? ?? (sin ? ?? ) ? sin 2 ? ?? 2 ? l (l ? 1)Y ? 0 ?
关于 R 的欧拉型常微分方程的解为

R(r ) ? Cr l ? Dr ?(l ?1)

? Cr l , 球内 ? ? ( l ?1) Dr ? 0, 球外 ? ?Cr l ? Dr ? (l ?1) , 一定厚度球壳 ?

对球函数方程进一步分离变量,即设Y (? , ? ) ? ?(? )?(? ), 代入得,

? d d? ? d 2? (sin ? )? 2 ? l (l ? 1)?? ? 0 2 sin ? d? d? sin ? d? ?? sin ? d d? 1 d 2? 2 (sin ? ) ? l (l ? 1)sin ? ? ? ? d? d? ? d? 2

方程两边 同乘以

sin 2 ? / ??

??? ? ?? ? 0 ? ? d d? ? 2 sin ? (sin ? ) ? [ l ( l ? 1)sin ? ? ? ]? ? 0 ? d? d? ?
关于 ?的常微分方程和自然周期性条件构成本征值问题,

? ??? ? ?? ? 0 ? ??(? ? 2? ) ? ?(? )

?m 本征值:

? m2 , (m ? 0,1, 2, ???)
A cos m? ? B sin m?

本征函数:?m (? ) ?

d d? sin ? (sin ? ) ? [l (l ? 1) sin 2 ? ? m 2 ]? ? 0 d? d?

(1 ? cos2 ? )??? ? sin ? cos??? ? [l (l ?1)(1 ? cos2 ? ) ? m2 ]? ? 0
令 x ? cos ? , 即? = arccos x, 代入上述常微分方程得,
2 2 d ? d ? m (1 ? x 2 ) 2 ? 2 x ? [l (l ? 1) ? ]? ? 0 l 阶连带Legendre方程 2 dx dx 1? x

m=0的特例,对应轴对称情形,方程变为如下形式:
2 d ? d? (1 ? x 2 ) 2 ? 2 x ? l (l ? 1)? ? 0 dx dx

l 阶Legendre方程

2 ? d ? d? 2 ? l (l ? 1)? ? 0 ?(1 ? x ) 2 ? 2 x dx dx ? ? ?(?1)有限 ?

Legendre方程的本征值问题

二、波动方程和输运方程
2 1、波动方程 utt ? a ?u ? 0

? ? ? u ( r , t ) ? v ( r )T (t ), 代入 首先分离时间变量 t 和空间变量 r ,即设
波动方程得:

方程两边 同除以

? ? 2 ?? v(r )T ? a T ?v(r ) ? 0
T ?? ?v 2 ? ? ? k a 2T v

? v(r )T (t )

?T ?? ? k a T ? 0 ? 2 ? v ? k v?0 ?
2 2

(k ? 0) ?T0 (t ) ? C ? Dt , ? ?Tk (t ) ? C cos kat ? D sin kat , (k ? 0)
Helmholtz方程

2 2、输运方程 ut ? a ?u ? 0

? ? ? u ( r , t ) ? v ( r )T (t ), 代入 首先分离时间变量 t 和空间变量 r ,即设
输运方程得: 方程两边 同除以

? ? 2 ? v(r )T ? a T ?v(r ) ? 0
T? ?v 2 ? ? ? k a 2T v

? v(r )T (t )

?T ? ? k a T ? 0 ? 2 ? v ? k v?0 ?
2 2

T (t ) ? Ce

? k 2a2t

Helmholtz方程

三、 Helmholtz方程 ?v ? k 2v ? 0
Helmholtz方程在球坐标系 (r ,? , ? ) 下的表达式为,

1 ? 2 ?v 1 ? ?v 1 ? 2v 2 ( r ) ? (sin ? ) ? ? k v?0 2 2 2 2 2 r ?r ?r r sin ? ?? ?? r sin ? ??
设 u(r ,? , ? ) ? R(r )Y (? , ? ), 代入上式得:

Y d 2 dR R ? ?Y R ? 2Y 2 ( r ) ? (sin ? ) ? ? k RY ? 0 2 2 2 2 2 r dr dr r sin ? ?? ?? r sin ? ??
r2 方程两边同乘以 并适当移项得, RY
2 1 d 2 dR 1 ? ? Y 1 ? Y 2 2 (r )?k r ? ? (sin ? )? R dr dr Y sin ? ?? ?? Y sin 2 ? ?? 2

2 1 d 2 dR 1 ? ? Y 1 ? Y 2 2 (r )?k r ? ? (sin ? )? ? l (l ? 1) 2 2 R dr dr Y sin ? ?? ?? Y sin ? ??

? r 2 R?? ? 2rR? ? [k 2 r 2 ? l (l ? 1)]R ? 0 球贝塞尔方程 ? ? 1 ? ?Y 1 ? 2Y ? sin ? ?? (sin ? ?? ) ? sin 2 ? ?? 2 ? l (l ? 1)Y ? 0 ?
Y (? , ? ) ? ?(? )?(? )

? ?(? ) ? A cos m? ? B sin m? , m ? 0,1, 2, ??? ? d d? ? 2 2 sin ? (sin ? ) ? [ l ( l ? 1)sin ? ? m ]? ? 0 ? d? d? ?
x ? cos ? 2 2 d ? d ? m (1 ? x 2 ) 2 ? 2 x ? [l (l ? 1) ? ]? ? 0 2 dx dx 1? x l阶连带勒让德方程

分离变量形式的解
方程
?u ? 0
?1? T0 (t ) ? ? ? , ?t ?

T (t )

R(r )
l ? ? r ? ? ? ( l ?1) ? ? ? ?r

?(? )
l阶连带 勒让德方 程的解

? (? )
?cos m? ? ? ? ? sin m? ? ?cos m? ? ? ? ? sin m? ?

utt ? a ?u ? 0
2

Tk (t ) ? ? ? sin kat ? ?

l阶球贝塞尔方 l阶连带 程的解(k≠0) 勒让德方 l ? ? r ? 程的解 ?cos kat ? R (r ) ?
0

? ? ( l ?1) ? ?r ? ?

ut ? a ?u ? 0 T (t ) ? e
2

? k 2a2t

l阶连带 l ? ? r ? 勒让德方 R0 ( r ) ? ? ? ( l ?1) ? 程的解

l阶球贝塞尔方 程的解(k≠0)

? ?r

?

?cos m? ? ? ? ? sin m? ?

§9.2 Legendre方程的幂级数解法
一、二阶线性常微分方程幂级数解法的基本方法
(一)、方程的常点和奇点
二阶线性常微分方程的标准形式为:

w??( z ) ? p( z)w?( z) ? q( z)w ? 0
常点:如果系数函数 p ( z ) 和 q( z ) 在点

z0 及其邻域内解析,则称 z0为

方程的常点;
奇点:在点 z0 ,系数函数 p ( z )和 q( z ) 中至少有一个不解析,则称 为方程的奇点;

z0

正则奇点:若奇点

z0 是 p( z ) 的不高于一阶的极点,是 q( z ) 的不高于

二阶的极点,则称 z0 为正则奇点。
例:连带legendre方程标准型为:

d 2? 2 x d ? l (l ? 1) 2 ? ? [ ? m ]? ? 0 2 2 2 dx 1 ? x dx 1? x
球Bessel方程标准型为:

常点 ? x ? 0, ? ? x ? ?1, 正则奇点

2 l (l ? 1) 2 ? R ? [k ? ]R ? 0 2 r r 2 l (l ? 1) 的二阶极点,故 r ? 0 r ? 0 为系数函数 的一阶极点,为 k 2 ? r r2 R?? ?
为方程的正则奇点。

(二)、常点邻域上的级数解法
1、由于在常点 z0的邻域

z ? z0 ? R 上,方程的解 w( z )及系数函数 p( z )

和 q( z ) 均解析,故可以将 w( z ) 、p ( z ) 和 q( z ) 在 z0 点作Tailor展开, 即

w( z )= ? ak ( z ? z0 ) k , p( z )= ? pk ( z ? z0 ) k , q( z )= ? qk ( z ? z0 ) k ,
k ?0 k ?0 ? k ?0 ?

?

这些展开式都是唯一的。 2、将这些展开式代入方程,合并同幂项,并且令合并后的各个系数为0, 找出系数

a0 , a1, ???, ak , 之间递推关系,从而给出泛定方程的解。 ???

(三)、正则奇点邻域上的级数解法

w??( z ) ? p( z )w?( z ) ? q( z )w ? 0, z0 为方程的正则奇点
1、在正则奇点 z0 的去心邻域 0 ? 数函数展开成广义幂级数,即

z ? z0 ? R 上将方程的解 w( x) 和系
s k a ( z ? z ) ?k 0 , k ?0 ?

w( z )=(z ? z0 )
?

p( z )= ? pk ( z ? z0 )k , q( z )= ? qk ( z ? z0 )k ,
k ??2 k ??1 ?

将这些展开式代入方程后合并同幂项,则最低次幂项 ( z ? z0 )

s ?2

的系数为

a0 s(s ?1) ? a0 sp?1 ? a0q?2

s(s ?1) ? sp?1 ? q?2 ? 0
由判定方程可以提取两个指标 线性无关的解,

判定方程

s1 和 s2 (s1 ? s2 ), 由此得出方程的两个

w1 ( z )=(z ? z0 ) s1 ? ak ( z ? z0 )k ,
k ?0

?

? ? s2 k ( z ? z ) b ( z ? z ) , s1 ? s2 ? 整数 ? 0 k 0 ? ? k ?0 w2 ( z )= ? ? s ? Aw ( z ) ln( z ? z ) ? (z ? z ) 2 b ( z ? z ) k , s ? s =整数 ? 1 0 0 k 0 1 2 ? k ?0 ?

2、将两个线性无关解分别代入方程,合并同幂项,并且令合并后的各个 系数为0,找出系数之间递推关系,从而给出泛定方程的解。

二、Legendre方程的幂级数解

(1 ? x ) y?? ? 2xy? ? l (l ? 1) y ? 0,
2

y ( x)

x ? cos ?

?(? )

?2 x l (l ? 1) p( x) ? , q ( x) ? , 2 2 1? x 1? x
设 y ( x) ?
? k a x ? k , 代入方程得: k ?0 k ?2 ?

x=0为方程的常点

? k (k ? 1)ak x
k ?2

? ? k (k ? 1)ak x ? 2? kak x ? l (l ? 1)? ak xk ? 0
k k k ?2 k ?1 k ?0

?

?

?

x : 2 ?1a2 ? l (l ?1)a0 ? 0 x : 3 ? 2a3 ? 2a1 ? l (l ? 1)a1 ? 0
1

0

l (l ? 1) a2 ? ? a0 2 ?1 l (l ? 1) ? 2 a3 ? ? a1 3? 2

k ?2 k k k k ( k ? 1) a x ? k ( k ? 1) a x ? 2 ka x ? l ( l ? 1) a x ? ? ? k ? k ?0 k k k ?2 k ?2 k ?1 k ?0

?

?

?

?

x k : (k ? 2)(k ?1)ak ?2 ? k (k ?1)ak ? 2kak ? l (l ?1)ak ? 0
ak ? 2 ? ?
2

[l (l ? 1) ? k (k ? 1)] ak (k ? 2)(k ? 1)

[l (l ? 1) ? 2 ? 3] l (l ? 1) 2 (l ? 2)l (l ? 1)(l ? 3) a4 ? (?1) a0 ? (?1) a0 4?3 2 ?1 4! (l ? 3)(l ? 1)(l ? 2)(l ? 4) a1 5! n (l ? 2n ? 2)(l ? 2n ? 4) ??? (l ? 2)l (l ? 1)(l ? 3) ??? (l ? 2n ? 1) a2 n ? (?1) a0 (2n)! a5 ? (?1) 2

(l ? 2n ? 1)(l ? 2n ? 3) ??? (l ? 3)(l ? 1)(l ? 2)(l ? 4) ??? (l ? 2n) a2 n ?1 ? (?1) a1 (2n ? 1)!
n

取 a1

? 0, a0 ? 1, 则幂级数中所有奇数项幂的系数为0,得到一个只含偶

数项幂的特解,记为:

y0 ( x) ? 1 ? ? a2 n x 2 n
n ?1

?

取 a0

? 0, a1 ? 1, 则幂级数中所有偶数项幂的系数为0,得到一个只含奇

数项幂的特解,记为:

y1 ( x) ? x ? ? a2 n ?1 x 2 n ?1
n ?1

?

(l ? 2n ? 2)(l ? 2n ? 4) ??? (l ? 2)l (l ? 1)(l ? 3) ??? (l ? 2n ? 1) a2 n ? (?1) (2n)!
n

(l ? 2n ? 1)(l ? 2n ? 3) ??? (l ? 3)(l ? 1)(l ? 2)(l ? 4) ??? (l ? 2n) a2 n?1 ? (?1) (2n ? 1)!
n

y0 ( x) 和 y1 ( x) 是勒让德方程的两个线性无关解,方程通解可以表示为: y( x) ? C1 y0 ( x) ? C2 y1 ( x)
(四)、级数解的收敛范围
对于级数解

y0 ( x), 收敛要求

a2 n ? 2 x 2 n ? 2 lim ?1 2n n ?? a2 n x

a2 n (2n ? 2)(2n ? 1) x ? lim ? lim ?1 n ?? a n ?? 2n(2n ? 1) ? l (l ? 1) 2n?2
2

?R ? x ? 1
对于级数解 y1 ( x), 收敛半径为,

2n(2n ? 1) R ? x ? [lim ]1/ 2 ? 1 n?? 2n(2n ? 1) ? l (l ? 1)

? 收敛, x ?1 ? y0 ( x), y1 ( x) ? 发散, x ?1 ?收敛or发散, x ? ?1 ?
两个线性无关的级数解中任何一个都不可能在 x ? ?1 均收敛!

课后作业: 习题9.1: 3 习题9.2: 3


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