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高中数学必修四(人教版)课件 第三章 三角恒等变换 3.1.3


3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
目标定位 1.能利用两角和的正弦、余弦、正切公式推导出

倍角公式 .2. 能利用这些公式进行和、差、倍角的求值和简
单的化简 .3. 理解和、差、倍角的相对性,能对角进行合理、 正确的拆分.4.能对公式进行简单的逆用.

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自 主 预 习
1.倍角公式
α α 1 2sin cos α (1)S2α :sin 2α =__________,sin cos = sin α ; 2 2 2

cos2α-sin2α 2cos2α-1 =_________ 1-2sin2α ; (2)C2α :cos 2α =____________=__________
2tan α 2 1 - tan α . (3)T2α :tan 2α =__________

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2.倍角公式常用变形
sin 2α sin 2α sin α ; cos α , (1) =______ =_______ 2sin α 2cos α

1±sin 2α ; (2)(sin α ±cos α )2=_________

1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (3)sin2α =_________ ,cos2α =_________ ;
2 ,1+cos α =__________. 2 (4)1-cos α =_________ 2sin


2cos



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即 时 自 测
1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“?”)
(1)sin 2α =2sin α 也有可能成立.( √ ) (2)cos 2α =(cos α +sin α )(cos α -sin α ).( √ ) α (3)二倍角公式也适用于 α 与 2 之间.( √ ) π (4)T2α 只有当 α≠ +kπ (k∈Z)时才成立.( ? ) 2

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提示

(1)α=2kπ,k∈Z,成立.

(2)cos 2α=cos(α+α)=cos2α-sin2α. (3)α=2? ,故适用. 2 π (4)还要有 2α≠ +kπ,k∈Z. 2

α

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2.cos275°+cos215°+cos 75°cos 15°的值等于( 6 A. 2 3 B.2
2

)

5 C.4
2

3 D.1+ 4

1 1 5 解析 原式=sin 15°+cos 15°+2sin 30°=1+4=4.
答案 C

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3.sin 12-cos 12等于( 1 A.-2 3 B.- 2





) 1 C.2 3 D. 2

解析

? ? ? ? ? ? 2π 2π? 2π 2π? 原式=?sin +cos ?·?sin -cos ? 12 12? ? 12 12? ?

? ? ? 2π 2π? =-?cos -sin ?=-cos 12 12? ?

π 3 6 =- 2 .

答案 B

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tan 7.5° 4. =______. 1-tan27.5°

2tan 7.5° 1 1 解析 原式=2· =2·tan 15° 2 1-tan 7.5° 3-1 1 1 3 = tan(60°-45°)= ? =1- . 2 2 1+ 3 2
3 答案 1- 2

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类型一 给角求值问题
【例1】 求下列各式的值:

π π 2tan 150° 2 (1)sin cos ;(2)1-2sin 750°;(3) ; 2 12 12 1-tan 150° 1 3 (4) - ;(5)cos 20°cos 40°cos 80°. sin 10° cos 10°

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π π π 2sin cos sin 12 12 6 1 解 (1)原式= = 2 2 =4. (2)原式=cos(2?750°)=cos 1 500° 1 =cos(4?360°+60°)=cos 60°=2. (3)原式=tan(2?150°)=tan 300° =tan(360°-60°)=-tan 60°=- 3.

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cos 10°- 3sin 10° (4)原式= = sin 10°cos 10°

?1 2? cos ?2

? 3 10°- sin 10°? 2 ? sin 10°cos 10°

4(sin 30°cos 10°-cos 30°sin 10°) 4sin 20° = = =4. 2sin 10°cos 10° sin 20° 2sin 20°?cos 20°?cos 40°?cos 80° (5)原式= 2sin 20° 2sin 40°?cos 40°?cos 80° = 4sin 20° 2sin 80°?cos 80° sin 160° 1 = = =8. 8sin 20° 8sin 20°

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规律方法

此类题型(1)(2)(3)小题直接利用公式或逆用公式较

为简单,而(4)小题分式一般先通分,再考虑结合三角函数公
式的逆用从而使问题得解 . 而 (5) 小题通过观察角度的关系, 发现其特征 ( 二倍角形式 ) ,逆用正弦二倍角公式,使得问题 中可连用正弦二倍角公式,所以在解题过程中要注意观察式 子的结构特点及角之间是否存在特殊的倍数关系,灵活运用

公式及其变形,从而使问题迎刃而解.

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【训练1】 求下列各式的值: cos 15° (1)tan 15°+ ; sin 15°

(2)tan 20°+4sin 20°的值.

sin 15° cos 15° sin215°+cos215° 解 (1)原式= + = cos 15° sin 15° sin 15°cos 15° 1 2 = = sin 15°cos 15° 2sin 15°cos 15° 2 = =4. sin 30°

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sin 20° sin 20°+2sin 40° (2)原式= +4sin 20°= cos 20° cos 20° sin 20°+2sin(60°-20°) = cos 20° sin 20°+ 3cos 20°-sin 20° = cos 20° 3cos 20° = = 3. cos 20°

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类型二 给值求值问题(互动探究)
【例 2】 已知
[思路探究] 探究点一 提示
?π sin? ?4 ? ? π 5 ? -x?=13,0<x< 4 ?

cos 2x ,求 ? ?的值. π ? cos? ? 4 +x? ? ?

已知角与未知角之间有怎样的联系?

?π ? π ?π ? π π ? ? ? (1) -2x=2? -x?; -? +x? ?= 4 -x 2 2 4 4 ? ? ? ?

?π ? π ?π ? π π ? ? ? (2)2+2x=2? +x?; 2 -? -x? ?= 4 +x. 4 4 ? ? ? ?

探究点二 提示

以上两种角的变换思路哪种更简单?

本着先化简再求值的思路更简单.
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?π ? ?π ? ?π ? ? ? ? sin? +2x? 2sin? +x?· cos? ?4 ?2 ? ?4 ? ? 原式= = ?π ? ?π ? ? ? ? cos? +x? cos? +x? ? ?4 ? ?4 ? ? ?π ? ? -x?=cos? 4 ? ? ? 5 ? +x?=13, ?

? ? +x? ?

?π =2sin? ?4 ?

? ? +x?. ?

?π ∵sin? ?4 ?

?π π π π? ? 且 0<x< 4 ,∴ 4 +x∈? , ? ?, 4 2 ? ? ?π ∴sin? ?4 ? ? ? +x?= ?

1-cos

2?π

? ? ?

4

? 12 ? +x?=13. ?

12 24 ∴原式=2?13=13.
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规律方法 在解题过程中要注意抓住角的特点解题,同时 π π 要注意挖掘题目中的隐含条件: 4 +x 与 4 -x 存在互余关 系 . 特别要注意利用这些条件来确定某些三角函数值的符 号.

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【训练 2】 已知 的值.


? cos? ?α ?

? 3π π? π? ? 3 π ? 求 cos?2α + ? + 4 ?=5,2 ≤α < 2 , 4? ? ? ?

? π 3π 3π π 7π π? ? ∵ ≤α < , ∴ ≤α + < , 于是可由 cos?α + ? 2 2 4 4 4 4? ? ?

? π? 3 4 2 2 3 ? ? =5得到 sin?α + ?=-5.即 2 cos α - 2 sin α =5, 4? ?

2 2 4 2 2 sin α + 2 cos α =-5.两式相加得 cos α =- 10 , 7 2 两式相减得 sin α =- 10

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? cos? ?2α ?

π? 2 ? + 4 ?= 2 (cos 2α -sin 2α ), ?

cos 2α sin 2α 所以

? 24 2?2 ? 7 2?2 ? =- , =?- ? -?- 25 10 10 ? ? ? ? ? 2 ? ? 7 2? 7 ?= . =2??- ???- 10 ? 25 ? 10 ? ? ? ? ?= ?

? π ? cos?2α+ 4 ?

2? 24 7 ? 31 2 ?- - ? 2 ? 25 25?=- 50 .

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类型三 给值求角问题
1 1 【例 3】 已知 tan α = ,tan β =- ,且 α,β ∈(0,π ), 3 7 求 2α-β 的值.
解 ∴α 1 ∵tan α =3>0,
? π ? ∈?0, 2 ? ? ? ?,2α ?

∈(0,π ),

1 2? 2tan α 3 3 ∴tan 2α = = =4>0, 2 ? ? 1 1-tan α 1-?3?2 ? ? ∴2α
? π ? ∈?0, 2 ? ? ? ?, ?

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?π ? 1 ? 又∵tan β =-7<0,β ∈(0,π ),∴β ∈? ,π ? ?, ?2 ?

3 ? 1? ?- ? - tan 2α -tan β 4 ? 7? ∴tan(2α -β )= = =1, 3 ? 1? 1+tan 2α tan β 1+4??-7? ? ?
? π ? 又∵2α∈?0, 2 ? ? ? ?,β ? ?π ∈? ?2 ?

,π

? ? ?, ?

3 ∴2α -β∈(-π ,0),∴2α -β=-4π .

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规律方法

在给值求角时,一般选择一个适当的三角函

数,根据题设确定所求角的范围,然后再求出角 . 其中
确定角的范围是关键的一步.

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【训练 3】 已知

? π ? α∈?0, 2 ?

? ? ?,β ?

? π ∈? ?- 2 ?

? ? ,0?,且 ?

3 cos(α-β)=5,

2 sin β =- 10 ,求 α.

? π ? ∵α∈?0, 2 ? ? ? ?,β ? ? π ∈? ?- 2 ? ? ? ,0?,∴α ?

-β∈(0,π ),

3 4 2 ∴由 cos(α-β)=5知 sin(α-β)=5,由 sin β =- 10 知 cos β = 7 2 10 ,∴sin α =sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cos β +cos(α-β)sin β
? π π? 4 7 2 3 ? 2 2? ? ? ? ? =5? 10 +5? - = 2 ,又 α∈?0, ?,∴α = 4 . 2? ? 10 ? ?

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[课堂小结]

1.对于“二倍角”应该有广义上的理解,如:
3 8α 是 4α 的二倍; 6α 是 3α 的二倍; 4α 是 2α 的二倍; 3α 是 α 2 α α α α α 2?α 的二倍; 是 的二倍; 是 的二倍; n = n+1 (n∈N*). 2 4 3 6 2 2
2.二倍角的余弦公式的运用

在二倍角公式中, 二倍角的余弦公式最为灵活多样, 应用广泛. 二倍角的 常用形式 : ①1 + cos 2 α = 2cos2 α ,② cos2 α = 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 ,③1-cos 2α =2sin α ,④sin α = . 2 2
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π 1.函数 y=2cos (x- 4 )-1 是(
2

)

A.最小正周期为π 的奇函数 π B.最小正周期为 2 的奇函数 C.最小正周期为π 的偶函数 π D.最小正周期为 2 的偶函数
解析 y=2cos
2?

? ? π? π? ? ? ? - 1 = cos ?x- 4 ? ?2x- 2 ?=sin ? ? ? ?

2 x.

答案 A
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1 2π 2. -cos 的值等于( 2 8 2 A.- 4 2 B. 4

) 2 C. 2 2 D.- 2

? 1? 1 π 2 ? ? 2π 解析 原式=- ?2cos -1?=- cos =- . 2? 2 4 4 8 ?

答案 A

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sin 2α 3.若 tan α =3,则 2 的值等于( cos α A.2 B.3 C.4 D.6

)

2sin αcos α 解析 原式= =2tan α=6. 2 cos α

答案 D

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4.已知

?π α∈? ?2 ?

,π

? ? ?,sin ?

5 α = ,求 tan 2α 的值. 5

2 5 解 由已知:cos α =- 5 , 2tan α 1 4 ∴tan α =-2,∴tan 2α = =-3. 2 1-tan α

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