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函数单调性课件_图文

1.3.1 单调性与最大(小)值

问 题情景
定义引入

观察思考
分析语言翻译 归纳体验

单 调 性 定义

层 层 铺 铺 垫 例3

过程分析

例题分析 练习巩固
小结与作业

例1

例2
探究提升

问 题 情 境

问 题 情 境

下面是某一天温度的变化图象:
问 题 情 境 说出气温在哪些时段内是升高的, TOC 5 4 3 2 1 o -1 -2 3

怎样用数学语言刻画“随时间的
增大气温逐步升高”这一特征。

14 6 9 12 15 18 21

24 t (小时)

定 义 引 入

链接几何画板

定 义 引 入

在某一区间内

当x的增大时,函数值y也增大
图象在该区间内呈上升趋势;

函数的这种性质称为函数的单调性。

定 义 引 入

如何用x与 f(x)来描述上升的图象?
y

y ? f (x)
f (x1 )
f (x 2 )
x2

在给定区间上任取x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x 1 ) ? f(x 2 )

O

x1

x

函数f (x)在给定区间 上为增函数。

如何用x与 f(x)来描述下降的图象?
y

y ? f (x)
f (x1 )

在给定区间上任取x1 , x2 ,
x1 ? x2 f(x 1 ) ? f(x 2 )

f (x 2 )

O

x1

x2

函数f (x)在给定区间 上为减函数。

x

定 义 讲 授 一般地,函数f(x)的定义域为I: 1. 如果对于属于定义域内某个区间的任意两个

自变量的值x1 ,x 2 , 当x1 ? x 2时,都有 f ?x1 ? ? f ?x2 ? 称函数 f(x)在这个区间上是增函数。 2. 如果对于属于定义域内某个区间的任意两个

? ? ? ? f x ? f x 自变量的值x , x , 当x ? x 时, 都有 1 2 1 2 1 2
称函数 f(x)在这个区间上是减函数。

例 题 例1:如图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的 讲 图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在 授

每一个单调区间上, y=f(x)是增函数还是减函数。

答:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1), [1,3), [3,5], 其中 y=f(x)在区间[-5, -2), [1,3)上是减函数, 在区间[-2,1), [3, 5]上是增函数。

例2:证明函数f(x)=-3x+1在R上是减函数。 证明:设x1,x2是R上的任意两个实数,且x1<x2,则 取值 f(x1)-f(x2)=(-3 x1 +1)-(-3 x2+1) =-3( x1- x2) 由x1<x2 ,得 x1- x2 <0 于是 f(x1)-f(x2)>0 即 f(x1)>f(x2) 所以,函数f(x)=-3x+1在R上是减函数。
下结论 作差 变形

定号

例2:证明函数f(x)=-3x+1在R上是减函数。 解答
步骤: a、任取定义域内某区间上的 两变量x1,x2,设x1<x2;
b、作差(x1) – f(x2)变形; c、判断f(x1) – f(x2)的正、负情况;

d、得出结论

变式一:函数f(x)=-3x+b在R上是减函数吗?为什么?

变式二:函数f(x)=kx+b (k<0)在R上是减函数吗?
你能用几种方法来判断。

变式三: 探究:函数 f ( x) ? kx ? b(k ? 0)在R上的单调性。

(几何画板演示)

例3、证明函数f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数。 下面证明过程是否正确?

证明:设x1,x2是(0,+∞)上任意两个实数,且x1<x2,
y
则 f(x1)- f(x2)= x 所以f(x1)- f(x2)>0 即f(x1)> f(x2) 所以f(x)=1/x 在(0,+∞)上是减函数。 o

1 1 ? ?0 x1 x2

讨论: 函数f(x)在 ?? ?,?? ? 上也是减函数吗?

练 习 巩 固

1. 教材 p36 练习 2,3
第2题 :整个上午(8:00~12:00)天气越来越暖,中午时分

(12:00~13:00)一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多,暴风雨
过后,天气转暖,直到太阳落山(18:00)才又开始转凉.画 出这一天8:00~20:00期间气温作为时间函数的一个可能的图

像,并说出所画函数的单调区间.
第3题:根据下图说出函数的单调区间,以及在每一单调区

间上,函数是增函数还是减函数.
y

1

0

1

2

3

4

5x

问 题 探 究

2.探究:二次函数是单调性?单调区间有什么规律? (几何画板演示,学生探究)本问题作为机动题。时

间不允许时,就为课后思考题。
(几何画板演示)

回顾小结
通过师生互动,回顾本节课的概念、证明方法。

布置作业
1、教材 p43 习题1.3 A组 1(单调区间),2(证明单调性);

2、证明函数f(x)=



?0, ? ? ? x 上是单调递增的。

恳请批评指正! 谢谢!

E-mail:zznjzsl@126.com


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