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高中数学第一章三角函数1.4.2正弦函数、余弦函数的性质三角函数的最值典例剖析新人教A版必修4

三角函数的最值典例剖析 题型 1: y ? a sin x ? b 或y ? a cos x ? b 型的函数 此类函数利用 sin x ? 1 或 cos x ? 1 即可求解,显然 ymax ? a ? b, ymin ? ? a ? b [例 1] 求 y ? sin( x ? ? ? ? ? ? 6 ) cos x 的最大值与最小值 [解析] ? 1? ? ?? ?? y ? sin( x ? ) cos x ? ?sin ? 2 x ? ? ? sin ? 6 2? ? 6? 6? 1 ? ?? 1 = sin ? 2 x ? ? ? 2 ? 6? 4 1 1 1 ? ymax ? ? 1 ? ? 2 4 4 1 1 3 ymin ? ? (?1) ? ? ? 2 4 4 题型 2:y=asinx+bcosx 型可化为 y= a ?b 2 2 sin(x ? ? ) (其中 tan ? ? [例 2] (2004 年全国,理 4)函数 y ? sin x ? 3 cos x 在区间[0, [解析] : y ? sin x ? 3 cos x =2( ? ]上的最小值为____。 2 b ) a 1 3 sin x ? ? cos x ) 2 2 =2( sin x ? cos ? 3 ? cos x ? sin ? 3 )=2 sin ? x ? ? ? ?? ?. 3? 因 为 x ? ?0, ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? x ? ? ? ,当 x ? ?? , ? ? 时,易知 y 的最小值为 ,所以 ? 3 3 2 3 3 ?3 2 3? ? 2? y min ? 1 ?? ? ? ? 2 sin? ? ? ? 2 cos ? 2 ? ? 1 3 2 ?2 3? 所以应填“1” 。 2 2 [答案] 题型 3: y ? a sin x ? b sin x cos x ? cos x 型的函数 此类函数可先降次,再整理转化 y ? Asin ?? x ? ? ? ? B 形式解决, ? ?例3? ?: 求y=sinx? 2sin x cos x ? 3cosx 的最小值,并求出 y 取最小值时 x 的集合 ? ?解析? ?: y=sinx? 2sin x cos x ? 3cosx 2 2 2 2 1 2 2 ? 2 ? =? sinx+cosx ? ? 2sin x cos x ? 2 cosx ? ? ? 1 ? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 ? ? ? 3 ?当sin(2 x ? ) ? ?1,即2 x ? ? ? ? 2k? , x ? k? ? ? ? k ? Z ? 时 4 4 2 8 3 ? ? ymin ? ? 2 ? 2, ? x | x ? k? ? ? , k ? Z ? 8 ? ? 题型 4: y ? a sin x ? b cos x ? c 型的函数 此类函数可转化为形如 y ? At ? Bt ? c(?1 ? t ? 1) 的二次函数,从而讨论其最值 2 2 5a 3 例 4 :是否存在常数 a ,使得函数 y=sinx +acosx+ - 在闭区间上的最大值是1? ? ? ? ? 8 2 若存在求出对应的值?若不存在,试说明理由。 2 2 5a 3 5a 3 ? ?解析? ? : y ? sinx +acosx+ 8 - 2 ? 1 ? cosx? acosx+ 8 - 2 2 ? 2 sin(2 x ? ) ? 2 4 ? a ? a 2 5a 1 ? ? ? ? cos x ? ? ? ? 2? 4 8 2 ? o?x? 2 ? 2 时, 0 ? cos x ? 1, a ? 1, 即a ? 2, 则当cosx=1时 2 5a 3 20 y max ? a ? ? ?1? a ? ? 2 ? 舍去? 8 2 13 a a ? 2 ? 若0 ? ? 1,即0 ? a ? 2,则当cosx= 时 2 2 2 a 5a 1 3 y max ? ? - ? 1 ? a ? 或a ? ?4 ? 0 ? 舍 ? 4 8 2 2 a ? 3? ? 0即a<0,则当cosx=0时 2 5a 1 12 y max ? - ? 1 ? a ? ? 0 ?舍 ? 8 2 5 3 综合上述知,存在a ? 符合题设 2 ?1? 若 2 题型 5: y ? a sin x ? c 型的函数 b cos x ? d 此类函数可转化为去处理,或利用万能公式换元后用判别式处理 3 cos x ? ?例5? ? : 求y ? 2 ? sin x 的值域 3 cos x ? ?法一? ? :由y ? 2 ? sin x 得ysinx- 3 cos x ? ?2 y ? y 2 ? 3 sin( x ? ? ) ? ?2 y ? sin( x ? ? ) ? ? ?1 ? sin( x ? ? ) ? 1??1 ? ? ?函数的值域为? -1,1? 2y y2 ? 3 2y y2 ? 3 ?1 由此解得 ? 1 ? y ? 1 3 cos x y cos x ? 0 ? 设点P ?sinx,cosx ? , Q ? ?2,0 ? ? ?法二? ? :由y ? 2 ? sin x 得 3 sin x ? ? ?2 ? 可看作是单位圆上的动点 P 与 Q 连线的斜率,设直线的方程为 y ? k ? x ? 2? 即 kx ? y ? 2k ? 0 ,则圆心(0,0)到它的距离 d ? 2k k 2 ?1 ?1 解得 k1 ? ? 3 3 或 k2 ? ??1 ? y ? 1 3 3 ?函数的值域为?-1,1? 【附】 : 求y? 2sin x ? 5 的值域(反解法) sin x ? 3

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