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江苏省苏州市2018届高三第一次模拟考试 数学含答案

江苏省苏州市 2018 届高三第一次模拟考试 数学 2018 届高三年级第一次模拟考试(五) 数学 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知 i 为虚数单位,复数 z= 3 3 - i 的模为________. 2 2 2. 已知集合 A={1,2a},B={-1,1,4},且 A? B,则正整数 a=________. 3. 在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=-8x 的焦点坐标为________. 4. 苏州轨道交通 1 号线每 5 分钟一班,其中,列车在车站停留 0.5 分钟,假设乘客到达站台的时刻是随机 的,则该乘客到达站台立即能乘上车的概率为________. 5. 已知 4a=2,logax=2a,则正实数 x=________. 6. 秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍 是比较先进的算法.下面的流程图是秦九韶算法的一个实例.若输入 n,x 的值分别为 3,3,则输出 v 的值 为________. (第 6 题) (第 9 题) 0≤x≤3, ? ? 7. 已知变量 x,y 满足?x+y≥0, 则 z=2x-3y 的最大值为________. ? ?x-y+3≤0, S6 19 15 8. 已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 =- ,a4-a2=- ,则 a3 的值为________. S3 8 8 9. 鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,它的外观是如图所示的十字立 方体,其上下、左右、前后完全对称,六根等长的正四棱柱体分成三组,经 90°榫卯起来.若正四棱柱的 高为 5 ,底面正方形的边长为 1 ,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积至少为 ________.(容器壁的厚度忽略不计,结果保留π ) 10. 如图, 两座建筑物 AB, CD 的高度分别是 9 m 和 15 m, 从建筑物 AB 的顶部 A 看建筑物 CD 的张角∠CAD =45°,则这两座建筑物 AB 和 CD 的底部之间的距离 BD=________m. (第 10 题) (第 13 题) 11. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 A(2,-1)的圆 C 和直线 x+y=1 相切,且圆心在直线 y=-2x 上,则圆 C 的标准方程为________. 1 1 1 1 12. 已知正实数 a,b,c 满足 + =1, + =1,则 c 的取值范围是________. a b a+b c 13. 如图,△ABC 为等腰三角形,∠BAC=120°,AB=AC=4,以 A 为圆心,1 为半径的圆分别交 AB, ︵ → → AC 与点 E,F,P 是劣弧EF上的一点,则PB·PC的取值范围是________. 14. 已知直线 y=a 分别与直线 y=2x-2, 曲线 y=2ex+x 交于点 A, B, 则线段 AB 长度的最小值为________. 二、 解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f(x)=( 3cosx+sinx)2-2 3sin2x. (1) 求函数 f(x)的最小值,并写出 f(x)取得最小值时自变量 x 的取值集合; π π (2) 若 x∈?- , ?,求函数 f(x)的单调增区间. ? 2 2? 16. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,已知 E,F,G,H 分别是 A1D1,B1C1,D1D,C1C 的中点.求证: (1) EF∥平面 ABHG; (2) 平面 ABHG⊥平面 CFED. 17. (本小题满分 14 分) 如图,B,C 分别是海岸线上的两个城市,两城市间由笔直的海滨公路相连,B,C 之间的距离为 100 km, π 海岛 A 在城市 B 的正东方向 50 km 处.从海岛 A 到城市 C,先乘船按北偏西 θ 角(α <θ ≤ ,其中锐角 α 2 1 的正切值为 )航行到海滨公路 P 处登陆,再换乘汽车到城市 C.已知船速为 25 km/h,车速为 75 km/h. 2 (1) 试建立由 A 经 P 到 C 所用时间与 θ 的函数解析式; (2) 试确定登陆点 P 的位置,使所用时间最少,并说明理由. 18. (本小题满分 16 分) x2 y2 2 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,椭圆上动点 P 到一个焦点的距离的 a2 b2 2 最小值为 3( 2-1). (1) 求椭圆 C 的标准方程; (2) 已知过点 M(0,-1)的动直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点,试判断以 AB 为直径的圆是否恒过定点,并 说明理由. 19. (本小题满分 16 分) 已知各项是正数的数列{an}的前 n 项和为 Sn. a2 n+2 (1) 若 Sn+Sn-1= (n∈N*,n≥2),且 a1=2. 3 ①求数列{an}的通项公式; ②若 Sn≤λ ·2n+1 对任意 n∈N*恒成立,求实数 λ 的取值范围; (2) 数列{an}是公比为 q(q>0, q≠1)的等比数列, 且{an}的前 n 项积为 10Tn.若存在正整数 k, 对任意 n∈N*, T(k+1)n 使得 为定值,求首项 a1 的值. Tkn 20. (本小题满分 16 分) ? ?-x3+x2,x<0, 已知函数 f(x)=? ?ex-ax, x≥0. ? (1) 当 a=2 时,求函数 f(x)的单调区间; (2) 若方程 f(-x)+f(x)=ex-3 在区间(0,+∞)上有实数解,求实数 a 的取值范围; a (3) 若存在实数 m,n∈[0,2],且|m-n|≥1,使得 f(m)=f(n),求证:1≤ ≤e

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