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youfa1431com:清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案(三)

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清北学长精心打造——华约自主招生数学模拟试题及参考答案 (三)
x2 y 2 ? 2 ?1 2 b 1.(本小题满分 14 分)已知双曲线 C : a ( a ? 0 , b ? 0 )的离心率为 2,过 ??? ? ??? ? m 点 P(0 , ) ( m ? 0 )斜率为 1 的直线 l 交双曲线 C 于 A 、 B 两点,且 AP ? 3PB , ??? ??? ? ? OA ? OB ? 3 .
(1)求双曲线方程; (2)设 Q 为双曲线 C 右支上动点, F 为双曲线 C 的右焦点,在 x 轴负半轴上是否存在定 点 M 使得 ?QFM ? 2?QMF ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由.

2.(本小题满分 14 分)已知函数 F ? x ? ?

3x ? 2 ? 1? , ? x ? ?. 2x ?1 ? 2?

(I)求 F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ? ... ? F ? ?; ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

(II)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? F ? an ? ,求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅲ) 求证: a1a2 a3 ...an ?

2n ? 1 .

3.(本小题满分 14 分)设函数 f(x)=x -mlnx,h(x)=x -x+a. (I) 当 a=0 时,f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围; (II) 当 m=2 时,若函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数 a 的取值范围; (III) 是否存在实数 m,使函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性? 若存在,求出 m 的值,若不存在,说明理由。

2

2

第 1 页 共 1 页

4.(本小题满分 14 分)在△ABC 中,设 A、B、C 的对 边分别为 a、b、c 向量 m ? (cos A, sin A), n ? ( 2 ? sin A, cos A), 若 | m ? n | ?2, (1)求角 A 的大小; (2)若 b ? 4 2 , 且c ?

2a, 求?ABC 的面积.

5. (本小题满分 14 分)已知 m,n 为正整数. m (Ⅰ)用数学归纳法证明:当 x>-1 时,(1+x) ≥1+mx;

1 ? 1 m ? ? ? ?1? (Ⅱ)对于 n≥6,已知 ?1 ? ? ? ,求证 ?1 ? ? ? ? ? ,m=1,1,2…,n; 2 ? n ? 3? ? n ? 3? ?2?
(Ⅲ)求出满足等式 3 +4 +…+(n+2) =(n+3) 的所有正整数 n.
n m m n

n

n

m

第 2 页 共 2 页

6.(15 分)如图,△ABC 中,O 为外心,三条高 AD、BE、CF 交于点 H,直线 ED 和 AB 交于 点 M,FD 和 AC 交于点 N. 求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE; (2) OH⊥MN.

7. (本题满分 15 分) 将边长为正整数 m,n 的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行 于矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.

第 3 页 共 3 页

答案
x2 y 2 ? 2 ?1 2 3a 1.(1)由双曲线离心率为 2 知, c ? 2a , b ? 3a ,双曲线方程化为 a .
? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ? a 3a ? y ? x?m 又直线 l 方程为 y ? x ? m .由 ? ,得

2 x2 ? 2mx ? m2 ? 3a 2 ? 0 .
A( x1 ,1 ) y B( x2 , 2 ) y x1 ? x2 ? m







,则



x1 x2 ?

?m 2 ? 3a 2 2 .

(? x1 , ? y1 ) ? 3( x2 , 2 ? m) x1 ? ?3x2 m y 因为 AP ? 3PB ,所以 , .
x1 ? x2 ? m

??? ?

??? ?

结 合

, 解 得

x1 ?

?m 2 ? 3a 2 3 1 x1 x2 ? m x2 ? ? m 2 2 , 2 .代入 , 得

3 2 ?m 2 ? 3a 2 ? m ? 2 2 4 2 ,化简得 m ? 6a .又
??? ??? ? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? 2 x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m 2 ? m 2 ? 3a 2 ? 3a 2,
且 OA ? OB ? 3 . 所以 a ? 1 .此时, m ?
2 2

??? ??? ? ?

6 ,代入①,整理得 2 x 2 ? 2 6 x ? 9 ? 0 ,显然该方程有两个不

同的实根. a ? 1 符合要求.

故双曲线 C 的方程为

x2 ?

y2 ?1 3 .
Q( x0 , 0 ) x0 ? 1 y
( )

0) 由 知, 0) 设 (2) 假设点 M 存在, M (t , .(1) 双曲线右焦点为 F (2 , . 设
为双曲线 C 右支上一点.



x0 ? 2

t a n QFM ? ?k Q F ? ? ?
时,

y0 y tan ?QMF ? k Q M ? 0 x0 ? 2 , x0 ? t , 因 为

第 4 页 共 4 页

y0 y x0 ? t ? 0 ? x0 ? 2 1 ? ( y0 ) 2 x0 ? t . ?QFM ? 2?QMF ,所以 2?

2 2 y0 ? 3x0 ? 3

代入,并整理得,

2 2 ?2 x0 ? (4 ? 2t ) x0 ? 4t ? ?2 x0 ? 2tx0 ? t 2 ? 3



? 4 ? 2t ? ?2t ? ? 4t ? t 2 ? 3 于是 ? ,解得 t ? ?1 .


x0 ? 2

时, ?QFM ? 90 ,而 t ? ?1 时, ?QMF ? 45 ,符合 ?QFM ? 2?QMF .
0 0

0) 所以 t ? ?1 符合要求.满足条件的点 M 存在,其坐标为 ( ?1 , .
2.解:( ? )因为 F ? x ? ? F ?1 ? x ? ?

3 x ? 2 3 ?1 ? x ? ? 2 ? ?3 2 x ? 1 2 ?1 ? x ? ? 1

所以设 S= F ?

? 1 ? ? 2 ? ? 2008 ? ??F? ? ? ... ? F ? ? ; .......... (1) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2008 ? ? 2007 ? ? 1 ? ?? F? ? ? ... ? F ? ? ……….(2) ? 2009 ? ? 2009 ? ? 2009 ?

S= F ? (1)+(2)得:

? ? 1 ? ? ? 2008 ? ? 2008 ? ? ? ? 2 ? ? 2007 ? ? ? 1 ?? 2S ? ? F ? ?? F? ?? ? ?F ? ?? F? ? ? ? ... ? ? F ? ?? F? ?? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? 2009 ? ? ? 2009 ? ? ? ? 2009 ? ? ? 2009 ?
= 3? 2008 ? 6024 , 所以 S=3012

( ?? )由 an ?1 ? F ? an ? 两边同减去 1,得

an ?1 ? 1 ?
1

3an ? 2 a ?1 ?1 ? n 2an ? 1 2an ? 1
? 2an ? 1 2 ? an ? 1? ? 1 1 ? ? 2? , an ? 1 an ? 1 an ? 1

所以

an ?1 ? 1

所以

? 1 ? 1 1 ? 2,? ? 1 为首项的等差数列, ? 是以 2 为公差以 an ?1 ? 1 an ? 1 a1 ? 1 ? an ? 1 ?

1

?

所以

1 1 2n ? 2 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 1 ? an ? 1 ? ? an ? 1 2n ? 1 2 n ? 1
2

? ??? ? 因为 ? 2n ?

? ? 2n ? ? 1 ? ? 2n ? 1?? 2n ? 1?
2

第 5 页 共 5 页

所以

2n 2n ? 1 2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? , ? ,... ? 2n ? 1 2n 1 2 3 4 2n ? 1 2n

所以 a1a2 a3 ...an ?

? a1a2a3 ...an ?

2

?

2 2 4 4 2n 2n ? ? ? ...... ? 1 1 3 3 2n ? 1 2n ? 1

>

2 3 4 5 2n 2n ? 1 ? ? ? ...... ? ? 2n ? 1 1 2 3 4 2n ? 1 2n

3 解: (1)由 a=0,f(x)≥h(x)可得-mlnx≥-x 即 m ? 记? ?

x ln x

x ,则 f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立等价于 m ? ? ( x) min . ln x ln x ? 1 求得 ? '( x) ? ln 2 x
当 x ? (1, e) 时; ? '( x) ? 0 ;当 x ? (e, ??) 时, ? '( x) ? 0 故 ? ( x) 在 x=e 处取得极小值,也是最小值, 即 ? ( x) min ? ? (e) ? e ,故 m ? e . (2)函数 k(x)=f(x)-h(x)在[1,3] 上恰有两个不同的零点等价于方程 x-2lnx=a,在[1,3] 上恰有两个相异实根。 令 g(x)=x-2lnx,则 g '( x) ? 1 ?

2 x

当 x ? [1, 2) 时, g '( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, g '( x) ? 0 g(x)在[1,2]上是单调递减函数,在 (2,3] 上是单调递增函数。 故 g ( x)min ? g (2) ? 2 ? 2ln 2 又 g(1)=1,g(3)=3-2ln3

∵g(1)>g(3),∴只需 g(2)<a≤g(3), 故 a 的取值范围是(2-2ln2,3-2ln3) (3)存在 m=

1 ,使得函数 f(x)和函数 h(x)在公共定义域上具有相同的单调性 2
m 2x2 ? m ? ,函数 f(x)的定义域为(0,+∞) 。 x x

f '( x)min ? 2 x ?

若 m ? 0 ,则 f ( x) ' ? 0 ,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,不合题意; 若 m ? 0 ,由 f ( x) ' ? 0 可得 2x -m>0,解得 x>
2

m m 或 x<(舍去) 2 2

故 m ? 0 时,函数的单调递增区间为(

m ,+∞) 2
第 6 页 共 6 页

单调递减区间为(0,

m 1 )而 h(x)在(0,+∞)上的单调递减区间是(0, ),单调递增区间是 2 2

(

1 ,+∞) 2
m 1 1 1 = ,解之得 m= 即当 m= 时,函数 f(x)和函数 h(x)在其公共定义域上具有 2 2 2 2

故只需

相同的单调性。 4 解(1) m ? n ? ( 2 ? cos A ? sin A, cos A ? sin A)

| m ? n |? ( 2 ? cos A ? sin A) 2 ? (cos A ? sin A) 2 ? 4 ? 4 sin(A ?
?| m ? n |? 2

?
4

)

? sin(A ?

) ? 0, 4 又? 0 ? A ? ?

?

??

?

4

?A

?

?
?
4

?

?A?

?
4

3? , 4

? 0, A ?

4

(2)? c ?

2 a, A ?

?
4

c sin C ? ? ? 2, a sin A

? sin C ? 1, 又 ? 0 ? C ? ?
?C ?

?
2

? ABC 为等腰三角形, S ABC ?

1 ? (4 2 ) 2 ? 16 2
1 ○
2

5 解: (Ⅰ)证:当 x=0 或 m=1 时,原不等式中等号显然成立,下用数学归纳法证明: 当 x>-1,且 x≠0 时,m≥2,(1+x)m>1+mx.
2

(i)当 m=2 时,左边=1+2x+x ,右边=1+2x,因为 x≠0,所以 x >0,即左边>右边,不等式 ①成立; k (ii)假设当 m=k(k≥2)时,不等式①成立,即(1+x) >1+kx,则当 m=k+1 时,因为 x>-1, 2 所以 1+x>0.又因为 x≠0,k≥2,所以 kx >0. k 于是在不等式(1+x) >1+kx 两边同乘以 1+x 得 2 (1+x)k·(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx >1+(k+1)x, k+1 所以(1+x) >1+(k+1)x,即当 m=k+1 时,不等式①也成立.

第 7 页 共 7 页

综上所述,所证不等式成立. (Ⅱ)证:当 n ? 6, m ? n时, 1 ? ? ( 而由(Ⅰ) (1 ? ,

1 m 1 ? 1 m? 1 ) ? ,? ?(1 ? ) ? ? ( )m , n?3 2 ? n?3 ? 2

n

1 m m ) ?1? n?3 n?3
n

m n ? 1 m? 1 ? (1 ? ) ? ?(1 ? ) ? ? ( )m . n?3 n?3 ? 2 ?
(Ⅲ)解:假设存在正整数 n0 ? 6使等式 3n 0 ? 4n 0 ? ? ? (n0 ? 2) 即有(
n0

? (n0 ? 3) n0 成立,

3 0 4 n0 n ? 2 n0 )+ ( ) ??? ( 0 ) =1. n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3
n



又由(Ⅱ)可得

3 0 4 n0 n ? 2 n0 n n ? 1 n0 ( )+ ( ) ??? ( 0 ) ? (1 ? 0 ) n0 ? (1 ? 0 ) ?? n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3 n0 ? 3
n

+ (1 ?

1 n0 1 1 1 1 ) ? ( ) n0 ? ( ) n0 ?1 ? ? ? ? 1 ? n0 ? 1, 与②式矛盾, n0 ? 3 2 2 2 2

故当 n≥6 时,不存在满足该等式的正整数 n. 故只需要讨论 n=1,2,3,4,5 的情形; 当 n=1 时,3≠4,等式不成立; 2 2 2 当 n=2 时,3 +4 =5 ,等式成立; 3 3 3 3 当 n=3 时,3 +4 +5 =6 ,等式成立; 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 当 n=4 时,3 +4 +5 +6 为偶数,而 7 为奇数,故 3 +4 +5 +6 ≠7 ,等式不成立; 当 n=5 时,同 n=4 的情形可分析出,等式不成立. 综上,所求的 n 只有 n=2,3. 5.证明:(1)∵A、C、D、F 四点共圆 ∴∠BDF=∠BAC

1 (180°-∠BOC)=90°-∠BAC 2 ∴OB⊥DF.
又∠OBC= (2)∵CF⊥MA ∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2 ∵BE⊥NA ∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2 ∵DA⊥BC ∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2 ∵OB⊥DF ∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2 ∵OC⊥DE ∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2

① ② ③ ④ ⑤ ①-②+③+④-⑤,得

第 8 页 共 8 页

NH 2-MH 2=ON 2-OM 2 ∴OH⊥MN

MO 2-MH 2=NO 2-NH 2

7.解:记所求最小值为 f (m,n),可义证明 f (m,n)=rn+n-(m,n) (*) 其中(m,n) 表示 m 和 n 的最大公约数 事实上,不妨没 m≥n (1)关于 m 归纳, 可以证明存在一种合乎题意的分法, 使所得正方形边长之和恰为 rn+n -(m,n) 当用 m=1 时,命题显然成立. 假设当,m≤k 时,结论成立(k≥1).当 m=k+1 时,若 n=k+1,则命题显然成立.若 n<k+1,从矩形 ABCD 中切去正方形 AA1D1D(如图),由归纳假设矩形 A1BCD1 有一种分法 D D1 使得所得正方形边长之和恰为 m—n+n—(m-n,n)= C m-(m,n),于是原矩形 ABCD 有一种分法使得所得正 方形边长之和为 rn+n-(m,n) (2)关于 m 归纳可以 n 证明(*)成立. 当 m=1 时,由于 n=1,显然 f (m,n)=rn+n-(m, n) m A1 A B 假设当 m≤k 时,对任意 1≤n≤m 有 f (m,n)=rn +n-(m,n) 若 m=k+1,当 n=k+1 时显然 f (m,n)=k+1=rn+n-(m,n). 当 1≤n≤k 时,设矩形 ABCD 按要求分成了 p 个正方形,其边长分别为 al,a2,…,ap 不妨 a1≥a2≥…≥ap 显然 a1=n 或 a1<n. 若 a1<n,则在 AD 与 BC 之间的与 AD 平行的任一直线至少穿过二个分成的正方形 其边界).于是 a1+a2+…+ap 不小于 AB 与 CD 之和. 所以 a1+a2+…+ap≥2m>rn+n-(m,n) 若 a1=n,则一个边长分别为 m-n 和 n 的矩形可按题目要求分成边长分别为 a2,…ap 的正方形,由归纳假设 a2+…+ap≥m-n+n-(m-n,n))=rn-(m,n) 从而 a1+a2+…+ap≥rn+n-(m,n) 于是当 rn=k+1 时,f (m,n)≥rn+n-(m,n) 再由(1)可知 f (m,n)=rn+n-(m,n). (或

第 9 页 共 9 页


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