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丰台区2015-2016学年度第一学期期末高三数学(文)试题及答案word版


丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习 高三数学(文科) 第一部分 (选择题 共 40 分)

2016.01

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项。

1.函数 f ( x) ? log0.5 ( x ? 1) 的定义域为 (A) ( ?1, ??) (B) (1, ??) (C) (0, ??) (D) ( ??, 0)

2.在复平面内,复数 z ? (1 ? i)(2 ? i) 对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限

3. “ x ? 1 ”是“ x2 ? 1 ? 0 ”的 (A)充分必要条件 (B)必要而不充分条件

(C)充分而不必要条件 (D)既不充分也不必要条件 ? ? ? ? 4.已知向量 a ? (3,-4) , b ? ( x, y) ,若 a // b ,则 (A)3x ? 4 y ? 0 (B)3x ? 4 y ? 0 (C)4 x ? 3 y ? 0 (D)4 x ? 3 y ? 0

5.已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 ,直线 l 过点(-2,0) ,若直线 l 上任意一点到圆心距离 的最小值等于圆的半径,则直线 l 的斜率为 (A) ?

3 3

(B) ?3

(C) ? 2

(D) ?1

6. 函数 f ( x)=sin2x ? cos 2 x 的一个单调递增区间是 (A) [?
3? ? , ] 4 4

(B) [?

? 3?
4 , 4

]

(C) [?

3? ? , ] 8 8

(D) [?

? 3?
8
y P

,

8

]

7.如图,在圆 x2 ? y2 ? 4 上任取一点 P ,过点 P 作 x 轴的 垂线段 PD , D 为垂足.当点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是椭圆,那么这个椭圆的离心率是
1 (A) 2 1 (B) 4
O

M

D

x

(C)

2 2

(D)

3 2

丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 1 页 共 12 页

8. 某地实行阶梯电价, 以日历年(每年 1 月 1 日至 12 月 31 日)为周期执行居民阶 梯电价,即:一户居民用户全年不超过 2880 度(1 度=千瓦时)的电量,执行 第一档电价标准,每度电 0.4883 元;全年超过 2880 度至 4800 度之间的电量, 执行第二档电价标准,每度电 0.5383 元;全年超过 4800 度以上的电量,执行 第三档电价标准,每度电 0.7883 元.下面是关于阶梯电价的图形表示,其中正 确的有
单价(元/度)
电费(元/年)

0.7883 0.5383 0.4883
2439.84 1406.30

B A
2880 4800 年用电量(度)

o

2880

4800

年用电量(度)

O


线段PQ左侧阴影部分的面积 表示年用电量为x度时的电费 0.7883元/度 0.5383元/度 0.4883元/度 P



Q

o

2880

x 4800


年用电量(度)

参考数据:0.4883元/度 ? 2880度=1406.30元, 0.5383元/度 ? (4800-2880)度+1406.30元=2439.84元. (A) ①② (B) ②③ (C) ①③ 第二部分 (D)①②③

(非选择题共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 S9 =72 ,则 a2 +a4 +a9 =______ .
? y ? x ? 1, ? 10.已知实数 x, y 满足 ? x ? 3, 则 z ? 2 x ? y 的最大值是_____ ? x ? y ? 4, ?

.

丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 2 页 共 12 页

x) ? c o s2 x ; x) ? n l 1 ( )?x n l 1 ( ?) ? x 11.已知下列函数: ① f ( x) ? x3 ? x ; ② f( ③ f(



其中奇函数有_________个.
1 1 1 12.下图是计算 1+ + + ? + 的程序框图,判断框内的条件是_______. 2 3 2016
开始 n=1,A=0 n=n+1
A=A+ 1 n

2

2 1
正视图

1

侧视图

是 否 输出 A 结束

3

俯视图

13.已知某几何体的三视图,则该几何体的体积是_______.

?2 x ? a ( x ? 1), 14.已知函数 f ( x) ? ? (a ? ?1) .①当 a ? 0 时,若 f ( x ) ? 0 ,则 ?log 2 ( x ? a)( x ? 1).
②若 f ( x) 是 (??, ??) 上的增函数, 则 a 的取值范围是___________. x ? _______; 三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题 13 分) 如图,在 ?ABC 中,点 D 在 BC 边上, AD ? AC , cos B ?
6 , AB ? 3 2 , 3

BD ? 3 .
(Ⅰ)求 ?ABD 的面积; (Ⅱ)求线段 DC 的长.

A

B

D

C

丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 3 页 共 12 页

16.(本小题 13 分) 倡导全民阅读是传承文明、更新知识、提高民族素质的基本途径.某调查公司 随机调查了 1000 位成年人一周的平均阅读时间(单位:小时) ,他们的阅读时间 都在 [0, 20] 内,将调查结果按如下方式分成五组:第一组 [0, 4) ,第二组 [4,8) ,第 三组 [8,12) ,第四组 [12,16) ,第五组 [16, 20] ,并绘制了频率分布直方图,如图. 假设每周平均阅读时间不少于 12 小时的人,称为“阅读达人”. (Ⅰ)求这 1000 人中“阅读达人”的人数; (Ⅱ)从阅读时间为 [8, 20] 的成年人中按分层抽样抽 取 9 人做个性研究.从这 9 人中随机抽取 2 人,求这 2 人都不是“阅读达人”的概率.
0.06 0.04 0.03 0.02 0 4 8 12 16 20 t(h) 0.10
频率 组距

17.(本小题 14 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 4 的菱形, PD ? PB ? 4 ,
?BAD ? 600 , E 为 PA 中点.
P

(Ⅰ)求证: PC// 平面 EBD ; (Ⅱ)求证:平面 EBD ? 平面 PAC ; (Ⅲ) 若 PA ? PC , 求三棱锥 C ? ABE 的体积.
A B E D C

丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 4 页 共 12 页

18.(本小题 13 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,满足 a1 =1 , 2Sn ? an?1 ?1 . (I)求 a2 , a3 的值; (II)求数列 ?an ? 的通项公式,并求数列 ?an ? 2n ?1? 的前 n 项和 Tn .

19.(本小题 14 分) 已知点 F 为抛物线 C: y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点, 过点 F 的动直线 l 与抛物线 C 交 于 M , N 两点,如图.当直线 l 与 x 轴垂直时,| MN |? 4 . (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)已知点 P( ?1,0) ,设直线 PM 的斜率为 k1 ,直线 PN 的斜率为 k2 .请判断 k1 ? k2 是否为定值,若是,写 出这个定值, 并证明你的结论; 若不是, 说明理由.

20.(本小题 13 分) 设函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的图象与直线 y ? ?3x ? 8 相切于点 P (2, 2) . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间;

1 m ?1 2 1 x ? mx ? (m ? 1) ,对于 ? x1 ??0,4? , (Ⅲ)设函数 g ( x) ? x3 ? 3 2 3

? x2 ??0,4? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ,求实数 m 的取值范围.

丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 5 页 共 12 页

丰台区 2015-2016 年第一学期期末练习

高三数学(文科)参考答案
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 5 6 7 题号 答案 B A C C A D D 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 24 10.5 11.2 12. n ? 2016 13.
4 3 3

8 B

14. 1, ?1, ?? ?

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证 明过程. 15.(本小题 13 分) 解(Ⅰ)∵ cos B ? ∴0 ? B ?
6 ,且 0 ? B ? ? , 3

A

?
2



又∵ sin 2 B ? cos2 B ? 1 , ∴ sin B ? ?
3 3 .∴ sin B ? . 3 3

B

D

C

∵ AB ? 3 2 , BD ? 3 , ∴ S?ABD ?
1 1 3 AB ? BD sin B ? ? 3 2 ? 3 ? 2 2 3

?

3 2 .?????????????????????5 分 2

(Ⅱ)

∵ AD2 ? AB2 ? BD2 ? 2 AB ? BD cos B , 且 AB ? 3 2 , BD ? 3 , cos B ? ∴ AD 2 ? 18 ? 3 ? 2 ? 3 2 ? 3 ? ∴ AD ? 3 . 又∵ cos?ADB ?
BD2 ? AD2 ? AB 2 3 ? 9 ? 18 3 , ? ?? 2BD ? AD 3 2? 3 ?3
6 , 3

6 ? 9, 3

丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 6 页 共 12 页

∴ cos?ADC ?

3 . 3

又∵在 Rt ?DAC 中, ?DAC ? 900 ,

∴ cos?ADC ?

AD 3 3 ,即 , ? DC 3 DC

∴ DC ? 3 3 . ?????????????????????13 分 16.(本小题 13 分) 解(Ⅰ)由题知“每周平均阅读时间不少于 12 小时的人,称为‘阅读达人’ ”. 由频率分布直方图知,事件 A : “是阅读达人”的频率为 0.10 ? 4 ? 0.02 ? 4 ? 0.48

∴这 1000 人中“阅读达人”的人数为: 1000 ? 0.48 ? 480 .?????5 分 (Ⅱ)按照分层抽样抽取 9 人做个性研究,则从小组 [8,12) ,[12,16) ,[16, 20] 分别抽取的人数为:3,5,1, 分别标记为 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , c . 从 9 人中随机抽取 2 人,共有 n ? 36 种,结果如下:

a1

a2 a3 b1 b2 b3 b4 b5 c

a2

a3 b1 b2 b3 b4 b5 c
b5 c

a3

b1 b2 b3 b4 b5 c

b1

b2 b3 b4 b5 c

b2

b3 b4 b5 c

b3

b4 b5 c

b4

b5

c

设事件 B : “这 2 人都不是‘阅读达人’”, 事件 B 共有 m ? 3 种, 结果如下: a1a2 , a1a3 , a2 a3 m 3 1 ? .????????????????????13 分 所以 P( B) ? ? n 36 12
丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 7 页 共 12 页

17.(本小题 14 分) 解(Ⅰ)设 AC ? BD ? O ,连结 EO , ∵ E 为 PA 中点, O 为 AC 中点, ∴ EO ∥ PC . 又∵ EO ? 平面 EBD ,
PC ? 平面 EBD ,

∴ PC ∥平面 EBD . (Ⅱ)连结 PO , ∵ PD ? PB , O 为 BD 中点, ∴ PO ? BD . 又∵底面 ABCD 为菱形, ∴ AC ? BD . ∵ PO ? AC ? O , ∴ BD ? 平面 PAC . 又∵ BD ? 平面 EBD ,

????5 分
P

E D O A C

∴平面 EBD ? 平面 PAC .?????10 分 (Ⅲ) VC ? ABE ? VE ? ABC ???12 分
1 1 PO ? ? ? AC ? OB ? 3 2 2 1 ? ? 4 3 ? 2 ? 3 ? 4 . ?????14 分 6 18. (本小题 13 分)

B

解: (Ⅰ) ∵ 2Sn ? an?1 ?1 , ∴ 2a1

? a2 ?1 .

又∵ a1 =1 , ∴ a2 ? 3 . ∵ 2Sn ? an?1 ?1 , ∴ 2S2

? a3 ?1 ,即 2(a1 ? a2 ) ? a3 ?1 ,
????????????????????4 分

∴ a3 ? 9 .

(Ⅱ) ∵ 2Sn ? an?1 ?1 ,
丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 8 页 共 12 页

∴当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? an ?1 , ∴ 2an ? an?1 ? an ,即 an?1 ? 3an , ∴
an?1 =3 (n ? 2) . an
a2 ?3, a1

由 a1 ? 1, a2 ? 3 ,得

∴ ?an ? 是以 1 为首项,3 为公比的等比数列. ∴ an ? 3n?1 (n ??* ) , ?????????????????10 分

∴ Tn ? 30 ?1 ? 31 ? 3 ? 32 ? 5 ? ?? 3n?1 ? 2n ?1

=(30 +31 +32 +? ? 3n?1 )+(1+3+5+?+2n ?1)
1 ? 3n n(1 ? 2n ? 1) 3n ? 1 2 = ? ? ?n 1? 3 2 2

?

3n ? 1 2 ? n . ???????????????????13 分 2

19.(本小题 14 分) 解(Ⅰ)∵ F 为抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点,
p ∴ F ( , 0) .????1 分 2

又∵ l 与 x 轴垂直,且 MN ? 4 ,
p ∴ M ( , 2) .????2 分 2 又∵点 M 在抛物线上, p ∴ 4 ? 2 p ? ? p2 , 2

∴ p?2, ∴求抛物线 C 的方程为 y 2 ? 4x .?????5 分 (Ⅱ)结论: k1 ? k2 ? 0 ,为定值. 设直线 l 与抛物线交于不同两点 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ,
丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 9 页 共 12 页

①当直线 l 斜率不存在时,知直线 PM 与 PN 关于 x 轴对称, ∴ k1 ? k2 ? 0 . ②当直线 l 斜率存在时,直线 l 的方程设为 y ? k ( x ? 1) ,

? y ? k ( x ?1) 联立 ? 2 ,得 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 , ? y ? 4x
2k 2 ? 4 ∴ x1 ? x2 ? , x1 x2 ? 1 . k2

又∵ k1 ?

y1 y , k2 ? 2 , x1 ? 1 x2 ? 1

且 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) , ∴ k1 ? k2 ?
y1 y ? 2 x1 ? 1 x2 ? 1

?

y1 ( x2 ? 1) ? y2 ( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k ( x2 ? 1)( x1 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1) 2k ( x1 x2 ? 1) . x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1

?

?

∵ x1 x2 ? 1 , ∴ k1 ? k2 ? 0 . 综上所述 k1 ? k2 ? 0 . 20.(本小题 13 分) 解(Ⅰ)∵函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的图象与直线 y ? ?3x ? 8 相切于点 P (2, 2) , ∴ f '(2) ? ?3 , f (2) ? 2 . ∵ f '( x) ? 3x2 ? 2ax ? b , ????????14 分

?8 ? 4a ? 2b ? 2 ∴? 2 ?3 ? 2 ? 2a ? 2 ? b ? ?3
丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 10 页 共 12 页

?a ? ?6 解得 ? . ?b ? 9
∴ f ( x) ? x3 ? 6x2 ? 9x . (Ⅱ) f '( x) ? 3x2 ?12x ? 9 ? 3( x ?1)( x ? 3) , 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 3 ; 令 f '( x) ? 0 ,得 1 ? x ? 3 . ∴ f ( x) 的单调递增区间为 (??,1) , (3, ??) ;单调递减区间为 (1,3) . ?8 分 (Ⅲ)记 f ( x) 在 ?0, 4? 上的值域为 A , g ( x) 在 ?0, 4? 上的值域为 B , ∵对于 ? x1 ??0,4? , ? x2 ??0,4? ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) , ∴A? B. 由(Ⅱ)得: f ( x) 在 ?0,1? 上单调递增,在 (1,3) 上单调递减,在 ?3, 4? 上单调递增, ????????4 分

f (0) ? 0 , f (1) ? 4 , f (3) ? 0 , f (4) ? 4 ,
∴ A ? ?0,4? .

1 m ?1 2 1 x ? mx ? (m ? 1) , ∵ g ( x) ? x3 ? 3 2 3
∴ g '( x) ? x2 ? (m ? 1) x ? m ? ( x ?1)( x ? m) . ① 当 1 ? m ? 4 时, g ( x) 在 ?0,1? 上单调递增,在 ?1, m? 上单调递减,在 ?m, 4? 上单 调递增, ∴ g ( x) 的最小值为 g (0) 或 g ( m) , g ( x) 的最大值为 g (1) 或 g (4) .

1 ∵ g (0) ? ? ? 0 ,且 A ? B , 3
∴ g (1) ? 4 或 g (4) ? 4 , ∴ g (1) ?

1 1 m ? ? 4 或 g (4) ? ?4m ? 13 ? 4 , 2 2

丰台区高三数学第一学期统一练习(一) (文科)第 11 页 共 12 页

即m ?9或m ?

9 . 4

又∵ 1 ? m ? 4 , ∴1 ? m ?

9 . 4

② 当 m ? 4 时, g ( x) 在 ?0,1? 上单调递增, ?1, 4? 上单调递减, ∴ g ( x) 的最小值为 g (0) 或 g (4) , g ( x) 的最大值为 g (1) .

1 ∵ g (0) ? ? ? 0 ,且 A ? B , 3
∴ g (1) ? 4 ,

1 1 ∴ m ? ? 4 ,即 m ? 9 . 2 2
综上所述: 1 ? m ?

9 或m ?9. 4

????????13 分

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