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初高中衔接教材教案2—韦达定理、一元二次方程、判别式……


江苏省海门中学 2010 级高一数学教学案

初高中衔接教材

2010.09

一元二次方程
【学习目标】 : 1.熟练掌握一元二次方程的解法及其根的判断; 2.理解韦达定理并能运用其来处理相关问题。 【复习引入】 : 一元二次方程是中学代数的重要内容之一,是进一步学习其他方程、不等式、函数等的 基础,其内容非常丰富,本讲主要介绍一元二次方程的基本解法及韦达定理的运用. 2 1.概念:方程 ax +bx+c=0 (a≠0) 称为一元二次方程. 2.基本解法有开平方法、配方法、公式法和因式分解法. 2 2 3.对于方程 ax +bx+c=0 (a≠0),△=b -4ac 称为该方程的根的判别式. 当△>0 时,方程有两个 的实数根,即 当△=0 时,方程有两个 的实数根,即 当△<0 时,方程 实数根. 2 4. (1)若一元二交方程 ax +bx+c=0 (a≠ 0)的两个根为 x1,x2, 则 x1+x2=_____,x1x2=_______. (韦达定理) 2 (2)若 x1,x2 是方程 x +px+q=0 的二根,则 p=______, q=_______, 以实数 x1,x2 为根的一元二次方程(二次项系数为 1)是________. 【典例欣赏】 : 2 例 1. 试用多种方法解方程:x -3x+2=0

例 2. 已知 m,n 为整数,关于 x 的三个方程:x +(7-m)x+3+n=0 有两个不相等的实数 2 2 根;x +(4+m)x+n+6=0 有两个相等实数根;x -(m-4)x+n+1=0 没有实数根. 求 m,n 的值 。

2

变题:已知实数 x 、 y 满足 x ? y ? xy ? 2 x ? y ? 1 ? 0 ,试求 x 、 y 的值。
2 2

1

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例 3.若 x1 , x 2 是方程 x ? 2 x ? 2010 ? 0 的两个根,试求下列各式的值: (1) x1 ? x 2 , x1 ? x 2 ; (2)

1 x1

?

1 x2

2 ; (3) x1 ? x 2 , x1 ? x 2 ; (4) ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2

例 4.已知 x1 , x 2 是一元二次方程 4kx ? 4kx ? k ? 1 ? 0 的两个实数根。
2

(1)是否存在实数 k ,使 ( 2 x1 ? x 2 )( x1 ? 2 x 2 ) ? ? 不存在,请说明理由。 (2)求使

3 2

成立?若存在,求出实数 k 的值;若

x2 x1

?

x1 x2

? 2 的值为整数的实数 k 的整数值。

【反思小结】 :

2

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【针对训练】 :
2

班级

姓名

学号

1. 一元二次方程 (1 ? k ) x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根, k 的取值范围_________。 则 2. 已知菱形 ABCD 的边长为 5,两条对角线交于点 O,且 OA、OB 的长分别是关于 x 的方程

x 2 ? ( 2 m ? 1) x ? m 2 ? 3 ? 0 的根,则 m 等于_________。
3. 若实数 a ? b, 且 a、b 满足 a ? 8a ? 5 ? 0, b ? 8b ? 5 ? 0, 则代数式
2 2

b ?1 a ?1

?

a ?1 b ?1

的值

为____________。 4. 已知一个直角三角形的两条直角边长恰是方程 2 x ? 8 x ? 7 ? 0 的两个根, 则这个直角三
2

角形的斜边长是___________。 5. 若方程 2 x ? ( k ? 1) x ? k ? 3 ? 0 的两根之差为 1,则 k 的值是___________。
2

6.已知 x1 , x 2 是方程 x - 5 x ? 2 ? 0 的两个实数根。
2

求(1) x1 ? x 2 (5) x1 ? x 2
3 3

(2) x1 ? x 2 ; (6)

(3)

1 x1

?

1 x2



(4) x1 ? x 2
2

2

1 x1
2

?

1 x2
2

(7) ( x1 ? 1) ? ( x 2 ? 1)

7.已知:α 、β 是方程 x ? 7 mx ? 4m ? 0 的两根,且(α -1) -1)=3,求 m 的值 (β
2 2

3

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8.已知关于 x 的方程 x ? mx ? n ? 0 的根为 2 和-2,求 x ? nx ? m ? 0 的两根。

9. 已知关于 x 的方程 x ? ( k ? 1) x ?
2

1 4

k 2 ? 1 ? 0 的两根是一个矩形两边的长。

【拓展提高】 : 10.求作一个方程,使它的根是方程 x ? 7 x ? 8 ? 0 的两根的平方的负倒数。
2

4


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