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三角函数辅导1-改好


三角函数一

练习: 在 0° —360° 范围内,找出与-950°12′角终边相同的角,并判定它是第几象限角.

知识点一
1. 角的概念及分类 例2 2.所有与 α 终边相同的角,连同角 α 在内,用一个式子表示出来: 如图,分别写出适合下列条件的角的集合:

认识:① k∈ ____;

② α 是________;

③ 终边相同的角_______相等,终边相同的角有________个,它们相差_________倍. 问:你能说出 k 的几何意义吗? (1)终边落在射线 OB 上; (2)终边落在直线 OA 上; 3.终边落在射线及直线上的角的集合 ① 写出终边在 x 轴上的角的集合. ② 写出终边在 y 轴上的角的集合. (3)终边落在阴影区域内(含边界). 练习:2. 若 α=k· 180° +45° ,k∈Z,则 α 是第________象限角( A.一或三 ③ 写出终边在坐标轴上的角的集合. C.二或四 B.一或二 D.三或四 ).

4. 终边落在某个区域内的角的集合 (1) ① 第一象限角的集合: ③ 第三象限角的集合: ② 第二象限角的集合: ④ 第四象限角的集合:

知识点二
1. 弧度制 ①弧度制的定义 长度等于 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示,读作弧度.以弧度作为单位来度量角

的单位制叫做弧度制. (2)用弧度表示顶点在原点,始边重合于 x 轴的非负半轴,终边落在如图所示的阴影部分内的角的集合 (不包括边界). ②任意角的弧度数与实数的对应关系 正角的弧度数是一个 2.角度制与弧度制的换算 ;负角的弧度数是一个 ;零角的弧度数是零.

【练习】1. (1)把 112° 30′化成弧度;

5π (2)把- 化成度. 12

2.利用弧度制表示终边落在坐标轴上的角的集合. 例 1. 写出终边在直线 y=x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤β<720°的元素 β 写出来.

3.利用弧度制表示终边落在各个象限的角的集合.

3. 弧度制下的扇形的弧长及面积公式 :

例1

(1)把-1 480° 写成 2kπ+α(k∈Z,α∈[0,2π))的形式;

(2)若 β∈[-4π,0),且 β 与(1)中 α 终边相同,求 β.

知识点三
1.任意角的正弦、余弦和正切的定义 (1)单位圆:在直角坐标系中,我们称以原点O为圆心,以 为半径的圆为单位圆. (2)任意角的三角函数如图,设α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: ①y叫做α 的正弦,记作sin α ,即sin α = ; ②x叫做α 的余弦,记作cos α ,即cos α = ;

练习:1. 已知集合 A={α |2kπ <α <π +2kπ ,k∈Z},B={α |-4≤α ≤4},求 A∩B.

2. 判断下列各组角中,哪些是终边相同的角. (1)k·90°与 k·180°+90°(k∈Z); (2)k·180°±60°与 k·60°(k∈Z); (4)k·180°+30°与 k·180°±30°(k∈Z).

y ③ 叫做 α 的正切,记作 tan α,即 tan α= x

(x≠0).

(3)(2k+1)·180°与(4k±1)·180°(k∈Z);

例 2.

已知扇形的周长为 6cm,扇形的中心角为 1,求弓形的面积?

练习:求

5? 的正弦、余弦和正切值. 3

3 练习:1. 如果一扇形的弧长变为原来的 倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的________. 2

2.任意角的正弦、余弦和正切的第二定义
2 2 ,设 α 是一个任意角,P(x,y)是 α 终边上任意一点,点 P 与原点的距离 r= x ? y >0,那么:

2. 若扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,则该扇形圆心角的弧度数是________.

图4 3. 在直径为 10 cm 的轮上有一长为 6 cm 的弦,P 为弦的中点,轮子以每秒 5 弧度的角速度旋转,则经过 5 s 后 P 转过的弧长为________.

y x 叫做 α 的正弦,即 sinα=_________; ② 叫做 α 的余弦,即 cosα=__________; r r y ③ 叫做 α 的正切,即 tanα=___________ (x≠0). x 说明: 这样定义三角函数,突出了点 P 的任意性,说明任意角 α 的三角函数值只与 α 有关,而与点 P 在角的终 边上的位置无关
① 练习:已知角 α 的终边经过点 P0(-3,-4),求角 α 的正弦、余弦和正切值.

3.正弦、余弦、正切函数的定义域值及在各象限的符号 三角函 数 sinα cosα tanα

例 1.已知角α 的终边过点 P(-3m,m)(m≠0),求α 的正弦、余弦、正切值.

定义域 练习: (1)已知角 α 的终边在直线 y=-3x 上,求 10sinα+3cosα 的值

(2)已知 θ 终边上一点 P(x,3)(x≠0),且 cos θ=

10 x,求 sin θ,tan θ. 10

例 2. 计算下列各式的值: (1)sin(-1 395° )cos 1 110° +cos(-1 020° )sin 750° ; 练习:1. 已知 cosθ·tanθ<0,那么角 θ 是( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 α α 2.若 α 是第一象限角,则 sin 2α,cos ,tan 中一定为正值的个数为________. 2 2 4.终边相同的角的同一三角函数的值相等.由此得到一组公式(公式一): sin(α+k· 2π)=__________ cos(α+k· 2π)=__________ tan(α+k· 2π)=_________, 其中 k∈Z. 例 3 求函数 y= sin a +tanα 的定义域. 11π? 12π (2)sin? tan 4π. ?- 6 ?+cos 5 ·

练习:设 f(x)=sin

? x,求 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(72)的值. 3

利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为求 0 到 2π(或 0° 到 360° )角的三角函数值.这个公式称 为三角函数的“诱导公式一”. 练习:计算下列各式的值: (1)sin390° ; (2)cos

19? ; 6

(3)tan(-330° ).

练习:1.已知f ( x) ?

sin x cos x tan x ? ? , 求f ( x)的值域。 sin x cos x tan x

2. 完成下表: 度 弧度 sina cosa tana

00

300

450

600

900

1200 1350 1500 1800

2700 3600
2. 若三角形的两内角α ,β 满足 sin α cos β <0,则此三角形必为 A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上三种情况都可能 ( ).

知识点四:
1. 三角函数线 如图,α,β 的终边分别与单位圆交于点 P,Q,过 A(1,0)作切线 AT,交射线 OP 于点 T,交射线 OQ 的反向延长 线于 T′,点 P、Q 在 x 轴上的射影分别为点 M、N,则 2.若 0<α<2π,则使 sinα< A.( ?

1 3 和 cosα> 同时成立的 α 的取值范围是( 2 2
B.(0,

)

? ?
,

3 3 5? C.( ,2π) 3

)

? ) 3 ? 5? D.(0, )∪( ,2π) 3 3

sinα=______________,cosα=______________,tanα=______________, sinβ=______________,cosβ=______________,tanβ=______________. 练习:1. 分别作出下列角的三种三角函数线: 例 2. 利用单位圆和三角函数线证明: (1)若 α 为锐角,则 sinα+cosα>1; (2)若 α 为任意角,则︱sinα︳《1;

19? 6

4? 3

-? 4

2.在单位圆中画出适合下列条件的角 α 的终边或终边所在的范围,并由此写出角 α 的集合: (1)sinα=

练习: 判断下列三角函数值的符号: (1)sin 3,cos 4,tan 5; (2)sin(cosθ )(θ 为第二象限角)

1 ; 2

(2)sinα≥

1 . 2

(3)tanα>1

例 1 求下列函数的定义域: (1) y=lg(3-4sin2x). (2)y= 2cosx - 1 的定义域.

练习:1. 若

? ? <θ< ,则 sinθ,cosθ,tanθ 的大小关系是( 4 2

) B.sinθ<tanθ<cosθ D.cosθ<sinθ<tanθ

A.tanθ<cosθ<sinθ C.cosθ<tanθ<sinθ


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