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一元二次不等式及其解法


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一元二次不等式及其解法

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1.一元二次不等式与相应的二次函数及一 元二次方程的关系如下表
判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图像

一元二次方程 有两相异实根 2 ax + bx+c= 0 x1,x2(x1< x2) (a> 0)的根 一元二次不等 {x| x<x1 式 或x>x2 } ax2+ bx+c> 0 ____________ (a> 0)的解集 ax2+ bx+c< 0 {x|x <x<x } 1 2 ___________ (a> 0)的解集

有两相同实根 b 没有实根 x1=x2=- 2a R

{x|x≠x1} ___________

?

? ______

?

2.用程序框图表示一元二次不等式ax2+bx+c>0(a >0)的求解过程

1.ax2+bx+c>0(a≠0)对一切x∈R恒成立的 条件是什么? ? 【提示】 a>0且b2-4ac<0. ? 2.当一元二次不等式ax2+bx+c>0中的 a>0改为a<0,在程序框图中如何改动? ? 【提示】 改动的只是三个输出框的内容, 第一个输出框的内容改为:输出空集,第 二个输出框的内容改为:输出区间(x2,x1), 第三个输出框的内容改为:输出空集.
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1.(人教 A版教材习题改编)不等式2x2-x-1>0的解集 是( ) 1 A.(- ,1) B.(1,+∞ ) 2 1 C.(-∞, 1)∪(2,+∞) D.(-∞,- )∪(1,+∞) 2

【解析】 ∵2x2-x-1=(x-1)(2x+1)>0, 1 ∴x>1或x<- . 2 1 故原不等式的解集为(-∞,- )∪(1,+∞). 2 【答案】 D

x- 1 2.不等式 ≤ 0的解集为 ( 2x+ 1

)

1 1 A. {x|- < x≤ 1} B.{x|x≥ 1或 x<- } 2 2 1 1 C. {x|- ≤ x≤ 1} D. {x|x≥ 1或 x≤- } 2 2
【解析】 原不等式等价于 (x-1)(2x+1)<0或x-1=0. 1 ∴原不等式的解集为(- ,1]. 2
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【答案】 A

1 3.函数y= 2的定义域是 ________. 6-x-x
? ? ? ?

【解析】 要使函数有意义,只需6-x-x2>0, ∴x2+x-6<0, ∴-3<x<2,∴f(x)的定义域为{x|-3<x<2}. 【答案】 {x|-3<x<2}

4.(2012·福建高考)已知关于x的不等式x2 -ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值 范围是________. ? 【解析】 ∵x2-ax+2a>0在R上恒成立, ? ∴Δ=a2-4×2a<0, ? ∴0<a<8. ? 【答案】 (0,8)
?

1 1 5.一元二次不等式ax +bx+2>0的解集是(- , ), 2 3 则a+b的值是________.
2

【解析】 1 . 3

1 由已知得方程 ax + bx+ 2=0的两根为- , 2
2

1 1 ? b ?a=- 12, ?-a=-2+3 ? 则? 解得? ? ?b=- 2, ?2=(- 1)×1 2 3 ?a ∴ a+ b=- 14.

【答案】

-14

已知函数
【审题视点】

2 ? ?x +2x,x≥0, f(x)=? 解不等式 2 ? ?-x +2x,x<0,

f(x)>3.

对x分x≥0、x<0进行讨论从而把f(x)>

3变成两个不等式组.

【尝试解答】

(1)当 x≥0 时,f(x)=x2+2x,

? ? ?x≥0, ?x≥0, ∴f(x)>3?? 2 ?? ? ?x +2x-3>0 ? ?(x+3)(x-1)>0.

解之得,x>1. (2)当 x<0 时,f(x)=-x2+2x.
2 2 ? ?x -2x+3<0, ? ?(x-1) +2<0, ∴f(x)>3?? ?? ? ? ?x<0 ?x<0,

不等式组的解集为?. 综合(1)、(2)知 f(x)>3 的解集为{x|x>1}.

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1.注意到f(x)是分段函数,求解时应分类 讨论. 2.解一元二次不等式的一般步骤:

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(1)化为标准形式;(2)确定判别式Δ的符号; (3)若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方程 的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根; (4)结合二次函数的图象得出不等式的解 集.特别地,若一元二次不等式的左边的

?

(2013·九江调研)若将例1的函数f(x)的解析 式改为“f(x)=x2-2x-4ln x”,求不等式 f′(x)>0的解集. 2
【解】

由f(x)= x - 2x- 4ln x,定义域为(0,+∞ ), 2 4 2( x - x- 2) ∴ f′(x)= 2x- 2- = , x> 0, x x 由 f′(x)> 0且 x> 0,得 x2- x- 2>0且 x>0, 即 (x- 2)(x+ 1)> 0且 x> 0, 解之得x> 2, ∴不等式f′(x)> 0的解集为{x|x> 2}.

设函数f(x)=mx2-mx-1. ? (1)若对于一切实数x,f(x)<0恒成立,求m 的取值范围; ? (2)若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立, 求m的取值范围. ? 【审题视点】 本题(1)可讨论m的取值, 利用判别式来解决.对于(2)含参数的一元 二次不等式在某区间内恒成立问题,常有 两种处理方法:一是利用二次函数区间上 的最值来处理;二是先分离出参数,再去
?

【尝试解答】 (1)要使mx2- mx- 1<0恒成立, 若 m= 0,显然- 1<0; 若 m≠ 0,
? ?m<0 则? ?- 4<m<0. 2 ? Δ = m + 4 m <0 ?

所以 m的取值范围为 {m|- 4<m≤ 0}. (2)要使f(x)<- m+ 5在 [1, 3]上恒成立,只需mx2- mx + m< 6恒成立(x∈ [1, 3]), 12 3 2 又因 x - x+ 1= (x- ) + > 0, 2 4 6 所以 m< 2 . x - x+ 1

6 6 因为 y= 2 = , 1 3 x - x+ 1 ( x- )2+ 2 4 12 3 由 t= (x- ) + 在[1,3]上是增函数, 2 4 6 ∴ y= 2 在[1, 3]上是减函数 x -x+ 1 6 因此函数的最小值ymin= . 7 6 所以,m的取值范围是{m|m< }. 7

1.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大 于0就是相应的二次函数的图象在给定的区 间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的 二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴 下方.另外常转化为求二次函数的最值或 用分离参数法求最值. ? 2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元, 谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就 是主元,求谁的范围,谁就是参数.
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若x∈[-1,+∞)时,x2-2ax+2≥a恒成立, 试求a的取值范围. ? 【解】 法一 令f(x)=x2-2ax+2, x∈[-1,+∞), ? f(x)=(x-a)2+2-a2,此二次函数图象的对 称轴为x=a. ? (1)当a∈(-∞,-1)时,结合图象知,f(x) 在[-1,+∞)上单调递增,f(x)min=f(-1)= 2a+3. ? 要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
?

(2)当 a∈[- 1,+∞ )时,f(x)min=f(a)= 2- a2, 由 2- a2≥a,解得-2≤a≤ 1,∴- 1≤a≤ 1. 综上所述,所求a的取值范围为-3≤ a≤ 1. 法二 由已知得x2- 2ax+2- a≥0在 [- 1,+∞ )上恒 成立,令f(x)=x2- 2ax+ 2-a, ?Δ >0, ? 2 即 Δ= 4a - 4(2- a)≤ 0或?a<-1, ? f(- 1)≥ 0. ? 解得-3≤a≤1. 故 a的取值范围为{a|-3≤ a≤1}.

(2013· 济南调研 )行驶中的汽车, 在刹车时由于惯性作用,要继续往前 滑行一段距离才能停下,这段距离叫 做刹车距离.在某种路面上,某种型 号汽车的刹车距离 s(m)与汽车的车速 nv v2 v(km/h)满足下列关系:s= + 100 400 (n为常数,且 n∈N),做了两次刹车试验,有关试验数据如
? ?6< s1< 8, 图6-2-1所示,其中? ? ?14< s2< 17.

(1)求n的值; ? (2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的 最大速度是多少? ? 【审题视点】 (1)由图象信息,将v=40, v=70时,代入求s1,s2,得关于n的不等 式组;(2)解关于v的不等式,求最大值.
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【尝试解答】 (1)由试验数据知, 2 7 49 s1= n+4,s2= n+ , 5 10 4

2 ? ?5< n< 10, ?6<5n+ 4<8, ? ∴? 解之得?5 95 7 49 < n< . ? ?14< n+ < 17, 2 14 ? 10 4 ? 又 n∈ N,∴ 取 n=6. 3v v2 (2)由 (1)知,s= + , v≥ 0. 50 400 3v v 2 依题意, s= + ≤ 12.6, 50 400 即 v2+ 24v- 5 040≤ 0,解之得-84≤v≤ 60. 注意到 v≥ 0,所以 0≤ v≤ 60. 故行驶的最大速度为60 km/h.

1.(1)求解本题的关键是文字语言、图形语言,符号语 3v 言之间的合理转化.(2)避免忽视v≥0的限制条件,及 + 50 v2 ≤12.6中的等号. 400 2.解不等式的实际应用中,常以函数模型为载体,解 题时要理清题意,准确找出其中的不等关系,引进数学符 号恰当表示,最后用不等式的解回答实际问题.

某种商品,现在定价p元,每月卖出n件,设定价上涨 x成,每月卖出数量减少y成,每月售货总金额变成现在的z 倍. (1)用 x和y表示 z; 2 (2)若 y= x,求使每月售货总金额有所增加的x值的范 3 围.
【解】 (1)按现在的定价上涨x成时,上涨后的定价为 x y p(1+ )元,每月卖出数量为n(1- )件,每月售货总金额 10 10 是npz元,

x y 因而 npz= p(1+ )· n(1- ), 10 10 ( 10+ x)(10- y) 所以 z= . 100 2 (10+ x)( 10- x) 2 3 (2)当 y= x时, z= , 3 100 要使每月售货总金额有所增加,即z>1, 2 应有 (10+ x)· (10- x)>100, 3 即 x(x- 5)<0,所以 0<x<5,所以,要使每月售货总金额 有所增加,则 x的取值范围是(0, 5).

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解一元二次不等式的一般过程是:一看(看 二次项系数的符号),二算(计算判别式,判 断方程根的情况),三写(写出不等式的解 集).

对于不等式ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+ c<0(≤0)(a ? ≠0)的求解,善于联想:(1)二次函数y=ax2 +bx+c的图象与x轴的交点,(2)方程ax2+ bx+c=0(a≠0)的根,运用好“三个二次” 间的关系.
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1.二次项系数中含有参数时,参数的符号影 响不等式的解集;不要忘了二次项系数是 否为零的情况. ? 2.解含参数的一元二次不等式,可先考虑 因式分解,再对根的大小进行分类讨论; 若不能因式分解,则可对判别式进行分类 讨论,分类要不重不漏. ? 3.不同参数范围的解集切莫取并集,应分 类表述.
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从近两年的高考试题来看,一元二次不等 式的解法,含字母参数的不等式的求解, 三个“二次”间的联系及综合应用是高考 的热点,而且常与函数、导数等知识交汇 命题,考查应用分类讨论、数形结合、转 化思想解决问题的能力.

思想方法之十一 数形结合解决不等式恒 成立问题 ? (2012·浙江高考改编)设a∈R,若x>0 时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,求实数 a的取值范围. ? 【规范解答】 (1)当a≤1时,对x>0,恒有 (a-1)x-1<0, ? ∴原不等式化为对x>0,恒有x2-ax-1≤0, (*) ? 由于二次函数y=x2-ax-1的图象开口向上, ? ∴(*)式不恒成立,即a≤1时,原不等式不会
?

(2)当 a> 1时,令 f(x)= (a- 1)x-1, g(x)= x2-ax- 1, 两函数图象都过定点P(0,- 1). ∵ f(x)在 x∈ (0,+∞)上单调递增,且与x轴的交点为 1 M( , 0). a- 1 1 1 ∴当 x∈ (0, )时, f(x)< 0;当 x> 时,f(x)> 0. a- 1 a- 1 a 2 又∵二次函数 g(x)= x - ax- 1的对称轴为 x= > 0, 2 1 2 因此只需 g(x)=x - ax- 1与 x轴的右交点与点 M( , a- 1 0)重合,如图所示,则命题成立.

1 1 2 a ∴点 M( , 0)在 g(x)的图象上,则( )- -1 a-1 a- 1 a- 1 = 0. 3 整理得2a -3a= 0(a>1),∴ a= , 2
2

3 综合 (1)、(2)知,满足条件的实数a= . 2

易错提示:(1)找不到解题的切入点,难以 将不等式转化为函数问题,或忽视对参数a 的讨论,解答不完整. ? (2)难以发现f(x),g(x)的图象特征,难以将x >0分成两个区间,在各自的区间上两函数 恒正或恒负,无法判定出不等式恒成立的 条件是“两函数图象与x轴正半轴的交点重 合”.
?

防范措施:(1)注意参数取值对不等式的影响,分类讨 论,并恰当构造函数是解决问题的前提. (2)抓住所构造函数的图象与性质是解决此类问题的关 键,这里特别是函数的单调性、函数的零点,转化为f(x), 1 1 g(x)在区间(0, ), ( ,+∞ )上恒负或恒正,借助几 a- 1 a- 1 何直观,找到两函数零点的关系.

1 1. (2012· 天津高考)设 x∈ R,则“ x> ”是“2x2+ x- 2 1>0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

1 【解析】 不等式2x +x-1>0的解集为{x|x> 或x<- 2 1 1 2 2 1},故由x> ?2x +x-1>0,但2x +x-1>0D?/x> ,故选 2 2 A.
2

?

【答案】 A

?

2.(2013·安庆模拟)不等式ax2+4x+a>1 -2x2对一切x∈R恒成立,则实数a的取值 范围是________.
【解析】 一 切 由题意知,不等式 (a+2)x2+4x+a-1>0 x∈R 恒 成 立 , 则 有



? ?a+2>0, ? ? ?Δ=16-4(a+2)(a-1)<0,

解得 a>2.

【答案】

(2,+∞)


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