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湖北省安陆市第一高级中学2013届高三下学期模拟考试数学(文)试卷


数学试卷(文科)
★★祝考试顺利★★ 注意事项: 1.本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分 150 分,考 试时间 120 分钟. 2.答题前,请考生务必在试卷和答卷的密封线内填写学校、班级、考号、姓名. 3.本科考试分试卷和答卷,考生须在答卷上作答.选择题请用 2B 铅笔将答卷上对应题 目的答案标号涂黑;非选择题请按照题号顺序在各题的答题区域内作答,超出答题 区域书写的答案无效.

第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
―、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.) 1. 设复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 2i ,其中 i 为虚数单位,则 z ? ( A. ? 1 ? i B. ? 1 ? i C. 1 ? i ) D. 1 ? i

2. “ a ? 1 ”是“ 1 ? 1 ”成立的( ) a A.充分必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分也非必要条件 ? =a+bx.经计 3. 某校学生学习《统计学》的时间(x)与考试成绩(y)之间建立线性回归方程 y

? = 20 ? 0.8 x ,则该方程参数的计算 ( ) 算,方程为 y A.a 值明显不对 B.b 值明显不对 C.a 值和 b 值都不对 D.a 值和 b 值都正确 4. 已知 f ( x) ? x(2014 ? ln x) ,若 f ?( x0 ) ? 2013 ,则 x0 ? (
A.1 B. ln 2 C.

)

1 D.e e 2 5. 设 f ( x ) ? 2 ? x ,若 0 ? a ? b ,且 f (a) ? f (b) ,则 ab 的取值范围是(
A. (0,2) B. (0,2] C. (0,4] D. (0, 2 )

)

6. 给出下列四个命题: ①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂 直. 其中为真命题的是( ) A.①和② B.②和③ C.③和④ D.②和④ 7. 已知向量 a ? (2,1) , b ? (1, k ) ,且 a 与 b 的夹角为锐角,则实数 k 的取值范围是( ) A. ? ?2, ?? ? B. ( ?2, ) ? ( , ?? )

1 2

1 2

C. (??, ?2)

D. (?2, 2)

8. 已知直角三角形 ABC,其三边分为 a,b,c,(a>b>c).分别以三角形的 a 边,b 边,c 边所 V2 , V3 , ) 在直线为轴旋转一周形成三个几何体, 其体积分别为 V1 , 则它们的关系为 ( A. V1 ? V2 ? V3 B. V1 ? V2 ? V3 C. V1 ? V2 ? V3 D. V1 ? V2 ? V3

9. 已知数列{an}的通项公式为 a n ? ( ) A.有最大项,没有最小项 C.既有最大项又有最小项 10. F ( ? c,0 )是双曲线 实轴长为 ( A.4 ) B. 2

4 9

n ?1

2 ? ( ) n ?1 ,则数列{an}( 3



B.有最小项,没有最大项 D.既没有最大项也没有最小项

x2 y2 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的左焦点, P 是抛物线 y2=4cx 上一点, 2 a b 2 2 2 直线 FP 与圆 x +y =a 相切于点 E ,且 PE ? EF ,若双曲线的焦距为 2 +2,则双曲线的
C. D.

第Ⅱ卷(非选择题部分 共 100 分)
二、填空题:(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡对应题号的 位置上.答错位置,书写不清,模棱两可,对而不全均不得分.) 11.集合 A ? x | x 2 ? 9 ? 0 ,集合 B ? x | x ? 1 ? 0 ,则 A ? B = x?2 12.为了了解某校高三男生的身体状况, 抽查了部分 男生的体重,将所得数据整理后,画出了频率分布 直方图(如右图) .已知图中从左到右的前 3 个小组 的频率之比为 1﹕2﹕3,第 2 小组的频数为 12,则 被抽查的男生的人数是 . 13.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8, 则输出 s 的值为
2

?

?

?

?




2

14.如果圆 ? x ? a ? ? ? y ? a ? ? 8 上总存在两个点到 原点的距离为 2 ,则实数 a 的取值范围是 .

15. 在区间 ?0,10? 内随机取出两个数 ,则这两个数的平方和 也在区间 ?0,10? 内的概率是 16. 设 n 为正整数 , f (n) ? 1 ? .

1 1 1 ? ? ? ? ,计算 得 2 3 n

3 5 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, 观察上述结果, 2 2
可推测一般的结论为 17. 已知函数 f ? x ? ? ? (1) f .

? ? 1? x ? Q ? , 则 ? ?0 ? x ? C R Q ? ,

? f ? x?? ? ______________;

(2)下列三个命题中,所有真命题的序号是__________. ①函数 f ? x ? 是偶函数; ②任取一个不为零的有理数 T , f ? x ? T ? ? f ? x ? 对任意的 x ? R 恒成立;

③存在三个点 A x1, f ? x1 ? , B x2 , f ? x2 ? , C x3 , f ? x3 ? ,使得 ?ABC 为等边三角形. 三、解答题:(本大题共 5 小题,共 65 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 18.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是 (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ,求 g ( x) 的单调递增区间.

?

? ?

? ?

?

π . 4

19.(本题满分 13 分)已知数列 {an } 是等差数列, a3 ? 10 , a6 ? 22 ,数列 {bn } 的前 n 项和是

1 (Ⅱ)求证:数列 {bn } 是等比数列. S n ,且 S n ? bn ? 1 .(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 3

20.(本小题满分 13 分)如图,正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 1,P、Q 分别是线段 AD1 和 BD 上的点,且 D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12. (Ⅰ)求证 PQ∥平面 CDD1C1; (Ⅱ)求证 PQ⊥AD. D1 C1

A1

B1

D C A 21. ( 本 小 题 满 分 13 B

分 ) 已 知 函 数 f ( x ) 满 足 对 于 ?x ? R , 均 有

f (x ) ? f2 ? x( ? a x )?

1 x 2 ?x ( a ) a ? l成立 n .( a

1)

(Ⅰ)求 f ( x) 的解析式;

(Ⅱ)求 f ( x) 的最小值; (Ⅲ)证明: ( )n ? ( )n ? … ?( )n ?

1 n

2 n

n n

e , (n ? N ? ) . e ?1

22.(本小题满分 14 分)已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? 2 ? 1 ,(a ? b ? 0) 的离心率为 ,以原点为圆 2 a b 2

心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 6 ? 0 相切,过点 P(4, 0) 且不垂直于 x 轴 直线 l 与椭圆 C 相交于 A 、 B 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求 OA ? OB 的取值范围; (Ⅲ)若 B 关于 x 轴的对称点是 E ,证明:直线 AE 与 x 轴相交于定点.

数学试卷(文科)参考答案
―、选择题:(每小题 5 分,共 50 分) 1.A. 2.B. 3. B. 4.A. 5. A. 6.D. 二、填空题: (每小题 5 分,共 35 分) 11. ?x | ?1 ? x ? 2? . 15. 40 .
?

7. B.

8.B. 9.C. 10. A. 14.

12. 48.
n

13. 8.

? ?3, ?1? ? ?1,3? .

16. f (2 ) ?

n?2 , (n ? N ? ) . 17.(1)1(2 分) ; (2)①②③(3 分,对而 2

不全的不给分) ; 三、解答题: (共 5 大题,共 65 分) 18.解: (Ⅰ)依题意,得 f ( ) ? 0 , 即 sin 解得 a ? 1 .

π 4

π π 2 2a ? a cos ? ? ? 0, 4 4 2 2
………………5 分 ………………6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x .

g ( x) ? f ( x) ? f (?x) ? 2 3sin x cos x ? (sin x ? cos x)(? sin x ? cos x) ? 3sin 2x
2? ? (cos2 x ? sin2 x) ? 3sin 2x ? c o s x
由 2kπ ?

2 sinx (? 2 3 si xn?2

π ) 10 分 .…… 6

π π π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? ,得 kπ ? ? x ? kπ ? , k ? Z . 2 6 2 3 6 π π 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [ kπ ? , kπ ? ] ( k ? Z ) . …………12 分 3 6
19. 解: (Ⅰ)由已知 ? (Ⅱ)由于 S n ? 1 ?

?a1 ? 2d ? 10, 解得: a1 ? 2 , d ? 4 ,∴ an ? 4n ? 2 a ? 5 d ? 22 . ? 1

……6 分

3 1 1 bn ,①当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ? b1 ,∴ b1 ? ; 4 3 3 1 1 1 3 ②当 n ? 2 时, bn ? S n ? S n ?1 ? (1 ? bn ) ? (1 ? bn ?1 ) ,∴ bn ? bn ?1 ,又 b1 ? ? 0 , 3 3 4 4


bn 3 1 1 ,∴ 数列 {bn } 是以 b1 ? 为首项, 为公比的等比数 ? (常数) 4 4 bn ?1 4
…………13 分

列.

AC 内,作 QQ1 ? BC 20.解: (Ⅰ)在平面 AD1 内,作 PP 1 ? AD 与 DD 1 交于点 P 1 ,在平面
交 CD 于点 Q1 ,连接 PQ 1 1 . ? D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12, ∴PP1 QQ1 .由四边形 PQQ 1P 1为 平 行 四 边 形 , 知 PQ ? PQ 1C1 , 所 以 PQ ? 平 面 1 1 , 而 PQ 1 1 ? 平 面 CDD

//

CDD1C1
? AD ? PQ
……13 分

……6 分

(Ⅱ)? AD ? 平面 D1DCC1 ,? AD ? PQ 1 1 ,又 PQ ? PQ 1 1,

1 ? f ( x) ? 2 f (? x) ? a x ? 2( ) x ? x ln a ? ? a 21.解: (Ⅰ)依题意得 ? ? f (? x) ? 2 f ( x) ? ( 1 ) x ? 2a x ? x ln a ? a ?
解之得 f ( x) ? a x ? x ln a (Ⅱ) f ' ( x) ? a x ln a ? ln a ? (a x ? 1) ln a 当 x>0 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x<0 时, f ?( x) ? 0 ; ∴ f ( x) 在 (??,0) 上递减,在 (0, ??) 上递增. ∴ f ( x) min =f (0) =1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)得 a x ? x ln a ≥1 恒成立,令 a=e,
k

……………4 分

……………8 分 则 ex ≥ x ? 1

在 e x ≥ x ? 1中令 x=-

? k k k ,∴1- ≤ e n 即 (1 ? )n ≤ e?k .分别令 k=1,2,…,n-1,得: n n n

∴(1-

2 1 n -1 n ? 1 n -(n-1) n - ) ≤e ; (1- )n≤e 2 ; … ; (1- ) ≤e ;又( )n=1, n n n n

n ?1 n n?2 n 1 n - - - - - - ) +( ) +…+( )n+( )n≤e 1+e 2+…+e (n 1) +1= 1+e 1+e 2 n n n n 1 1 1 ? ( ) n e[1 ? ( ) n ] 1 2 - - e ? e < e + … + e (n 1) = , 整 理 即 得 : ( )n ? ( )n ? … 1 n n e ?1 e -1 1? e n e ?( )n ? , (n ? N ? ) . …………13 分 n e ?1
∴( 22. 解: (Ⅰ)由题意知 e ?

6 c 2 a 2 ? b2 1 c 1 4 ? 3, ? , ∴ e2 ? 2 ? 即 a 2 ? b2 又 b ? ? , 2 4 a 2 3 a a 1?1

b 2 ? 3 ,故椭圆的方程为 ∴ a 2 ? 4, y2 x2 ? ?1 4 3

…………3 分

(Ⅱ)由题意知直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
? y ? k ( x ? 4) ? 由 ? x2 得: (4k 2 ? 3) x 2 ? 32k 2 x ? 64k 2 ? 12 ? 0 y2 ? ?1 ? 3 ? 4

由 ? ? (?32k 2 ) 2 ? 4(4k 2 ? 3)(64k 2 ? 12) ? 0 得: k 2 ? 设 A(x1,y1),B (x2,y2),则 x1 ? x2 ?

1 4

32k 2 64k 2 ? 12 , x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3



∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 x1 x2 ? 4k 2 ( x1 ? x2 ) ? 16k 2 ∴ OA ? OB ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? (1 ? k )
2

64k 2 ? 12 32k 2 87 2 ? 4 k ? ? 16k 2 ? 25 ? 2 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3

87 87 87 1 13 ?? 2 ? ? , OA ? OB ? [?4, ) ,∴ ? 3 4 4 4 4k ? 3 13 ∴ OA ? OB 的取值范围是 [?4, ) . 4
0 ? k2 ?
分 (Ⅱ)证明:∵ B 、 E 两点关于 x 轴对称,∴ E ( x2 ,? y 2 ) 直线 AE 的方程 y ? y1 ?

…………9

y1 ? y 2 y ( x ? x2 ) ( x ? x1 ) ,令 y ? 0 得: x ? x1 ? 1 1 x1 ? x2 y1 ? y 2 2 x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 8
…………14 分 (供题:安陆一中 伍海

又 y1 ? k ( x1 ? 4) , y2 ? k ( x2 ? 4) ,∴ x ?

将①代入得: x ? 1 ,∴ 直线 AE 与 x 轴交于定点 (1,0) .



李治国)


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