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参数方程小结(练习课)

解析几何教案—参数方程小结练习

王新敞

参数方程
一、教学内容与教学目标: 本单元教学内容:曲线参数方程的概念,直线、圆、椭圆的参数方程,参数方程与普 通方程的互化. 本单元教学目标: 使学生理解参数方程的概念, 初步掌握直线、 圆、 椭圆的参数方程. 理 解参数的几何或物理意义.掌握参数方程与普通方程互化的方法,会根据给出的参数,建 立曲线的参数方程. 结合曲线参数方程的建立,对学生进行运动变化观点的教育,结合参数方程与普通方 程的互化,使学生加深对等价转化思想的理解,提高转化中逻辑关系的认识,提高逻辑思 维能力,提高利用参数解决问题的能力. 二、重难点分析: 本节的重点是参数方程的概念,直线、圆、椭圆的参数方程,参数方程和普通方程互 化的方法. 本节的难点是直线和椭圆参数方程中参数的几何意义,互化中的等价性也是学生学习 的难点. 教学中应明确,参数需要根据实际问题的性质及图形特点决定.学生只要掌握教材中 给出的几种方程中参数的几何意义就可以了.作为互化中的取值范围,在课本中未作要求, 但实际解决问题中,它又是无法回避的事情,教学中以要求学生理解原理为主,具体操作 上应明确,重在整体范围改变的研究,淡化个别点的研究. 不要求用参数方程求曲线的交点. 三、知识系统及其结构: 平面直角坐标系 曲线的普通方程

互 化
曲线的参数方程

四、课时安排: 本单元教学时间约需 5 课时,具体分配如下: 曲线的参数方程 参数方程与普通方程互化 小结复习
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约 2 课时 约 2 课时

约 1 课时
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解析几何教案—参数方程小结练习

王新敞

第 5 课时
教学目标:

参数方程小结复习

1、 参数方程和普通方程互化的方法. 2、 求极值的问题。 教学重点与难点: 1、重点:参数方程和普通方程互化 2、难点:求极值的问题 教学用具: 多媒体课件 教学方法: 讲练结合 教学过程设计: 一、复习 常见曲线的参数方程如下: 1.过定点(x0,y0) ,倾角为α 的直线:

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数)

2.中心在(x0,y0) ,半径等于 r 的圆:

x ? x0 ? r cos? y ? y0 ? r sin ?

( ? 为参数)

3.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的椭圆:

x ? a cos? y ? b sin ?

( ? 为参数)

(或

x ? b cos? ) y ? a sin ?

4.中心在原点,焦点在 x 轴(或 y 轴)上的双曲线:

x ? a sec? y ? btg?

( ? 为参数)

(或

x ? btg? y ? asec?



5.顶点在原点,焦点在 x 轴正半轴上的抛物线:

x ? 2 pt 2 y ? 2 pt
直线的参数方程和参数的几何意义

(t 为参数,p>0)

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过定点 P(x0,y0) ,倾斜角为 ? 的直线的参数方程是

x ? x0 ? t cos? y ? y0 ? t sin ?

(t 为参数) .

其中参数 t 是以定点 P(x0,y0)为起点,对应于 t 点 M(x,y)为终点的有向线段 PM 的数量,又称为点 P 与点 M 间的有向距离. 根据 t 的几何意义,有以下结论. 1.设 A、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为 tA 和 tB,则 AB = t B ?t A =

(t B ? t A ) 2 ? 4t A ? t B .
2.线段 AB 的中点所对应的参数值等于

t A ? tB . 2

二、范例

x ? ?0, 1? ? x ? cos 2 ? 例 1. ? ,消参后得 y 2 ? ? x ? 1 ,其中 此题消参的方法及求 x,y y ? ?? 1, 1? ? y ? sin ?
的范围都很简单,因为没有技术性困难分散学生注意力,所以便于用此题说明以下理论问 题: ① 消参时存在等价性问题; ② 提示前述两个逻辑原理, 明确消参可能扩大取值范围. 其 中参数方程代表的是已知曲线,普通方程必须表示这条曲线.应以参数方程中曲线的范围, 作为普通方程中曲线的范围;③ 求曲线范围就是求函数 x ? f ?t ? , y ? f ?t ? 的值域.所有 求值域的方法都可以使用;④ 曲线上横(纵)坐标相同的点不只一个,为此常把 x,y 的范 围同时求出.此例只写 y 的取值是可以的,但只写 x 的取值范围就不行了.但我们不考虑如 何表示曲线范围最简单.只要等价就可以了,因此需将 x,y 的范围同时求出;⑤ 曲线的方 程不是单指含有两个变量 x,y 的等式,还包括 x,y 的取值范围.这是对曲线方程的概念的 深层次的理解. 通过一定数量的例题或习题,学生在实践中加深对上述概念的理解,同时复习消参的方 法和求函数值值域的方法. 例 2.

? ?x ? t ? 2 ? ? ?y ? 2 t ?1
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消参后得: 2 x ? y ? 5 ? 0 其中 x ? ?2, 射线.

? ?? ,它是以点 ?2, ? 1?为端点,斜率为 2 的

此例是对新知识的巩固,题目较简单,应以学生活动为主.可通过学生在黑板上的板书 的讲评再次强调本节的知识要点.

1 ? 2 ? x ? cos 2t ? sin t 例 3. ? 2 ? ? y ? cost ? sin t
1 1 ? x ? (1 ? 2 sin 2 t ) ? sin 2 t ? ? 1 ? ? 2 2 ? ?x ? 原式化为 ? 2 t ?? y ? 2 sin(t ? ) ? ? 4 ? ?? 2 ? y ? 2
1 1 1 2 )和点( , 2 )为端点的线段.x 恒等于 ,不必消参即得到 2 2 2 1 普通方程 x ? .此题的核心问题是求 y 的取值范围.此过程可复习三角的重要思想:化为 2
它表示以点( , ? 一个角一个函数及重要方法.配辅助角.

3 ? 2t ? x? ? ? 1? t 例 4. ? ?y ? 1? t ? 1? t ?
1 ? x?2? ? 2, ? ? 1? t 原式化为 ? ? y ? ?1 ? 2 ? ?1. ? 1? t ?
消参得 2 x ? y ? 5 ? 0 ,除去点(2,-1) .例如 y ? 分式的方法求值域. 例 5 在圆 x2+2x+y2=0 上求一点,使它到直线 2x+3y-5=0 的距离最大. 此题常用解法有:①求过圆心(-1,0)与直线 2x+3y-5 = 0 垂直的直线和圆的交点, 并根据图形舍去一个点.②求与 2x+3y-5 = 0 平行的圆的切线,再求切点,并根据图形舍

ax ? bx 的假分式常用将它化为带 cx ? d

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2 2 ? x0 ? 2 x0 ? y 0 ?0 ? 去一个点.③设切点坐标 T(x0, y0),利用方程组 ? y 0 ? 0 3 ,解出切点,再根据图形 ? x ? (?1) ? ? 2 ? 0

舍去一个解.④利用圆的参数方程 ?

? x ? ?1 ? cos? ,则圆上点到 2x+3y-5 = 0 的距离为 y ? sin ? ?

d?

2(?1 ? c o ? s ) ? 3s i n ? ?5 2 2 ? 32

?

3 sin ? ? 2 cos? ? 7 13
2

13 sin(? ? arcsin ? 13

2 13

)

当 sin(? ? arcsin

3 2 ) ? ?1 , 即 ? ? ? ? arcsin 时,d 取得最大值,此时 2 13 13

x ? ?1 ? cos? ?
为所求.

? 13 ? 2 13 3 13 ? 13 ? 2 13 ? 3 13 , y ? sin ? ? ? .即点 P ( , ) 13 13 13 13

例 6 在椭圆 4x2+9y2=36 上求一点 P,使它到直线 x+2y+18=0 的距离最短(或最长) . 此题如用求切线的方法解,计算量大.利用椭圆的参数方程 ?

? x ? 3 cos? ,则椭圆上点 ? y ? 2 sin ?

到直线的距离 d ?

3 cos ? ? 4 sin? ? 18 5

?

3 5 cos(? ? arccos ) ? 18 5 5

当 ? ? ? ? arccos

9 13 5 3 时,d 取得最小值 , 此 时 , x ? 3 cos ? ? ? , 5 5 5

8 9 8 y ? 2 sin ? ? ? .即点 P( ? , ? )为所求. 5 5 5
三、练习与讲评 曲线 ?

?x ? t ?y ? t
2

(t 是参数)与曲线 ?

? ? x ? 2 cos? ( ? 为参数)交点坐标是 ? y ? 2 sin ? ?
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(-1,1) , (1,1) 四、小结或总结 一般常用的求最值的方法有以下几种: 1.利用二次函数求最值 对于定义在 (-∞, +∞) 上的二次函数 y=ax2+bx+c, 如果 a>0, 则当 x=-

b 时, 2a

b 4ac ? b 2 有最小值 ymin= ,但这函数没有最大值;如果 a<0,则当 x=- 时,有最大值 2a 4a
ymax=

4ac ? b 2 ,但这函数没有最小值. 4a

2.判别方法 对于二次函数、二次分式函数和二次无理函数 y=f(x) ,在定义域[a,b]上是连续函 数 , 且 可 以 变 形 为 关 于 x 的 二 次 方 程 ? ( y) x ? ? ( y) x ? ? ( y) ? 0 从 而 判 别 △ =
2

? 2 ( y) ? 4? ( y) ? ? ( y) ≥0,如果这个不等式能够解出,且当在 x∈[a,b]内能取得等号
时,此即 f(x)的最值.当 x∈[a,b]内不能取得等号时,f(x)在端点处取得最值. 3.不等式法

a?b 2 1 ≥ ab ,上式中等号当且仅当 a=b 时成立,一般地,若 a1,a2,a3,…,an≥0,则有 (a1 n
n 个非负数的算术平均数,不小于它们的几何平均数.当 n=2 时:若 a,b≥0 则 +a2+a3+…+an)≥ n a1 a 2 ? a n ,其中等号当且仅当 a1=a2=…=an 时成立. 4.利用正、余弦函数的有界性

? ? 时, 有 ymax=1; 当 x=2kπ - 时, 有 ymin=-1. 特 2 2 ? 3? 别地,对定义在[0,2π ]上的函数 y=sinx,当 x= 时,有 ymax=1;当 x= 时,有 2 2
正弦函数 y=sinx, 当 x=2kπ + ymin=-1. 余弦函数 y=cosx,当 x=2kπ 时,有 ymax=1;当 x=(2k+1)π 时,有 ymin=-1(其 中 k 为整数) .
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5.利用曲线的几何定义. 五测试题 一、 选择题 1.参数方程 ? (A) 线段
2 ? ? x ? 3t ? 2, (0 ? t ? 5) 表示的曲线是 ?y ? t 2 ?1 ?

( (D) 射线

)

(B) 双曲线的一支

(C) 圆弧

? ? ? x ? cos ? sin , ? ? 2 2 2. 参数方程 ? ? y ? 1 (1 ? sin ? ). ? 2 ?
(A) 双曲线的一支,这支过点(1,

(0 ? ? ? 2? ) 表示

(

)

1 ) 2 1 ) 2

(B) 抛物线的一部分,这部分过点(1,

(C) 双曲线的一支,这支过点(-1,

1 ) 2 1 ) 2
( )

(D) 抛物线的一部分,这部分过点(-1,

1 ? ?x ? 1 ? 3.曲线的参数方程是 ? ,它的普通方程是 t (t 是参数,t≠0) ?y ? 1? t 2 ?
(A) (x-1)2(y-1)=1 (C) y ? (B) y=

x ( x ? 2) (1 ? x) 2
x ?1 1? x2
( )

1 ?1 (1 ? x) 2

(D) y ?

4. 曲线 xy=1 的参数方程是
1 ? 2 x ? t ? (A) ? 1 ?y ? t ?2 ?

(B) ?

? x ? sin ? ? y ? csc?

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(C) ?

? x ? cos? ? y ? sec?

(D) ?

? x ? tan? ? y ? cot?

二、填空题: 曲线的参数方程是 ? 测试题答案: 一、选择题 1. A 二、填空题 2. B 3. B 4. D

? ?x ? t ,则曲线的普通方程是 ? y ? 2 1 ? t ?



x2 ?

y2 ? 1 ,(0≤x≤1,0≤y≤2) 4

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