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我的错题本(含变式训练)


曲一线科学备考

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我的错题本(含变式训练)_20140825_161730 生成时间:2014.08.25 16:17:30 [第 1 页 第 1 题] (2014 浙江宁波重点中学期中, 1) 已知集合 A=*1,2, 3,4, 5+, B=*(x, y) |x∈A, y∈A, x-y∈A+, 则 B 中所含元素的个数为( A. 3 B. 6 C. 8 D. 10 [答案] D [解析] 符合题意的点为(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), 共有 10 个. 故选 D. [变式训练] (2007 全国Ⅰ , 5, 5 分) 设 a, b∈R, 集合{1, a+b, a}= A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 , 则 b-a 等于( ) )

[变式答案] C [变式解析] ∵ a≠0, ∴ a+b=0, ∴ =-1, ∴ b=1, a=-1, ∴ b-a=2, 故选 C.

[第 1 页 第 2 题] A. {x|0< x< 1} [答案] A

(2014 浙江东阳中学月考) A= B. *x|0≤x< 1+ C. *x|0< x≤1+

, B={x|x2< 2x}, 则 A∩B=( D. *x|0≤x≤1+

)

[解析] 由已知得 A=*x|0≤x< 1+, B=*x|0< x< 2+, ∴A∩B=*x|0< x< 1+, 故选 A. [变式训练] A∩B= [变式答案] [变式解析] (2011 江苏, 1, 5 分) 已知集合 A={-1, 1, 2, 4}, B={-1, 0, 2}, 则 . {-1, 2} 由交集的定义知 A∩B=*-1, 1, 2, 4+∩*-1, 0, 2}={-1, 2}.

[第 1 页 第 3 题] (2014 浙江金华一中月考, 1) 已知函数 f(x) = 域为 N, 则 M∪(?RN) =( A. {x|x< 1} [答案] A B. *x|x≥1+ ) C. ? D. {x|-1≤x< 1+

的定义域为 M, g(x) =ln(1+x) 的定义

[解析] ∵f(x) =

的定义域为 M,

∴M=*x|1-x2> 0}={x|-1< x< 1}. 又∵g(x) =ln(1+x) 的定义域为 N, ∴N=*x|x> -1}, ∴?RN=*x|x≤-1}, ∴M∪(?RN) ={x|x< 1}, 故选 A. [变式训练] (2009 陕西, 14, 4 分) 某班有 36 名同学参加数学、物理、化学课外探究小组, 每名同

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学至多参加两个小组. 已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为 26、15、13, 同时参加数学和物理小 组的有 6 人, 同时参加物理和化学小组的有 4 人, 则同时参加数学和化学小组的有 [变式答案] 8 人.

[变式解析] 由题意知, 同时参加三个小组的人数为 0, 令同时参加数学、化学小组的人数为 x 人. 画出 如图所示的韦恩图.

则 20-x+6+5+4+9-x+x=36, 即 x=8. [第 1 页 第 4 题] A. (0,1] [答案] D [解析] A={x|log2x< 1}={x|0< x< 2}. 因为 A∪B=B, 所以 A?B, 所以 c≥2, 即 c∈,2, +∞), 选 D. [变式训练] (2009 浙江, 1, 5 分) 设 U=R, A={x|x>0}, B={x|x>1}, 则 A∩?UB=( A. *x|0≤x<1+ [变式答案] B [变式解析] ?UB=*x|x≤1+, ∴A∩?UB=*x|0<x≤1+. 故选 B. [第 1 页 第 5 题] (A∪B) ∩C 等于( A. {2,4} [答案] B [解析] A∪B=*1,2, 3,4, 7,8+, (A∪B) ∩C=*1,3, 4+. 故选 B. [变式训练] 则 A∩?NB=( A. {1, 5, 7} [变式答案] [变式解析] A ∵B=*0, 3, 6, 9, 12}, ∴?NB 中没有 3 和 9, 有 1, 5, 7. ∵A=*1, 3, 5, 7, 9}, (2009 宁夏、海南, 1, 5 分) ) B. {3, 5, 7} C. {1, 3, 9} D. {1, 2, 3} 已知集合 A={1, 3, 5, 7, 9}, B={0, 3, 6, 9, 12}, (2013 浙江富阳场口中学, 1) 若集合 A={1,2, 3,4}, B={2,4, 7,8}, C={1,3, 4,5, 6}, 则集合 ) C. {2,4, 7,8} D. {0,1, 2,3, 5} B. *x|0<x≤1+ C. {x|x<0} D. {x|x>1} ) (2014 天津新华中学第一次月考, 1) 已知集合 A={x|log2x< 1}, B={x|0< x< c}, 若 ) D. ,2, +∞) C. (0,2]

A∪B=B, 则 c 的取值范围是( B. ,1, +∞)

B. {1,3, 4}

∴A∩?NB={1, 5, 7}.

[第 1 页 第 6 题]

(2013 浙江杭州月考, 2) 设全集是实数集 R, M=*x|x≤1+ ) D. {1,2, 3,4}

, x∈R+, N=*x|x2-5x+4≤0,

x∈Z+, 则(?RM) ∩N 等于( A. {4} [答案] B B. {3,4}

C. {2,3, 4}

[解析] N={x|x2-5x+4≤0, x∈Z+=*x|1≤x≤4, x∈Z+=*1,2, 3,4+, ?RM={x|x> 1+ [变式训练] (2013 北京西城区高三三月模拟,1,5 分) 已知全集 ,那么 ( )

+, ∴(?RM) ∩N=*3,4+, 故选 B. ,

,集合

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(A) (B) (C) (D)

[变式答案] B [变式解析] 由不等式性质得 . 又 ,所以 ,则 .

[第 1 页 第 7 题] (2013 浙江台州期中, 2) 已知集合 A={x|y=lg(4-x2) }, B={y|y=3x, x> 0}时, A∩B=( A. {x|x> -2} [答案] B B. {x|1< x< 2} C. *x|1≤x≤2+ D. ?

)

[解析] A={x|y=lg(4-x2) }={x|4-x2> 0}={x|-2< x< 2}, B={y|y=3x, x> 0+=*y|y> 1+, ∴A∩B=*x|1< x< 2+. 故 选 B. [变式训练] (2014 湖北八市高三下学期 3 月联考, 2) 设全集 U=R, A={x|2x 则右图中阴影部分表示的集合为( )


x-2) <

1}, B={x|y=1n (l-x) },

A.*x |x≥1+ B.*x |x≤1+ C.*x|0< x≤1+ D.*x |1≤x< 2+ [变式答案] [变式解析] 合为 D 由 得 , 所以 ,由 得 .右图中阴影部分表示的集

.因为



[第 1 页 第 8 题] (2013 浙江金华十校联考, 1) 设全集 U={1,2, 3,4, 5}, 集合 A={1,2}, B={2,3}, 则 A∩(?UB) =( A. {4,5} [答案] C [解析] ∵?UB=*1,4, 5+, ∴A∩(?UB) ={1}. [变式训练] (2007 福建, 3, 5 分) 已知集合 A={x|x<a}, B={x|1<x<2}, 且 A∪(?RB) =R, 则实数 ) B. {2,3} C. {1} D. {4}

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a 的取值范围是( A. a≤1 [变式答案] [变式解析] C

) C. a≥2 D. a>2 . 又 A∪(?RB) =R, 数轴上画图可得 a≥2, 故选 C. )

B. a<1

?RB=(-∞, 1-∪,2, +∞)

[第 1 页 第 9 题] A. {2,0} [答案] B

(2013 浙江名校交流卷三, 1) 设集合 P={2,3a}, Q={a, b}, 若 P∩Q=*1+, 则 P∪Q=( C. {3,2, 0} D. {3,2, 1}

B. {2,1, 0}

[解析] 依题意有 3a=1, 得 a=0, 从而 b=1, ∴P∪Q=*2,1, 0+. [变式训练] A. {x|x>1} [变式答案] D 故选 D. (2010 陕西, 1, 5 分) 集合 A={x|-1≤x≤2+, B={x|x<1}, 则 A∩(?RB) =( B. *x|x≥1+ C. *x|1<x≤2+ D. {x|1≤x≤2+ )

[变式解析] A∩(?RB) ={x|-1≤x≤2+∩*x|x≥1+=*x|1≤x≤2+,

[第 1 页 第 10 题]

(2014 浙江镇海中学阶段检测, 14) 已知集合 A={x| .

< 8}, B={x|x2+2mx-4< 0}, 若

A∩B=*x|-1< x< 1+, A∪B=*x|-4< x< 3}, 则实数 m 等于 [答案] [解析] A={x|

< 8}={x|x2-2x-3< 0}={x|-1< x< 3}, 因为 A∩B=*x|-1< x< 1+, A∪B=*x|-4< x< 3}, 所以

B={x|-4< x< 1}, 即-4,1 是方程 x2+2mx-4=0 的两个根, 所以-4+1=-2m, 解得 m= . [变式训练] (2013 高考仿真试题三, 1,5 分)已知 U=R,A=*x|x>0+,B=*x|x≤-1},则(A∩?UB)∪(B∩?UA)=( A. ? [变式答案] [变式解析] ∵A∩?UB=*x|x>0+∩*x|x>-1}={x|x>0+,B∩?UA=*x|x≤-1+∩*x|x≤0+=*x|x≤-1+,∴(A∩?UB)∪(B∩?UA)={x|x>0 或 x≤-1},故正确答案为 D. [第 1 页 第 11 题] (2013 浙江萧山月考, 11) 已知集合 A={x|-2≤x≤4+, B=*x|m+1≤x≤2m-1+, A∩B=? , 则 实数 m 的取值范围是 [答案] (-∞, 2) ∪(3, +∞) [解析] ∵A∩B=? , ∴2m-1< m+1, 或 2m-1< -2, 或 m+1> 4, ∴m< 2, 或 m< - , 或 m> 3, ∴实数 m 的取值范 围是(-∞, 2) ∪(3, +∞). [变式训练] 则 A∩?NB=( A. {1, 5, 7} [变式答案] [变式解析] A ∵B=*0, 3, 6, 9, 12}, ∴?NB 中没有 3 和 9, 有 1, 5, 7. ∵A=*1, 3, 5, 7, 9}, (2009 宁夏、海南, 1, 5 分) ) B. {3, 5, 7} C. {1, 3, 9} D. {1, 2, 3} 已知集合 A={1, 3, 5, 7, 9}, B={0, 3, 6, 9, 12}, . B. *x|x≤0+ D C. {x|x>-1} D. {x|x>0 或 x≤-1} )

∴A∩?NB={1, 5, 7}.

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[第 1 页 第 12 题] (2013 浙江杭州期中, 17) 已知集合 A={x|x2-3x-10≤0+, B=*x|m+1≤x≤2m-1}, 若 A∪B=A, 求实数 m 的取值范围. [答案] (答案详见解析) [解析] A={x|x2-3x-10≤0+=*x|-2≤x≤5+. ∵A∪B=A, ∴B?A. (1) 若 B=? , 则 m+1> 2m-1, 即 m< 2, 满足 A∪B=A. (2) 若 B≠? , 则 m+1≤2m-1, 即 m≥2.

又由 B?A 得 ∴2≤m≤3.

?-3≤m≤3,

综合(1) (2) 知 m 的取值范围是(-∞, 3-. [变式训练] (2012 山西高三模拟,2,5 分)已知集合 A={x||x|<1},B={x|x2>0},则 A∩B 等于( A.{x|-1<x<1} [变式答案] B [变式解析] 由|x|<1 得-1 即 A={x|-1 由 x2>0 得 x≠0,即 B=*x|x≠0+,因此 A∩B=*x|-1 且 x≠0+,选 B. [第 2 页 第 1 题] A. 0 B. 2 (2014 浙江镇海中学阶段检测, 2) 命题“若 A?B, 则 A=B” 的逆命题、否命题、逆否命 ) D. 4 B.{x|-1<x<1,且 x≠0+ C.{x|0<x<1} D.{x|-1<x<0} )

题这四个命题中真命题的个数是( C. 3 [答案] B

[解析] 由题意知原命题是假命题, 逆命题是真命题, 故否命题是真命题, 逆否命题是假命题. 故选 B. [变式训练] (2013 重庆市高三九校一月联合诊断考试,5,5 分)下列命题中,真命题是 A. B. C. D. 命题 [变式答案] D [变式解析] 时,取 中, A 中, 由于指数函数 ,此时 的值域是 , 所以 A 是假命题; B 中, 当 的否定是真命题. 是 的充要条 件 ( )

,所以不是必要条件,所以不是充要条件,所以 B 是假命题;C 或 = ,

所以 C 是假命题;D 中,当 是真命题,所以 D 是真命题.

时,

,所以命题

是假命题,所以其否定

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[第 2 页 第 2 题]

(2014 浙江镇海中学阶段检测, 5) 设 A、B 两点的坐标分别为(-1,0), (1,0), 条件甲:

· > 0; 条件乙: 点 C 的坐标是方程 + =1 的解, 则甲是乙的( A. 充分不必要条件 [答案] B B. 必要不充分条件 C. 充要条件

)

D. 既不充分也不必要条件

[解析] 设点 C 的坐标为(x, y), 则条件甲变为 x2+y2> 1, 所以甲推不出乙, 但乙能推出甲. 故选 B. [变式训练] (2014 湖北武汉高三 2 月调研测试,7) 设 a,b∈R,则“a+b=1” 是“a2+b2=1” 的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 [变式答案] [变式解析] A 因为 , 所以, , ,即: B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

所以, 件.



. 所以



的充分条

反过来,由

,取







所以,

不是

的必要条件. 故选 A.

[第 2 页 第 3 题] ( ) A. 充分不必要条件 [答案] D

(2014 浙江华易新高考联盟模拟, 9) 已知条件 p: a> 0, 条件 q: a2> a, 则?p 是?q 的 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

[解析] 条件 p: a> 0, 可得≦p: *a|a≤0+; 条件 q: a2> a, 即 a> 1 或 a< 0, 可得≦q: *a|0≤a≤1+, ∴≦p 推不出?q, ?q 推不出?p, ∴≦p 是?q 的既不充分也不必要条件, 故选 D. [变式训练] ( )条件 A 要函数 在区间[-1,2]上存在零点,则 ,即 ,解得 (2014 天津七校高三联考, 4) “ ” 是“函数 在区间[-1,2]上存在零点” 的

(A)充分不必要(B)必要不充分(C)充分必要(D)既不充分也不必要 [变式答案] [变式解析]

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,故“

” 是“函 数

在区间[-1,2]上存在零点” 的充分不必要条件.

[第 2 页 第 4 题]

(2014 山西大学附中月考, 2) 已知命题 p: 抛物线 y=2x2 的准线方程为 y=- ; 命题 q: 若 )

函数 f(x+1) 为偶函数, 则 f(x) 关于 x=1 对称. 则下列命题是真命题的是( A. p∧q [答案] D [解析] 命题 p 是假命题, 命题 q 是真命题, 故 p∨q 为真命题. B. p∨(≦q) C. (≦p) ∧(≦q) D. p∨q

[变式训练] (2013 湖北,3,5 分)在一次跳伞训练中, 甲、乙两位学员各跳一次. 设命题 p 是“甲降落在 指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为( A. (p) ∨(q) [变式答案] A [变式解析] p 表示甲没有降落在指定范围, q 表示乙没有降落在指定范围, 命题“至少有一位学员没有降落 在指定范围”, 也就是“甲没有降落在指定范围” 或“乙没有降落在指定范围”. 故选 A. [第 2 页 第 5 题] (2013 浙江名校交流卷一, 2) 若“x2> 1” 是“x< a” 的必要不充分条件, 则 a 的最大值为 ( A. 1 ) B. 0 C. -1 D. 2 B. p∨(q) C. (p) ∧(q) D. p∨q )

[答案] C [解析] 由题意知{x|x< a}? {x|x2> 1}={x|x> 1 或 x< -1}, 则 a≤-1, 故 a 的最大值为-1. 故选 C. [变式训练] (2010 江西, , 3, 5 分) 不等式 A. (0, 2) [变式答案] A <0, 解得 0<x<2, 故选 A. B. (-∞, 0) > 的解集是( )

C. (2, +∞)

D. (-∞, 0) ∪(0, +∞)

[变式解析] 由题意知:

[第 2 页 第 6 题] ( )

(2013 浙江名校交流卷二, 1) 若 α 是三角形的一个内角, 则“α>

” 是“sin α>

” 的

A. 充分不必要条件 [答案] B

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

[解析] ∵α∈(0, π), ∴sin α> [变式训练] 值是() A. B. B C.

? < α<

, 但由 sin α>

不一定得到 α>

. , 则 的

(2012 浙江省杭州市萧山区高三 12 月月考, 2, 5 分)角

的终边过点

D.

[变式答案] [变式解析]

,所以

.

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[第 2 页 第 7 题] ( ) A. 充分不必要条件 [答案] D

(2013 浙江嘉兴二模, 8) 若 a, b 表示直线, α 表示平面, 且 b?α, 则“a∥b” 是“a∥α” 的 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

[解析] 由 b?α, a∥b 不能得到 a∥α, 少了 a?α 这个条件, 反之显然不成立, 故选 D. [变式训练] (2007 江西, 20, 12 分) 如图是一个直三棱柱(以 A1B1C1 为底面) 被一平面所截得到的几何体, 截面为 ABC. 已知 A1B1=B1C1=1, ∠A1B1C1=90° , AA1=4, BB1=2, CC1=3. (Ⅰ ) 设点 O 是 AB 的中点, 证明:OC∥平面 A1B1C1; (Ⅱ ) 求二面角 B-AC-A1 的大小; (Ⅲ ) 求此几何体的体积.

[变式答案] 解法一:(Ⅰ ) 证明:作 OD∥AA1 交 A1B1 于 D, 连 C1D. 则 OD∥BB1∥CC1. 因为 O 是 AB 的中点, 所以 OD= (AA1+BB1) =3=CC1. 则 ODC1C 是平行四边形, 因此有 OC∥C1D, C1D?平面 C1B1A1 且 OC?平面 C1B1A1, 则 OC∥面 A1B1C1. (Ⅱ ) 如图, 过 B 作截面 BA2C2∥面 A1B1C1, 分别交 AA1, CC1 于 A2、C2,

作 BH⊥A2C2 于 H, 连 CH. 因为 CC1⊥面 BA2C2, 所以 CC1⊥BH, 则 BH⊥平面 A1C. 又因为 AB= , BC= , AC= ?AB2=BC2+AC2, 所以 BC⊥AC, 根据三垂线定理知 CH⊥AC, 所以∠BCH 就是所求二面角的平面角. 因为 BH= , 所以 sin∠BCH= = , 故∠BCH=30°,

即:所求二面角的大小为 30° . (Ⅲ ) 因为 BH= = = , 所以 · BH= × (1+2) × · BB1= ×2=1, × = ,

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所求几何体体积为 V=

+

= .

解法二:(Ⅰ ) 证明:如图, 以 B1 为原点建立空间直角坐标系,

则 A(0, 1, 4) , B(0, 0, 2) , C(1, 0, 3) , 因为 O 是 AB 的中点, 所以 O = .

,

易知 n=(0, 0, 1) 是平面 A1B1C1 的一个法向量. 因为 (Ⅱ ) ·n=0, OC?平面 A1B1C1, 所以 OC∥平面 A1B1C1. =(0, -1, -2) , =(1, 0, 1) .

设 m=(x, y, z) 是平面 ABC 的一个法向量, 则 由 · m=0, · m=0 得: ,

取 x=-z=1, m=(1, 2, -1) . 显然, l=(1, 1, 0) 为平面 AA1C1C 的一个法向量, 则 cos<m, l>= (Ⅲ ) 同解法一. [第 2 页 第 8 题] A. 充分不必要条件 [答案] A [解析] 当实数 a≠0 时, 三次函数 f(x) =ax3+bx2+cx+d 的值域为(-∞, +∞). 若 f(x) 为 R 上的单调函数, 则 f(x) 恰有一个零点. 反之, 若 f(x) 恰有一个零点, 则 f(x) 未必是 R 上的单调函数, 例如 f(x) = x3-x-1 只有 一个零点, 但 f(x) 在(-∞, -1) 上单调递增, 在(-1,1) 上单调递减, 在(1, +∞) 上单调递增. 所以 p 是 q 的 充分不必要条件, 故选 A. [变式训练] (2012 江西省南昌市第二次模拟, 13,5 分) 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数, 如[1.8]=1, [-1.2]=-2. [变式答案] [变式解析] 函数 的定义域是 , ,所以函数 在 上是 是函数 的零点,则 等于______. (2013 浙江冲刺卷四, 3) 已知函数 f(x) =ax3+bx2+cx+d, a, b, c, d 为实数且 a≠0. 条件 ) B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 = = , 结合图形可知所求二面角为锐角. 所以二面角 B-AC-A1 的大小是 30° .

p: y=f(x) 为 R 上的单调函数, 条件 q: y=f(x) 的图象与 x 轴恰有一个公共点, 则 p 是 q 的(

增函数.又



, 所

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,所以函数

的唯一零点

,所以

.

[第 2 页 第 9 题] A. 充分不必要条件 [答案] A

(2013 浙江名校交流卷六, 3) “t< 0” 是“函数 f(x) =t+lg x(x≥1) 存在零点” 的( B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

)

[解析] 函数 f(x) =t+lg x(x≥1) 存在零点?t≤0. [变式训练] (2012 山东省规范化学校高三 11 月月考, 4,5 分)函数 ) C.3 D.4 在区间

上的零点个数为( A.1 [变式答案] B.2 B

[变式解析]

设函数 和

,函数 的图像,如图所示.由图知,函数 和

,在同一平面直角坐 的图像有两个交点,所以函

标系中画出函数 数 有两个零点.

[第 2 页 第 10 题]

(2013 浙江杭州二模, 4) 设直线 l: y=kx+m(m≠0), 双曲线 C: )

- =1(a> 0, b> 0), 则

“k=- ” 是“直线 l 与双曲线 C 恰有一个公共点” 的( A. 充分不必要条件 [答案] A B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

[解析] 当 k=- 时, 直线 l 与双曲线的渐近线平行, 则直线 l 与双曲线 C 恰有一个公共点; 当直线 l 与双曲 线 C 恰有一个公共点时, 直线 l 可能与双曲线的渐近线平行, 也可能与双曲线相切, 所以不能得到 k=- , 故 选 A. [变式训练] (2013 高考仿真试题一,20,12 分)已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,过点 F 作直线 l 与抛

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物线交于 A,B 两点,抛物线的准线与 x 轴交于点 C. (1)证明:∠ACF=∠BCF; (2)求∠ACB 的最大值,并求∠ACB 取得最大值时线段 AB 的长. [变式答案] (1)证明:由题设知,F ,C ,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程为 x=my+ , 代入抛物线方程 y2=2px,得 y2-2pmy-p2=0. 则 y1+y2=2pm,y1y2=-p2. (4 分) 不妨设 y1>0,y2<0,则

tan∠ACF=

=

=

=

=

,

tan∠BCF=-

=-

,

∴tan∠ACF=tan∠BCF,又∠ACF,∠BCF∈(0,π), ∴∠ACF=∠BCF. (8 分) (2)如(1)所设 y1>0,tan∠ACF= 取最大值 , 并且 A ,B ,|AB|=2p. (12 分) ≤ =1,当且仅当 y1=p 时取等号,此时∠ACF 取最大值 ,∠ACB=2∠ACF

失分警示:(1)不能准确地得出∠ACF 与∠BCF 的正切值. (2)没有注意到∠ACF 取得最大值 时,y1=p.

[第 2 页 第 11 题] (2013 浙江台州一中月考, 4) 已知条件 p: x2-3x-4≤0; 条件 q: x2-6x+9-m2≤0, 若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 m 的取值范围是( A. [-1,1] [答案] D [解析] 解不等式 x2-3x-4≤0, 得-1≤x≤4, ∴条件 p 对应集合 A={x|-1≤x≤4+; 若 q 对应集合为 B, 则 B={x|3-|m|≤x≤3+|m|+. ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴A? B, B. [-4,4] C. (-∞, -1-∪,1, +∞) ) D. (-∞, -4-∪,4, +∞)



∴m≤-4, 或 m≥4.

经检验, m=-4, m=4 均满足题意, ∴实数 m 的取值范围是(-∞, -4-∪,4, +∞). 故选 D. [变式训练] (2010 江西, , 3, 5 分) 不等式 A. (0, 2) [变式答案] A <0, 解得 0<x<2, 故选 A. B. (-∞, 0) > 的解集是( )

C. (2, +∞)

D. (-∞, 0) ∪(0, +∞)

[变式解析] 由题意知:

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[第 2 页 第 12 题] (2013 浙江温州十校联合体, 3) “a=-1” 是“函数 f(x) =ax2+2x-1 只有一个零点” 的 ( ) B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 非充分必要条件 A. 充分必要条件 [答案] B [解析] a=-1 时, f(x) =-x2+2x-1=-(x-1) 2, ∴f(x) 有且只有一个零点 x=1, 但反过来, f(x) =ax2+2x-1 只有一 个零点, a 不一定取 1. 譬如 a=0, f(x) =2x-1 也有且只有一个零点, ∴“a=-1” 是“函数 f(x) =ax2+2x-1 只有一 个零点” 的充分不必要条件. 故选 B. [变式训练] (2013 年湖北七市高三 4 月联考,4,5 分) 函数 f(x) =2x-sinx 的零点个数为( A. 1 [变式答案] A [变式解析] 递增. 又因为 因为 ,所以函数 在 上恒成立,所以函数 只有一个零点. 在 上单调 B. 2 C. 3 D. 4 )

[第 2 页 第 13 题] (2013 浙江宁波期中, 17) 已知全集 U=R, 集合 A= y

y=x2- x+1, x∈,0,2- ,

B={x|y=

}.

(1) 求(?UA) ∪B;

(2) 若集合 C= 值范围. [答案] (答案详见解析)

, 命题 p: x∈A, 命题 q: x∈C, 且命题 p 是命题 q 的充分条件, 求实数 m 的取

[解析] (1) A=

y y=x2- x+1, x∈,0,2-

=

y

y=

+ , x∈,0,2-

= y

≤y≤2

, (2 分)

B={x|y=

}={x|1-|x|≥0+=*x|-1≤x≤1+, (3 分)

∴?UA=

, (4 分)

∴(?UA) ∪B=*x|x≤1 或 x> 2}. (6 分) (2) ∵命题 p 是命题 q 的充分条件, ∴A?C. (7 分)

∵C=

,

∴ -m2≤ , (10 分) ∴m2≥ , ∴m≥ 或 m≤- ,

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∴实数 m 的取值范围是 [变式训练]



. (12 分)

(2014 北京东城高三第二学期教学检测,1) 设集合 ,则 ( )



A. (1,4) B. (3,4) C. (1,3) D. (1,2) [变式答案] B [变式解析] 可解得 . , ,所以 ,从而

[第 3 页 第 1 题]

(2014 山东淄博五中质检) 命题“对任意 x∈R, 都有 x2≥0” 的否定为(

)

A. 对任意 x∈R, 使得 x2< 0 B. 不存在 x∈R, 使得 x2< 0 C. 存在 x0∈R, 都有 D. 存在 x0∈R, 都有 [答案] D [解析] 全称命题的否定为存在性命题, 故选 D. [变式训练] (2007 宁夏, 1, 5 分) 已知命题 p:?x∈R, sin x≤1, 则( B. ≦p:?x∈R, sin x≥1 D. ≦p:?x∈R, sin x>1 sin x>1, 故选 C. ) A. ≦p:?x∈R, sin x≥1 C. ≦p:?x∈R, sin x>1 [变式答案] C [变式解析] ? p:?x∈R, [第 3 页 第 2 题] A. a≥1 [答案] A [解析] ∵|x+1|> 2 等价于 x< -3 或 x> 1, ∴p: x< -3 或 x> 1, ∵≦p 是?q 的充分不必要条件等价于 q 是 p 的 充分不必要条件, ∴a≥1. 故选 A. [变式训练] (2013 高考仿真试题四,4,5 分)已知 a,b 为实数,则“|a|+|b|<1”是“|a|< 且|b|< ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ) B. a≤1 ≥0 <0

(2013 浙江淳安中学月考, 5) 已知 p: |x+1|> 2, q: x> a, 且?p 是?q 的充分不必要条件, ) D. a≤-3 C. a≥-1

则实数 a 的取值范围可以是(

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[变式答案]

B

[变式解析] 因为 a= ,b= 时,满足|a|+|b|<1,但是不满足|a|< 且|b|< ;当|a|< 且|b|< 时满足|a|+|b|<1.

[第 3 页 第 3 题]

(2013 浙江杭州期末, 2) 命题 p: 不等式 )

>

的解集为{x|0< x< 1}, 命题 q: “A=B”

是“sin A=sin B” 成立的必要非充分条件, 则( A. p 真 q 假 [答案] A [解析] 分别判断命题 p 与命题 q 的真假, B. “p 且 q” 为真

C. “p 或 q” 为假

D. p 假 q 真

∵ ∴ p 真.

>

?

< 0?0< x< 1,

∵ 由 sin A=sin B 知不一定有 A=B, 如 sin =sin , 而 ≠ , ∴ q 假. 故选 A. [变式训练] (2010 课标全国, 5, 5 分) 已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数, p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数, 则在命题 q1:p1∨p2, q2:p1∧p2, q3:(?p1) ∨p2 和 q4:p1∧(≦p2) 中, 真命题是( A. q1, q3 [变式答案] [变式解析] C ∵y=2x 在 R 上是增函数, y=2-x 在 R 上是减函数, ∴y=2x-2-x 在 R 上是增函数, ∴p1:函数 B. q2, q3 C. q1, q4 D. q2, q4 )

y=2x-2-x 在 R 上为增函数为真命题. p2:函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数为假命题, 故 q1:p1∨p2 为真命题, q2:p1∧p2 是假命题, q3:(?p1) ∨p2 为假命题, q4:p1∧(≦p2) 是真命题. 故真命题是 q1、q4, 故选 C. [第 3 页 第 4 题] (2013 浙江嘉兴期中, 2) 下列判断正确的是( )

A. x2≠y2?x≠y 或 x≠-y B. 命题: “a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数” 的逆否命题是“若 a+b 不是偶数, 则 a, b 都不是偶数” C. 若“p 或 q” 为假命题, 则“非 p 且非 q” 是真命题 D. 已知 a、b、c 是实数, 关于 x 的不等式 ax2+bx+c≤0 的解集是空集, 必有 a> 0 且 Δ≤0 [答案] C [解析] ∵x2≠y2?x≠y 且 x≠-y, ∴选项 A 错. “a, b 都是偶数, 则 a+b 是偶数” 的逆否命题为“若 a+b 不是偶数, 则 a, b 不都是偶数”, ∴选项 B 错. 不等式 ax2+bx+c≤0 的解集是空集时, 除了 a> 0, 还应讨论 a=0 的情况, ∴ 选项 D 错. 故选 C. [变式训练] (2013 湖北,3,5 分)在一次跳伞训练中, 甲、乙两位学员各跳一次. 设命题 p 是“甲降落在 指定范围”, q 是“乙降落在指定范围”, 则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围” 可表示为( A. (p) ∨(q) [变式答案] A [变式解析] p 表示甲没有降落在指定范围, q 表示乙没有降落在指定范围, 命题“至少有一位学员没有降落 在指定范围”, 也就是“甲没有降落在指定范围” 或“乙没有降落在指定范围”. 故选 A. B. p∨(q) C. (p) ∧(q) D. p∨q )

[第 3 页 第 5 题]

(2013 山东临沂期中考试) 若命题“存在 x0∈R,

+2ax0+2-a=0” 是真命题, 则实数 a

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的取值范围是

.

[答案] *a|a≤-2 或 a≥1+ [解析] 若命题为真, 则对应方程 x2+2ax+2-a=0 有解, 即 Δ=4a2-4(2-a) ≥0, 解得 a≥1 或 a≤-2. [变式训练] (2012 北京,14,5 分)已知 f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2.若同时满足条件: ① ?x∈R, f(x)<0 或 g(x)<0; ② ?x∈(-∞,-4), f(x)g(x)<0, 则 m 的取值范围是 [变式答案] -4<m<-2 [变式解析] f(x)=m(x-2m)(x+m+3)为二次函数, 若?x∈R, f(x)<0 或 g(x)<0,必须抛物线开口向下,即 m<0. f(x)=0 的两根 x1=2m,x2=-m-3,且 x1-x2=3m+3. 1)当 x1>x2,即 m>-1 时,必须大根 x1=2m<1,即 m< . 2)当 x1<x2,即 m<-1 时,大根 x2=-m-3<1,即 m>-4. 3)当 x1=x2,即 m=-1 时,x1=x2=-2<1 也满足条件. ∴满足条件① 的 m 的取值范围为-4<m<0. 满足条件② ?x∈(-∞,-4), f(x)g(x)<0,必须满足二次函数的小根小于-4 即可. .

1)当 m>-1 时,小根 x2=-m-3<-4 且 m<0,无解. 2)当 m<-1 时,小根 x1=2m<-4 且 m<0,解得 m<-2, 3)当 m=-1 时, f(x)=-(x+2)2≤0 恒成立,∴不满足② . ∴满足① ② 的 m 的取值范围是 -4<m<-2. [第 3 页 第 6 题] (2014 浙江台州黄岩中学月考) 命题“存在实数 x, 满足不等式(m+1) x2-mx+m-1≤0” 是

假命题, 求实数 m 的取值范围. [答案] (答案详见解析) [解析] ∵“存在实数 x, 满足不等式(m+1) x2-mx+m-1≤0” 是假命题, ∴“任意 x∈R, 使(m+1) x2-mx+m-1> 0” 是真命题, ① 当 m+1=0 时, (m+1) x2-mx+m-1> 0, 即 x-2> 0, 不是对任意 x∈R 恒成立; ② 当 m+1≠0 时, 任意 x∈R, 使(m+1) x2-mx+m-1> 0, 故 m+1> 0 且 Δ=(-m) 2-4(m+1) (m-1) < 0,

解得 m>

.

综上, 实数 m 的取值范围是 m>

. )

[变式训练] (2007 重庆, 2, 5 分) 命题“若 x2<1, 则-1<x<1”的逆否命题是( A. 若 x2≥1, 则 x≥1 或 x≤-1

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B. 若-1<x<1, 则 x2<1 C. 若 x>1 或 x<-1, 则 x2>1 D. 若 x≥1 或 x≤-1, 则 x2≥1 [变式答案] D [变式解析] 根据逆否命题的定义知选 D.

[第 4 页 第 1 题] 数 a 的值等于( A. -3 B. -1 [答案] A

(2014 浙江镇海中学高三期中, 2) 已知函数 f(x) = ) C. 1 D. 3

若 f(a) +f(1) =0, 则实

[解析] 由题意知 f(1) =2, 所以 f(a) =-2, 当 a> 0 时, 无解; 当 a≤0 时, a+1=-2?a=-3. 故选 A.

[变式训练] . [变式答案] [变式解析]

(2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 函数

,若

,则

或 .

依题意,



,解得



[第 4 页 第 2 题] A. [-1,4] [答案] C B. [1,4]

(2013 浙江湖州调研, 5) 函数 f(x) = C. (1,4] D. (-1,4]

+lg(x-1) 的定义域是(

)

[解析] 要使函数有意义, 需

解得 1< x≤4. 故选 C. 的定义域为 ▲ . ,

[变式训练] (2014 江苏苏北四市高三期末统考, 7) 函数 [变式答案] [变式解析] 依题意,要函数有意义,则 . ,即

,有指数函数的图象知,

故原函数的定义域为

[第 4 页 第 3 题]

(2013 安徽合肥调研, 6) 已知函数 f(x) 满足: 当 x≥4 时, f(x) = ) D.

; 当 x< 4 时, f(x)

=f(x+1), 则 f(2+log23) =( A. [答案] B. A C.

[解析] 2+log23< 4, ∵x< 4 时, f(x) =f(x+1),

∴f(2+log23) =f(3+log23), ∵x≥4 时, f(x) =

, 3+log23≥4,

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∴f(3+log23) =

= , 故选 A.

[变式训练] (2009 山东, 10, 5 分) 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x) = 009) 的值为( A. -1 [变式答案] B. 0 C ) C. 1 D. 2

则 f(2

[变式解析] 当 x>0 时, f(x) =f(x-1) -f(x-2) , 此时 f(x+1) =f(x) -f(x-1) , 两式相加得 f(x+1) =-f(x-2) , 即 f(x+3) =-f(x) , 故 f(x+6) =-f(x+3) =f(x) , 故函数周期为 6. ∴f(2 009) =f(6×334+5) =f(5) =f(-1) =log22=1. 故选 C. [第 4 页 第 4 题] (2013 浙江名校交流卷四, 6) 已知在 x 克 a%的盐水中加入 y 克 b%的盐水, 浓度变为 )

c%(a≠c, b≠c), 将 y 表示成 x 的函数为(

A. y=

x

B. y=

x

C. y=

x

D. y=

x

[答案] B

[解析] [变式训练]

=c%?ax+by=cx+cy?y=

x.

(2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),19) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一 , , 其中 和 分别表示该产品在两个市场上

种商品,两个市场的需求函数分别是 的价格(单位:万元/吨), 和 (Ⅰ )试用 和 该企业生产这种产品的总成本函数是

分别表示该产品在两个市场上的销售量(即需求量,单位:吨),并且 ,其中 表示该产品在两个市场的销售总量,即

表示总利润,确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润; 的条件下,推算该企业可能获得的最大利润(取一位小数)

(Ⅱ ) 在两地价格差别满足 [变式答案] 查看解析 [变式解析] (Ⅰ )设总利润为

,那么利润函数

将利润函数变形为 当 (Ⅱ ) 由 令 由实际意义知 , 、 、 、 ,得 都为正数得 , 时,即 (万元), 得

, (万元)企业获得最大利润 52 万元. (6 分) ,

, ,









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化简得:

, (8 分) 的圆心 到 的距离 ,



所以 实际上

,即 取一位小数 49.9(万元).

, (13 分)

(利用直线与椭圆相切同样可得分) [第 4 页 第 5 题] (2013 浙江名校交流卷六, 10) 已知函数 f(x) 的定义域为 R, 且满足 f(2-x) =-f(x+2), 当 < x1+x2< 4, 则 f(x1) +f(x2) 的值( C. 可能为 0 D. 可正可负 )

x> 2 时, f(x) 单调递增, 如果 2+ A. 恒小于 0 [答案] A B. 恒大于 0

[解析] 2+

< x1+x2, 即(x1-2) (x2-2) < 0, 不妨设 x1< 2< x2, 则 4-x1> x2> 2, 所以 f(4-x1) > f(x2); 由

f(2-x) =-f(x+2), 知 f(4-x1) =-f(x1), 故 f(x2) < -f(x1), 即 f(x1) +f(x2) < 0, 故选 A. [变式训练] (2012 山西高三模拟,11,5 分)函数 f(x)=||2x-1|-2x|的单调递减区间为( A.(-1,0) [变式答案] B [变式解析] 当|2x-1|>2x,即 2x-1<-2x,x<-1 时,2x< <1,则 f(x)=|2x-1|-2x=1-2x+1 在(-∞,-1)上是减函数;当 |2x-1|≤2x,即 x≥-1 时,2x≥ , f(x)=2x-|2x-1|= 易知 f(x)在(-1,0)上是增函数,结合各选项知选 B. B.(-∞,-1) C.(-∞,0) D.(-1,+∞) )

错因分析:本题为含有双重绝对值的复合函数问题,不能正确地去掉绝对值是失分的原因.

[第 4 页 第 6 题] [答案] -1

(2014 湖北四校联考, 13) 已知 f(x) =

+1, 且 f(a) =3, 则 f(-a) 的值为

.

[解析] f(x) = ∴g(a) =2,

+1=3x-3-x+1. 令 g(x) =3x-3-x, 则 g(x) 为奇函数, f(x) =g(x) +1, 又 f(a) =g(a) +1=3,

∴f(-a) =g(-a) +1=-g(a) +1=-2+1=-1. [变式训练] (2011 浙江, 11, 4 分) 若函数 f(x) =x2-|x+a|为偶函数, 则实数 a= [变式答案] 0 [变式解析] 解法一:∵f(-x) =f(x) 对于 x∈R 恒成立, ∴|-x+a|=|x+a|对于 x∈R 恒成立, 两边平方整理得 ax=0 对于 x∈R 恒成立, 故 a=0. 解法二:由 f(-1) =f(1) , 得|a-1|=|a+1|, 得 a=0. .

[第 4 页 第 7 题]

(2014 浙江大衢中学期中, 5) 已知 f(x) =

则 f(3) 的值等

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于 [答案] 0

.

[解析] ∵f(x) = ∴f(3) =f(2) -f(1) =f(1) -f(0) -f(1) =-f(0) =-log21=0. [变式训练] (2013 重庆市高三九校一月联合诊断考试,12,5 分)已知函数 则

. [变式答案] [变式解析] ,所以

[第 4 页 第 8 题] [答案] -

(2014 浙江六校联盟回头考, 11) 设 f(x) =

, 若 f(a) =2, 则 a=

.

[解析] ∵f(x) =

, ∴f(a) =

=2, 解得 a=- . )

[变式训练] (2012 安徽,2,5 分)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| [变式答案] C B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x

[变式解析] 验证 C, f(x)=x+1.∵f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,∴f(2x)≠2f(x),即 f(x)=x+1 不满足 f(2x)=2f(x),故 选 C.

[第 4 页 第 9 题] [答案]

(2013 广东中山联考, 3) 已知函数 f(x) =

则f

=

.

[解析] 因为函数 f(x) =

所以 f

=f

=f(-1) =e-1= .

[变式训练] (2013 年东北三校高三第二次联合考试,13,5 分) 已知函数

,则

_ _________.

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[变式答案]

[变式解析]

因为

,所以

.

[第 4 页 第 10 题] (2013 浙江湖州联考, 8) 已知实数 a≠0, 函数 f(x) = 若 f(1-a) =f(1+a), 则 a 的值为 [答案] [解析] 分类讨论: (1) 当 a> 0 时, 1-a< 1,1+a> 1. 这时 f(1-a) =2(1-a) +a=2-a; f(1+a) =-(1+a) -2a=-1-3a. 由 f(1-a) =f(1+a) 得 2-a=-1-3a, 解得 a=- , 不符合题意, 舍去. (2) 当 a< 0 时, 1-a> 1,1+a< 1, 这时 f(1-a) =-(1-a) -2a=-1-a; f(1+a) =2(1+a) +a=2+3a, 由 f(1-a) =f(1+a) 得-1-a=2+3a, 解得 a=- . 综合(1) (2) 知, a 的值为- . [变式训练] (2014 广东广州高三调研测试,4) 定义在 上的函数 满足 .

则 A. [变式答案] D [变式解析] 由题意可得 B. 2 C.

的值为( D. 4



.

[第 4 页 第 11 题]

(2013 浙江温州二模, 17) 设函数 f(x) = .

已知存在 t1, t2 使得 f(t1)

= , f(t2) = , 则 t1-t2 的取值范围是

[答案]



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[解析] (1) 当 a> 2 时, ① x≥a 时, f(x) =

(x-1) ≥1;

② x< a 时, f(x) =

(x-2) < 1, 则有

从而 t1-t2= -a, 由 a> 2 得 t1-t2∈

.

(2) 当 1< a< 2 时, ① x≥a 时, f(x) =

≥1; ② x< a 时, f(x) =

> 1, ∴与题意不符.

(3) 当 a< 1 时, ① x≥a 时, f(x) =

≤1; ② x< a 时, f(x) =

> 1,



?t1-t2=-a+ ,

由 a< 1 得 t1-t2∈ 综合(1) (2) (3) 知,

.

t1-t2∈



.

[变式训练] . [变式答案] [变式解析]

(2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 函数

,若

,则

或 .

依题意,



,解得



[第 4 页 第 12 题] 范围是 .

(2013 广东深圳调研, 13) 已知函数 y=

的值域为,0, +∞), 则 a 的取值

[答案] *a|a≥4+2

或 a≤4-2

} 的值域为,0, +∞), 则说明,0, +∞) ?*y|y=g(x) +, 所以 , ∴a 的取值范围是 a≥4+2 或 a≤4-2 .

[解析] 令 t=g(x) =x2+ax-1+2a, 要使函数 y= a2-4(2a-1) ≥0, 即 a2-8a+4≥0, 解得 a≥4+2

或 a≤4-2

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[变式训练] 为

(2014 安徽合肥高三第二次质量检测,14) 关于 ,则实数 的取值范围是________.

的不等式

的解集

[变式答案] [变式解析] 令 当 时,不等式

, 的解集为 ,则

[第 5 页 第 1 题]

(2014 浙江杭州高级中学高三第一次月考, 9) 已知函数 f(x) = ) C. a≤-2 D. a< 0

是R上

的增函数, 则 a 的取值范围是( A. -3≤a< 0 [答案] B B. -3≤a≤-2

[解析] 因为 f(x) 是 R 上的增函数, 故

?-3≤a≤-2. )

[变式训练] (2012 广东,4,5 分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) [变式答案] A B.y=C.y= D.y=x+

[变式解析] 采用验证法,易知函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,因此在(0,+∞)上是增函数,故选 A.

[第 5 页 第 2 题]

(2013 浙江杭州重点中学联考, 5) 已知函数 f(x) = ) D. (-3,5)

则不等式

f(a2-4) > f(3a) 的解集为( A. (2,6) [答案] B B. (-1,4)

C. (1,4)

[解析] 作出函数 f(x) 的图象, 如图所示, 则函数 f(x) 在 R 上是单调递减的. 由 f(a2-4) > f(3a), 可得 a2-4< 3a, 整理得 a2-3a-4< 0, 即(a+1) (a-4) < 0, 解得-1< a< 4. 所以不等式的解集为(-1,4).

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[变式训练] (2011 江苏, 11, 5 分) 已知实数 a≠0, 函数 f(x) = 值为 .

若 f(1-a) =f(1+a) , 则 a 的

[变式答案] [变式解析] 分类讨论: (1) 当 a>0 时, 1-a<1, 1+a>1. 这时 f(1-a) =2(1-a) +a=2-a; f(1+a) =-(1+a) -2a=-1-3a. 由 f(1-a) =f(1+a) 得 2-a=-1-3a, 解得 a=- , 不符合题意, 舍去. (2) 当 a<0 时, 1-a>1, 1+a<1, 这时 f(1-a) =-(1-a) -2a=-1-a; f(1+a) =2(1+a) +a=2+3a, 由 f(1-a) =f(1+a) 得-1-a=2+3a, 解得 a=- . 综合(1) , (2) 知 a 的值为- .

[第 5 页 第 3 题] f[f(x) A. 3 -2x]=3, B. 7

(2013 浙江温州一模, 10) 已知函数 f(x) 在 R 上是单调函数, 且满足对任意 x∈R, 都有 ) D. 12

则 f(3) 的值是( C. 9

[答案] C [解析] 由题意令 f(x) -2x=c, 其中 c 为常数, 从而有 f(c) =2c+c, 又 f(c) =3, 故由 2c+c=3, 得 c=1, 则 f(x) =2x+1, 故 f(3) =9. [变式训练] (2014 安徽合肥高三第二次质量检测,7) 已知函数 ,则函数 A. B. C. D. 可以是( ) 满足:对定义域内的任意 ,都有

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[变式答案] [变式解析]

C 由 满足:对定义域内的任意 ,都有 ,

所以 结合函数图象观察可得 满足条件.

,即



[第 5 页 第 4 题] 调递减, 则 f(x) (

(2013 浙江名校第二次联考, 6) 设 a> 0, 且 a≠1, 函数 f(x) =loga )

在(1, +∞) 上单

A. 在(-∞, -1) 上单调递减, 在(-1,1) 上单调递增 B. 在(-∞, -1) 上单调递增, 在(-1,1) 上单调递减 C. 在(-∞, -1) 上单调递增, 在(-1,1) 上单调递增 D. 在(-∞, -1) 上单调递减, 在(-1,1) 上单调递减 [答案] A

[解析] 作出函数 y=

的图象, 可知其在(1, +∞) 上单调递增, 而函数 f(x) =loga

在(1, +∞) 上单调

递减, 所以 0< a< 1. 又函数 y=

在(-∞, -1) 上单调递增, 在(-1,1) 上单调递减, 所以函数 f(x) 在(-∞,

-1) 上单调递减, 在(-1,1) 上单调递增, 故选 A. [变式训练] (2014 安徽合肥高三第二次质量检测,7) 已知函数 ,则函数 A. B. C. D. [变式答案] [变式解析] C 由 满足:对定义域内的任意 ,都有 , 可以是( ) 满足:对定义域内的任意 ,都有

所以 结合函数图象观察可得 满足条件.

,即



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[第 5 页 第 5 题]

(2013 北京东城一模, 12) 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 x< 0 时, f(x)

=ex(x+1), 给出下列命题: ① 当 x> 0 时, f(x) =ex(1-x); ② 函数 f(x) 有两个零点; ③ f(x) > 0 的解集为(-1,0) ∪(1, +∞); ④ 对任意的 x1, x2∈R, 都有|f(x1) -f(x2) |< 2. 其中正确命题的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 [答案] B [解析] 根据函数 y=f(x) 是奇函数, 当 x< 0 时, f(x) =ex(x+1), 可知 x> 0 时的解析式为 f(x) =-e-x(-x+1), ① 不正确; 函数有三个零点, ② 不正确; 命题③ ④ 成立. 选 B. [变式训练] (2012 山西大学附中高三十月月考,8,5 分)设 有 A.2 B.-2 ,已知 C.8 D.-8 ,那么 为偶函数,对于任意的 等于( ) 的数,都 )

[变式答案] D [变式解析] 令 ,则有 ,所以 ,所以 ,所以 ,又 . 为偶函数,则

[第 5 页 第 6 题]

(2013 浙江台州联考, 8) 设 f(x) 是定义在 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, f(x) =x2. 若对 )

任意的 x∈,t, t+2-, 不等式 f(x+t) ≥2f(x) 恒成立, 则实数 t 的取值范围是( A. [ , +∞) B. ,2, +∞) C. (0,2] D. [, -1-∪, , ]

[答案] A [解析] 依题意知 f(x) 是 R 上的增函数, 当 t< 0 时, f(x+t) < f(x), 不合题意. 当 t> 0 时, 不等式 f(x+t) ≥2f(x) 对任意的 x∈,t, t+2-恒成立, 即有(x+t) 2≥2x2 对任意的 x∈,t, t+2-恒成立, 即(1对任意的 x∈,t, t+2-恒成立, 则 t+2≤(1+ ) t 且(1) t≤t, 从而得 t≥ . ) t≤x≤(1+ )t

[变式训练] (2011 北京, 6, 5 分) 根据统计, 一名工人组装第 x 件某产品所用的时间(单位:分钟) 为 f(x)

= A. 75, 25 [变式答案]

(A, c 为常数) . 已知工人组装第 4 件产品用时 30 分钟, 组装第 A 件产品用时 15 分钟, 那么 c ) B. 75, 16 D =15, 故 A>4, 则有 =30, 解得 c=60, A=16, 故选 D. C. 60, 25 D. 60, 16

和 A 的值分别是(

[变式解析] ∵

[第 5 页 第 7 题] (2014 浙江绍兴一中期中) 已知 f(x) =log4

, x∈R, 定义[x]表示不超过 x 的最大

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整数, 则函数 y=[f(x) ]的值域是 [答案] {0,1}

.

[解析] 设 y=

, 则当 x=0 时, y=0; 当 x> 0 时, 0< y=

≤ =2, 当且仅当 x=1 时取等号; 当 x< 0 时,

-2= ≤y=

< 0, 当且仅当 x=-1 时取等号.

综上, y∈,-2,2]. 故 f(x) ∈ [变式训练]

, 故 y=[f(x) ]的值域为{0,1}. ,若存在常数 ,对任意 在 上的均值为 ,已知 )

(2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 10) 定义函数 的,使得 ,则函数 在 D. ,则称函数

,存在唯一

上的均值为(

A. [变式答案] [变式解析]

B. A

C.

根据定义,函数 ,则称函数 在

,若存在常数 ,对任意 上的均值为 . 令 .

,存在唯一 ,

的,使得



时,选定

可得,

[第 5 页 第 8 题] [答案] 6

(2014 浙江台州中学统练, 13) 函数 y=5

+

的最大值是

.

[解析] 令 m=

(m≥0), n=

(n≥0), 则 m2+n2=4, 故将原问题转化为求 y=5m+

n 的最大值. 所

以当直线 y=5m+ [变式训练]

n 与 m2+n2=4(m≥0, n≥0) 相切时, y 取得最大值, 即

≤2?ymax=6

.

(2014 河北唐山高三第一次模拟考试,13) 函数



的值域为________________. [变式答案]

[变式解析]

,





.

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[第 5 页 第 9 题]

(2013 湖北八校联考(二)) 设奇函数 f(x) 在(0, +∞) 上是增函数, 且 f(1) =0, 则不等 .

式 x[f(x) -f(-x) ]< 0 的解集为 [答案] {x|-1< x< 0 或 0< x< 1}

[解析] ∵f(-x) =-f(x), x[f(x) -f(-x) -< 0, ∴xf(x) < 0, 又 f(1) =0, ∴f(-1) =0, 从而函数 f(x) 的大致图象如图 所示, 则不等式 x[f(x) -f(-x) ]< 0 的解集为{x|-1< x< 0 或 0< x< 1}.

[变式训练] (2012 广东,4,5 分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) [变式答案] A B.y=C.y= D.y=x+

)

[变式解析] 采用验证法,易知函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,因此在(0,+∞)上是增函数,故选 A.

[第 5 页 第 10 题] (2013 江苏常州调研) 设函数 f(x) =x- , 对任意 x∈,1, +∞), 使不等式 f(mx) +mf(x) < 0 恒成立的实数 m 称为函数 f(x) 的“伴随值”, 则 m 的取值范围是 [答案] (-∞, -1) [解析] 由题意知 f(x) 为增函数且 m≠0, 若 m> 0, 由函数的单调性可知 f(mx) 和 mf(x) 均为增函数, 此 .

时不符合题意; 若 m< 0, 则 f(mx) +mf(x) < 0 可化为 mx1+

+mx- < 0, 所以 2mx-

·< 0, 即

< 2x2, 因为 y=2x2 在 x∈,1, +∞) 上的最小值为 2, 所以 1+

< 2, 即 m2> 1, 解得 m< -1.

[变式训练]

(2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,10) 设函数

, 对任意

恒成立, 则实数 A. [变式答案] C B. C.

的取值范围是( D.



[变式解析]

因为函数

,对任意

恒成立,

即 若 此时函数 ,则 在

恒成立, 上是增函数,不恒小于 0,故 时恒成立,

, ,

为减函数,只需当

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,解得

.

[第 6 页 第 1 题] A. B. C.

(2014 浙江宁波重点中学期中, 7) 若函数 f(x) = D. 1

为奇函数, 则 a=(

)

[答案] B

[解析] 因为 f(x) 为奇函数, 所以 f(x) +f(-x) =0, 故 [变式训练] 实数 [变式答案] [变式解析]

+

=0, 解得 a= . 是 上的偶函数, 则

(2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测, 11) 若 . 1 依题意, ,即 .

[第 6 页 第 2 题]

(2014 浙江金华一中测试, 9) 设定义在区间(-b, b) 上的函数 f(x) =lg ( )

是奇函数(a,

b∈R, 且 a≠-2), 则 ab 的取值范围是

A. (1,

]

B.

C. (1,

)

D. (0,

)

[答案] A

[解析] 因为定义在区间(-b, b) 上的函数 f(x) =lg

是奇函数, 所以对任意的 x∈(-b, b), f(x) +f(-x)

=0?lg

+lg

=0, 即 ].

·

=1, 得 a=2(a=-2 舍去), 所以 f(x) =lg

. 又因为

> 0?- < x<

,

故 0< b≤ , 所以 ab∈(1,

[变式训练]

(2014 江西七校高三上学期第一次联考, 3) 函数

,若

,则 A. 2018 B. -2009 C. 2013 D. -2013





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[变式答案] [变式解析]

C , 函数 是偶函数,

.

[第 6 页 第 3 题]

(2014 浙江华易新高考联盟模拟, 5) 下列四个函数: ① y=|tan x|, ② y=lg|x|, ③ y=sin )

,

④ y=2x. 其中既是偶函数, 又在区间(0,1) 内递增的函数的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 [答案] D

[解析] ① y=|tan x|是偶函数, 且在(0,1) 上是增函数, 故满足条件. ② y=lg|x|是偶函数, 且在(0,1) 上是增

函数, 故满足条件. ③ y=sin

=-sin

=-cos x, 是偶函数, 且在(0,1) 上是增函数, 故满足条件.

④ y=2x 是非奇非偶函数, 故不满足条件. 故选 D. [变式训练] (2012 广东,4,5 分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) [变式答案] A [变式解析] 采用验证法,易知函数 y=ln(x+2)在(-2,+∞)上是增函数,因此在(0,+∞)上是增函数,故选 A. [第 6 页 第 4 题] 0≤x≤1 时, f(x) A. 2k(k∈Z) [答案] D [解析] ∵f(x) 是偶函数, 且 0≤x≤1 时, f(x) =x2, ∴-1≤x≤1 时, f(x) =x2, 设 x∈,2k-1,2k+1], 则 x-2k∈,-1,1], 因为 f(x) 是以 2 为周期的函数, ∴f(x) =f(x-2k) =(x-2k) 2. 当直线 y=x+a 过点(2k, 0), 或与 y=(x-2k) 2 相切 时, 恰有两个交点, ∴2k+a=0, 或(x-2k) 2=x+a 的判别式为零, 即 a=-2k, 或(4k+1) 2-4(4k2-a) =0, 得 a=-2k, 或 a=-2k- . ∵k∈Z, ∴可以用-k 代替 k. 于是 a=2k, 或 a=2k- . 故选 D. [变式训练] (2010 北京, 14, 5 分) 如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动. 设顶点 P(x, y) 的轨 迹方程是 y=f(x) , 则函数 f(x) 的最小正周期为 域的面积为 . ;y=f(x) 在其两个相邻零点间的图象与 x 轴所围区 =x2, (2013 浙江湖州三县期中联考) 已知 f(x) 是定义在 R 上的且以 2 为周期的偶函数, 当 如果直线 y=x+a 与曲线 y=f(x) 恰有两个不同的交点, 则实数 a 的值为( C. 0 D. 2k 或 2k- (k∈Z) ) B.y=C.y= D.y=x+ )

B. 2k 或 2k+ (k∈Z)

说明:“正方形 PABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动. 沿 x 轴正方向滚动指的是先以顶 点 A 为中心顺时针旋转, 当顶点 B 落在 x 轴上时, 再以顶点 B 为中心顺时针旋转, 如此继续. 类似地, 正方 形 PABC 可以沿 x 轴负方向滚动. [变式答案] 4;π+1 [变式解析] 当正方形 PABC 四边都滚动时 P 才回到左下角的位置, 所以最小正周期是 4, y=f(x) 在其两个 相邻零点间的图象如图.

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面积是 3 个扇形和两个直角三角形, π·12×2+ π( ) 2+ ×1×1×2=π+1.

[第 6 页 第 6 题] (2013 湖北黄石联考, 4) 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 和偶函数 g(x) 满足 f(x) +g(x) =ax-a-x+2(a> 0, 且 a≠1), 若 g(2 012) =a, 则 f(-2 012) =( A. 2 B. 2-2 012-22 012 C. 22 012-2-2 012 D. a2 [答案] B [解析] f(-x) +g(-x) =a-x-ax+2, 又 f(-x) =-f(x), g(-x) =g(x), ∴-f(x) +g(x) =a-x-ax+2, ∴f(x) =ax-a-x, g(x) =2, ∴a=2, 故 f(-2 012) =2-2 012-22 012, 故选 B. [变式训练] (2010 山东, 4, 5 分) 设 f(x) 为常数) , 则 f(-1) =( A. 3 [变式解析] B. 1 C. -1 [变式答案] D 因为 f(x) 为定义在 R 上的奇函数, 所以 f(0) =0, 可求得 b=-1, 所以 f(-1) =-f(1) =-(21+2+b) =-3. 故选 D. [第 6 页 第 5 题] A. 1 和 2 [答案] A [解析] 令 g(x) =asin x+bx, 则 g(x) 是奇函数, ∴g(-1) =-g(1), f(1) =g(1) +c, f(-1) =g(-1) +c=-g(1) +c, ∴f(1) +f(-1) =2c, ∵c∈Z, ∴2c 一定为偶数, 故选 A. [变式训练] (2010 江苏, 5, 5 分) 设函数 f(x) =x(ex+ae-x) (x∈R) 为 . [变式答案] -1 [变式解析] ∵f(-x) =f(x) 对任意 x 均成立, ∴(-x) (e-x+a· ex) =x(ex+ae-x) 对任意 x 恒成立, ∴x(-aex-e-x) =x(ex+ae-x) , ∴a=-1. [第 6 页 第 7 题] ( ) B. f(x) 是奇函数 C. f(x) =f(x+2) D. f(x+3) 是奇函数 A. f(x) 是偶函数 [答案] D [解析] 由已知得对 x∈R 都有 f(-x+1) =-f(x+1), f(-x-1) =-f(x-1). 因此 f(-x+3) =f[-(x-2) +1]=-f[(x-2) +1]=-f(x-1) =f(-x-1) =f(-x-2+1) =f[-(x+2) +1]=-f[(x+2) +1]=-f(x+3), 因此函数 f(x+3) 是奇函数. [变式训练] (2008 重庆, 6, 5 分) 若定义在 R 上的函数 f(x) 满足:对任意 x1, x2∈R 有 f(x1+x2) =f(x1) (2013 湖南长沙调研) 函数 f(x) 的定义域为 R, 若 f(x+1) 与 f(x-1) 都是奇函数, 则 是偶函数, 则实数 a 的值 (2013 浙江杭州七校联考) 对于函数 f(x) =asin x+bx+c(其中 a, b∈R, c∈Z), 选取 a, b, c ) C. 2 和 4 D. 4 和 6 ) D. -3 为定义在 R 上的奇函数. 当 x≥0 时, f(x) =2x+2x+b(b )

的一组值计算 f(1) 和 f(-1), 所得出的正确结果一定不可能是( B. 1 和 3

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+f(x2) +1, 则下列说法一定正确的是( A. f(x) 为奇函数 [变式答案] [变式解析] C B. f(x) 为偶函数

) C. f(x) +1 为奇函数 D. f(x) +1 为偶函数

令 x1=x2=0 得 f(0) =-1, 再令 x1=x, x2=-x, 有 f(0) =f(x) +f(-x) +1, 即 f(-x) +1=-[f(x) +1],

故 f(x) +1 为奇函数. 故选 C. [第 6 页 第 8 题] (2013 浙江杭州联考) 已知函数 y=f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 对任意 x∈R 都有 f(x+6)

=f(x) +f(3), 当 x1, x2∈,0,3-, 且 x1≠x2 时,

> 0, 给出如下命题:

① f(3) =0; ② 直线 x=-6 是函数 y=f(x) 的图象的一条对称轴; ③ 函数 y=f(x) 在[-9, -6]上为增函数; ④ 函数 y=f(x) 在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为( A. ① ② [答案] D [解析] 依题意可得 f(-3+6) =f(-3) +f(3), 即 f(-3) =0, 又 f(x) 是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(3) =f(-3) =0, ① 正确; 由① 知 f(x+6) =f(x), 即函数 f(x) 是以 6 为周期的周期函数, 则 f(x-6) =f(x+6). 又 f(x) =f(-x), 因此有 f(x-6) =f(-6-x), 即函数 f(x) 的图象关于直线 x=-6 对称, ② 正确; 依题意知, 函数 f(x) 在[0,3]上是 增函数, 则函数 f(x) 在[-3,0]上是减函数, 又函数 f(x) 是以 6 为周期的周期函数, 因此函数 y=f(x) 在[-9, -6]上是减函数, ③ 不正确; 结合函数 y=f(x) 的图象可知 f(-9) =f(9) =f(3) =f(-3) =0, 故函数 y=f(x) 在[-9,9] 上有四个零点, ④ 正确. 综上所述, 所有正确命题的序号为① ② ④ , 选 D. [变式训练] (2008 福建, 4, 5 分) 函数 f(x) ( A. 3 [变式解析] ) B. 0 C. -1 D. -2 =x3+sin x+1(x∈R) , 若 f(a) =2, 则 f(-a) 的值为 B. ② ④ C. ① ② ③ ) D. ① ② ④

[变式答案] B ∵ f(a) =a3+sin a+1=2, ∴ a3+sin a=1. 而 f(-a) =-a3-sin a+1=-1+1=0, 故选 B.

[第 6 页 第 9 题]

(2014 浙江台州黄岩中学月考, 14) 设函数 f(x) = .

若函数 g(x) =f(x) -ax,

x∈,-2,2]为偶函数, 则实数 a 的值为 [答案]

[解析] ∵f(x) = ∴g(x) =f(x) -ax

=

∵g(x) =

为偶函数,

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∴g(-1) =g(1), 即 a-1=1-a-1=-a, ∴2a=1, ∴a= .

[变式训练]

(2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,11) 已知函数 _________ .

,则

[变式答案]

[变式解析]

因为

,所以

.

[第 6 页 第 10 题] (2014 山东青岛二中期中, 16) 设定义在 R 上的函数 f(x) 同时满足以下条件: ① f(x)

+f(-x) =0; ② f(x) =f(x+2); ③ 当 0≤x< 1 时, f(x) =2x-1. 则 f [答案] -1

+f(1) +f

+f(2) +f

=

.

[解析] 因为 f(x) 是定义在 R 上的函数且 f(x) +f(-x) =0, 所以 f(0) =0, 又 f(x) =f(x+2), 所以 f(1) =f(-1) =-f(1) ?f(1) =0, 又由已知得 f(2) =f(0) =0,

f

= -1=

-1, f

=f

,f

=f

=-f

,

∴f

+f(1) +f

+f(2) +f

=f

=

-1. 为定义在 R 上的奇函数,当

[变式训练] 时, A. 1 [变式答案] [变式解析] 即 ,

(2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),4) 设函数 ( 为常数),则 B. 3 B 函数 为定义在 R 上的奇函数, . , C. D. ( )







[第 6 页 第 11 题] (2013 浙江湖州高三调研, 16) 已知函数 f(x+1) 是定义在 R 上的奇函数, 若对于任意

给定的不等实数 x1、 x2, 不等式(x1-x2) [f(x1) -f(x2) ]< 0 恒成立, 则不等式 f

< 0 的解集为

.

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[答案]

∪(2, +∞)

[解析] ∵f(x+1) 是定义在 R 上的奇函数, ∴f(-x+1) =-f(x+1), 令 x=0, 则 f(1) =0. 又∵(x1-x2) [f(x1)

-f(x2) -< 0, ∴f(x) 在 R 上单调递减, ∵f

< 0=f(1), ∴x2- x> 1, 解得 x< - 或 x> 2, ∴不等式 f

<0

的解集为 [变式训练]

∪(2, +∞). (2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 动点 在圆 上绕坐标原点沿逆时针

方向匀速旋转,12 秒旋转一周. 已知时间 t=0 时,点 A 的坐标是( 纵坐标 y 关于 t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( (A)[0,1] [变式答案] [变式解析] D 时,点 的坐标是 或 , 点 时,动点 的初始角为 , (B)[1,7] ) (C)[7,12]

),则当

时,动点 A 的

(D)[0,1]和[7,12]

当点 转过的角度在

的纵坐标 关于 (单位:秒)的函数单调递增, 12

秒旋转一周, 每秒转过的角度是 则当 时,动点 ,



, , .

的纵坐标 关于 (单位:秒)的函数的单调增区间是 .

故所求答案为

[第 6 页 第 12 题]

(2013 浙江宁波调研, 14) 设函数 f(x) = .

若函数 g(x) =f(x) -ax, x∈,-2,2]

为偶函数, 则实数 a 的值为 [答案]

[解析] g(x) =

g(-x) =

= 成立, 从而有 a=1-a, 得 a= .

因为 g(x) 为偶函数, 所以 g(-x) =g(x), 则 ax-1=(1-a) x-1 对于 x∈,-2,2]恒

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[变式训练] (2010 陕西, 5, 5 分) 已知函数 f(x) = A. [变式答案] B. C ∵0<1, ∴f(0) =20+1=2. C. 2 D. 9

若 f(f(0) ) =4a, 则实数 a 等于(

)

[变式解析] f(x) =

∵f(0) =2≥1, ∴f(f(0) ) =22+2a=4a, ∴a=2. 故选 C. [第 6 页 第 13 题] (2013 山东泰安二模, 16) 对于定义在 R 上的函数 f(x) 有以下五个命题: ① 若 y=f(x) 是奇函数, 则 y=f(x-1) 的图象关于 A(1,0) 对称; ② 若对于任意 x∈R, 有 f(x-1) =f(x+1), 则 f(x) 关于直线 x=1 对称; ③ 函数 y=f(x+1) 与 y=f(1-x) 的图象关于直线 x=1 对称; ④ 如果函数 y=f(x) 满足 f(x+1) =f(1-x), f(x+3) =f(3-x), 那么该函数以 4 为周期. 其中正确命题的序号为 [答案] ① ④ [解析] ① 奇函数图象右移一个单位, 其对称中心变为(1,0); ② 若对于任意 x∈R, 有 f(x-1) =f(x+1), 则 f(x) =f(x+2); ③ 两函数图象关于直线 x=0 对称; ④ f(x+1) =f(1-x) =f[(-2-x) +3]=f[3-(-2-x) -=f(5+x), ∴f(x) =f(x+4), 该函数以 4 为周期. [变式训练] (2014 河北衡水中学高三上学期第五次调研考试, 14) 已知 的解集是_________. 是 R 上的减函数, , .

是其图象上两个点,则不等式 [变式答案] [变式解析] 由已知可得:

, 所以

可化为

,由单调性

可得:

, 解得

.

[第 6 页 第 14 题] (2014 浙江瑞安中学期中, 18) 已知函数 f(x) =x2+|x-a|. (1) 试讨论 f(x) 的奇偶性; (2) 若 a≥1, 且 f(x) 的最小值为 1, 求 a 的值. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 当 a=0 时, f(x) =x2+|x|, 定义域为 R, 关于原点对称, f(-x) =x2+|x|, ∴f(-x) =f(x), ∴f(x) 为偶函 数. 当 a≠0 时, f(a) =a2, f(-a) =a2+2|a|, ∴f(a) ≠f(-a), f(-a) ≠-f(a), ∴f(x) 为非奇非偶函数.

(2) f(x) =

当 x≥a 时, ∵a≥1, ∴f(x) = ∴当 x=a 时, f(x) min=a2.

-a- 在,a, +∞) 上单调递增,

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当 x< a 时, f(x) =

+a- ,

∵a≥1, ∴当 x= 时, f(x) min=a- . 易知 a2> a- , 又∵f(x) 的最小值为 1, ∴a- =1, ∴a= .

[变式训练] (2010 重庆, 5, 5 分) 函数 f(x) = A. 关于原点对称 [变式答案] D [变式解析] 对于选项 A, 点 B. 关于直线 y=x 对称

的图象(

) D. 关于 y 轴对称

C. 关于 x 轴对称

在 f(x) 的图象上, 但点

不在 f(x) 的图象上;

对于选项 B, 点(0, 2) 在 f(x) 的图象上, 但点(2, 0) 不在 f(x) 的图象上; 对于选项 C, 函数的图象不能关于 x 轴对称; 对于选项 D, ∵f(-x) = = =f(x) ,

∴函数 f(x) 的图象关于 y 轴对称.

[第 7 页 第 1 题] 的所有 α 的值是( A. 1,3 [答案] A B. -1,1

(2014 浙江平湖中学期中, 2) 设 α∈ ) C. -1,3 D. -1,1, 3

, 则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数

[解析] y=xα 为幂函数, 要保证定义域为 R, 则 α 不能取-1, , 要保证函数为奇函数, α 取 1,3 都可以, 所以 选 A. [变式训练] (2013 重庆市高三九校一月联合诊断考试,7,5 分)下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函 数的大致对应是 ( )

A. ① B. ① C. ①







② ②

③ ③

④ ④

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D. ① [变式答案] B







[变式解析] ① 中图象是上升的,且关于原点对称,所以该幂函数在定义域上是增函数,且是奇函数,在区 间 内的幂函数图象在直线 的上方,所以大致对应函数 ;② 中图象关于 轴对称,是

偶函数,所以大致对应函数

;③ 中图象仅在第一象限,所以该幂函数的定义域是

,所以大

致对应函数

;④ 中图象关于原点对称,并且与 ,所以大致对应函数

没有交点,所以该幂函数是奇函数,且定义域是

,故选 B.

[第 7 页 第 2 题] 为( )

(2014 浙江金华一中测试, 6) 方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有解, 则实数 a 的取值范围

A. [答案] C

B. (1, +∞)

C.

D.

[解析] 方程 x2+ax-2=0 在区间[1,5]上有解转化为方程 a=

在区间[1,5]上有解, 即 y=a 与 y=

有交点,

又因为 y=

= -x 在[1,5]上是减函数, 所以值域为

, 故选 C. 的解所在区间为( )

[变式训练] (2013 辽宁省五校协作体高三一月摸底考试,9,5 分)方程 A.(0,1) [变式答案] C [变式解析] 设函数 , 在区间 内有零点,即方程 ,则 , B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)

,所以 的解所在区间为是 .

,所以函数

[第 7 页 第 3 题] A. >

(2014 北京朝阳期中, 7) 若 0< m< 1, 则(

)

B. (1-m > (1+m C. logm(1+m) > 0

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D. logm(1+m) > logm(1-m) [答案] A [解析] 选项 A 正确, 当 0< m< 1 时, 函数 y=mx 是单调递减的, 又 < , 所以 > ; 选项 B 错误, 当

0< m< 1 时, 0< 1-m< 1,1< 1+m< 2, 所以(1-m < 1< (1+m ; 选项 C 错误, 当 0< m< 1 时, 1< 1+m< 2, 所以 logm(1+m) < 0; 选项 D 错误, 当 0< m< 1 时, 1+m> 1-m, 且函数 y=logmx 是单调递减的, 所以有 logm(1+m) < logm(1-m). [变式训练] (2013 重庆市高三九校一月联合诊断考试,7,5 分)下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函 数的大致对应是 ( )

A. ① B. ① C. ① D. ① [变式答案] B







② ② ②

③ ③ ③

④ ④ ④

[变式解析] ① 中图象是上升的,且关于原点对称,所以该幂函数在定义域上是增函数,且是奇函数,在区 间 内的幂函数图象在直线 的上方,所以大致对应函数 ;② 中图象关于 轴对称,是

偶函数,所以大致对应函数

;③ 中图象仅在第一象限,所以该幂函数的定义域是

,所以大

致对应函数

;④ 中图象关于原点对称,并且与 ,所以大致对应函数

没有交点,所以该幂函数是奇函数,且定义域是

,故选 B.

[第 7 页 第 4 题] (2013 浙江金丽衢十二校二模, 8) 对数函数 y=logax(a> 0 且 a≠1) 与二次函数 y=(a-1) x2-x 在同一坐标系内的图象可能是( )

[答案] A

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[解析] 二次函数图象的对称轴方程为 x= 称轴在 y 轴左侧, 排除 C, D. 故选 A. [变式训练]

, 当 a> 1 时, 对称轴在 y 轴右侧, 排除 B; 当 0< a< 1 时, 对

(2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 10) 定义函数 的,使得 ,则函数 在 D. ,则称函数 在

,若存在常数 ,对任意 上的均值为 ,已知 )

,存在唯一

上的均值为(

A. [变式答案] [变式解析]

B. A

C.

根据定义,函数 ,则称函数 在

,若存在常数 ,对任意 上的均值为 . 令 .

,存在唯一 ,

的,使得



时,选定

可得,

[第 7 页 第 5 题] (2013 浙江名校交流卷二, 2) 已知 U=R, M={x|y= ∩N=( A. (-1,3) [答案] B [解析] 由 x2-2x-3≥0, 得 x≥3 或 x≤-1, 则?UM={x|-1< x< 3}, 而 N={-1,3}, ∴(?UM) ∩N=? . ) B. ? C. {-1,3} D. [-1,3]

}, N={x|x2-2x-3=0}, 则(?UM)

[变式训练] (2012 江西省临川一中、师大附中联考,1,5 分)已知集合 M={0,1,2,3},N={x|<2x<4}, 则集合 M∩( A.{0,1,2} [变式答案] B [变式解析] ∴ ∵ 或 ,∴M∩( N)={2,3}. ,∴ , N)等于( ) C. D.{0,1,2,3}

B.{2,3}

[第 7 页 第 6 题] 为( A. ) B. -

(2013 广东惠州高三调研, 4) 已知幂函数 y=f(x) 的图象过点

, 则 log4 f(2) 的值

C. 2

D. -2

[答案] A

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[解析] 设 f(x) =xα, 由图象过点 则 log4 f(2) =log4 =log4 = . 故选 A.



= =

?α= ,

[变式训练] (2013 重庆市高三九校一月联合诊断考试,7,5 分)下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函 数的大致对应是 ( )

A. ① B. ① C. ① D. ① [变式答案] B







② ② ②

③ ③ ③

④ ④ ④

[变式解析] ① 中图象是上升的,且关于原点对称,所以该幂函数在定义域上是增函数,且是奇函数,在区 间 内的幂函数图象在直线 的上方,所以大致对应函数 ;② 中图象关于 轴对称,是

偶函数,所以大致对应函数

;③ 中图象仅在第一象限,所以该幂函数的定义域是

,所以大

致对应函数

;④ 中图象关于原点对称,并且与 ,所以大致对应函数

没有交点,所以该幂函数是奇函数,且定义域是

,故选 B.

[第 7 页 第 7 题]

(2013 北京丰台调研, 6) 已知函数 f(x) =ax2+bx+c, 且 a> b> c, a+b+c=0, 则(

)

A. 任意 x∈(0,1), f(x) > 0 B. 任意 x∈(0,1), f(x) < 0 C. 存在 x0∈(0,1), f(x0) =0 D. 存在 x0∈(0,1), f(x0) > 0 [答案] B [解析] 由 a> b> c, a+b+c=0 可知 a> 0, c< 0, 故函数图象开口向上. 因为 f(0) =c< 0, f(1) = a+b+c=0, 即 1 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根, 所以任意 x∈(0,1), f(x) < 0, 选 B. [变式训练] (2010 安徽, 6, 5 分) 设 abc>0, 二次函数 f(x) =ax2+bx+c 的图象可能是( )

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[变式答案]

D <0, ∴b<0. 又∵abc>0, ∴c>0. 而由题图知

[变式解析] A 项, 由图象开口向下知 a<0, 由对称轴位置知f(0) =c<0;B 项, 由题图知 a<0, C 项, 由题图知 a>0, <0, ∴b>0.

>0, ∴b>0. 又∵abc>0, ∴c<0, 而由题图知 f(0) =c>0;

又∵abc>0, ∴c>0, 而由题图知 f(0) =c<0; D 项, 由题图知 a>0, >0, ∴b<0.

又∵abc>0, ∴c<0, 由题图知 f(0) =c<0. D 正确. [第 7 页 第 8 题] (2013 浙江宁波十校联考, 7) 若方程 x2-5x+m=0 与 x2-10x+n=0 的四个根适当排列后, )

恰好组成一个首项为 1 的等比数列, 则 m∶n 的值为( A. B. C. 2 D. 4

[答案] A [解析] 设方程 x2-5x+m=0 的两根为 x1, x2(x1< x2), 方程 x2-10x+n=0 的两根为 x3, x4(x3< x4), 则 x1+x2=5, x3+x4=10. 当 x1=1 时, x2=4, 此时 x2 不能为等比数列的第二项, 否则公比为 4, 则 x3=16, x4=64, 与 x3+x4=10 不符. x2 也不能为等比数列的第四项, 否则公比为 , 则 x3= , x4= , 与 x3+x4=10 不符. 故

x2 只能为等比数列的第三项, 公比为 2, 则 x3=2, x4=8, 符合要求. 则 =

= .

当 x3=1 时, x4=9, 显然 x4 不能为等比数列的第二项, 也不能为等比数列的第三项; 若 x4 为等比数列的第四 项, 则公比为 [变式训练] , 则 x1= , x2= , 与 x1+x2=5 不符. 故选 A.

(2014 山东实验中学高三第一次模拟考试,8) 已知函数 的零点分别为 的大小

关系是( A.

) B. C. D.

[变式答案] A [变式解析] , 由已知 分别是 , , 的根, 作出 . ,



的图像,如图所示,由图像可得

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[第 7 页 第 9 题] (2013 浙江温州五校联考) 已知函数 f(x) =2mx2-2(4-m) x+1, g(x) =mx, 若对于任一实 数 x, f(x) 与 g(x) 的值至少有一个为正数, 则实数 m 的取值范围是( A. (0,2) [答案] B [解析] 解法一: 取 m=2, 则 f(x) =4x2-4x+1=(2x-1) 2, g(x) =2x. ∴ x≠ 时, f(x) > 0; 而 x= 时, g(x) =1> 0. ∴ m=2 符合, 应排除 A、C、D. 故选 B. 解法二: 当 m< 0 时, 如图所示, 设 f(x) 的图象与 x 轴的交点分别为 A(x1, 0), B(x2, 0), B. (0,8) C. (2,8) D. (-∞, 0) )

则当 x> x2 时, f(x) < 0, g(x) < 0, 不符合要求; 当 m=0 时, f(x) =-8x+1, g(x) =0, 在 x> 时, f(x) < 0, ∴ m=0 不符合要求; 当 0< m< 4 时, 如图所示, 设 f(x) 的图象与 x 轴的交点分别为 C(x3, 0), D(x4, 0),

结合图象可知: 当 x< x3 或 x> x4 时, f(x) > 0, x3≤x≤x4 时, g(x) > 0, ∴ 0< m< 4 符合题目要求;

当 m≥4 时, f(x) 的图象的对称轴 x=

位于 y 轴左侧或在 y 轴上. 若 x< 0, 则 g(x) =mx< 0, 故 x< 0 时, f(x)

必须为正数, 从而 f(x) min> 0, 即有 综上可知: 实数 m 的取值范围是 0< m< 8. 故选 B.

解得 4≤m< 8.

[变式训练] (2009 福建, 10, 5 分) 函数 f(x) =ax2+bx+c(a≠0) 的图象关于直线 x=-

对称. 据此可推测,

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对任意的非零实数 a, b, c, m, n, p, 关于 x 的方程 m[f(x) ]2+nf(x) +p=0 的解集都不可能是( A. {1, 2} [变式答案] D B. {1, 4} C. {1, 2, 3, 4} D. {1, 4, 16, 64}

)

[变式解析] 设关于 f(x) 的方程 m[f(x) ]2+nf(x) +p=0 有两根, 即 f(x) =t1 或 f(x) =t2. 而 f(x) =ax2+bx+c 的图象关于直线 x=D中 ≠ . 故选 D. 对称, 因而 f(x) =t1 或 f(x) =t2 的两根也关于 x=对称. 而选项

[第 7 页 第 10 题] (2013 陕西西安调研) 若(a+1 < (3-2a , 则 a 的取值范围是

.

[答案]

[解析] 令 f(x) =

= , 则 f(x) 的定义域是{x|x> 0}, 且 f(x) 在(0, +∞) 上单调递减, 则原不等式等价于

解得 < a<

.

[变式训练] (2013 重庆市高三九校一月联合诊断考试,7,5 分)下图给出 4 个幂函数的图象,则图象与函 数的大致对应是 ( )

A. ① B. ① C. ① D. ① [变式答案] B







② ② ②

③ ③ ③

④ ④ ④

[变式解析] ① 中图象是上升的,且关于原点对称,所以该幂函数在定义域上是增函数,且是奇函数,在区 间 内的幂函数图象在直线 的上方,所以大致对应函数 ;② 中图象关于 轴对称,是

偶函数,所以大致对应函数

;③ 中图象仅在第一象限,所以该幂函数的定义域是

,所以大

致对应函数

;④ 中图象关于原点对称,并且与

没有交点,所以该幂函数是奇函数,且定义域是

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,所以大致对应函数

,故选 B.

[第 7 页 第 11 题] (2013 安徽合肥联考) 若二次函数 f(x) =ax2+bx+c(a≠0) 的图象和直线 y=x 无交点, 现有下列结论: ① 方程 f[f(x) ]=x 一定没有实数根; ② 若 a> 0, 则不等式 f[f(x) ]> x 对一切实数 x 都成立; ③ 若 a< 0, 则必存在实数 x0, 使 f[f(x0) ]> x0; ④ 若 a+b+c=0, 则不等式 f[f(x) ]< x 对一切实数都成立; ⑤ 函数 g(x) =ax2-bx+c 的图象与直线 y=-x 也一定没有交点. 其中正确的结论是 [答案] ① ② ④ ⑤ [解析] ① 因为函数 f(x) 的图象与直线 y=x 没有交点, 所以 f(x) > x(a> 0) 或 f(x) < x(a< 0) 恒成立, 所以 f[f(x) ]> f(x) > x 或 f[f(x) ]< f(x) < x 恒成立, 所以 f[f(x) ]=x 一定没有实数根; ② 若 a> 0, 则不等式 f[f(x) ]> f(x) > x 对一切实数 x 都成立; ③ 若 a< 0, 则不等式 f[f(x) ]< x 对一切实数 x 都成立, 所以不存在 x0, 使 f[f(x0) ]> x0; ④ 若 a+b+c=0, 则 f(1) =0< 1, 可得 a< 0, 因此不等式 f[f(x) ]< x 对一切实数都成立; ⑤ 易知函数 g(x) =f(-x), g(x) 与 f(x) 的图象关于 y 轴对称, 所以 g(x) 和直线 y=-x 也一定没有交点. [变式训练] 为 (2014 安徽合肥高三第二次质量检测,14) 关于 ,则实数 的取值范围是________. 的不等式 的解集 (写出所有正确结论的编号).

[变式答案] [变式解析] 令 当 时,不等式

, 的解集为 ,则

[第 7 页 第 12 题] (2013 北京西城调研) 已知二次函数 f(x) 满足 f(0) =1 和 f(x+1) -f(x) =2x. (1) 求 f(x) 的解析式; (2) 若 g(x) =f(x) -ax2+1 有一个正的零点, 求实数 a 的取值范围. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 设 f(x) =ax2+bx+c(a≠0),

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由 f(x) 满足 f(0) =1 和 f(x+1) -f(x) =2x, 可得 a=1, b=-1, c=1. ∴f(x) =x2-x+1. (2) g(x) =(1-a) x2-x+2, g(x) 有一个正的零点?(1-a) x2-x+2=0 有一个正根. (i) 当 1-a=0, 即 a=1 时, x=2, 符合题意; (ii) 当 1-a≠0, 即 a≠1 时, Δ=1-8(1-a) =8a-7, 当 8a-7=0, 即 a= 时, 方程有等根 x=4> 0, 符合题意;

当 a> 时, Δ> 0, 只需

< 0, ∴a> 1.

综上, 实数 a 的取值范围为,1, +∞) ∪

. )

[变式训练] (2010 安徽, 6, 5 分) 设 abc>0, 二次函数 f(x) =ax2+bx+c 的图象可能是(

[变式答案]

D <0, ∴b<0. 又∵abc>0, ∴c>0. 而由题图知

[变式解析] A 项, 由图象开口向下知 a<0, 由对称轴位置知f(0) =c<0;B 项, 由题图知 a<0, C 项, 由题图知 a>0, <0, ∴b>0.

>0, ∴b>0. 又∵abc>0, ∴c<0, 而由题图知 f(0) =c>0;

又∵abc>0, ∴c>0, 而由题图知 f(0) =c<0; D 项, 由题图知 a>0, >0, ∴b<0.

又∵abc>0, ∴c<0, 由题图知 f(0) =c<0. D 正确. [第 8 页 第 1 题] (2014 浙江嘉兴一中期中, 5) 若函数 f(x) =kax-a-x(a> 0 且 a≠1) 在(-∞, +∞) 上既是奇 函数, 又是增函数, 则函数 g(x) =loga(x+k) 的图象是( )

[答案] C

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[解析] 因为函数 f(x) =kax-a-x(a> 0 且 a≠1) 在(-∞, +∞) 上为奇函数, 所以 f(0) =0?k-1=0?k=1. 又因 为 f(x) 为增函数, 所以 a> 1, 又 g(x) =loga(x+1) 的图象可以由 y=logax 的图象向左平移 1 个单位得到, 故 选 C. [变式训练] (2009 江苏, 10, 5 分) 已知 a= 的大小关系为 [变式答案] m<n [变式解析] ∵a= ∈(0, 1) , ∴am>an?m<n. . , 函数 f(x) =ax, 若实数 m、n 满足 f(m) >f(n) , 则 m、n

[第 8 页 第 2 题]

(2013 浙江宁波期末统考, 3) 函数 f(x) = B. 单调递增函数, 偶函数

则该函数为( C. 单调递减函数, 奇函数

) D. 单调递减函

A. 单调递增函数, 奇函数 数, 偶函数 [答案] A

[解析] 因为当 x> 0 时, f(x) =1-5-x, -x< 0, f(-x) =5-x-1, 此时 f(-x) =-f(x), 当 x=0 时, f(0) =0, 即有 f(-x) =-f(x), 故由奇函数定义可知函数 f(x) 为奇函数, 又函数 f(x) 在,0, +∞) 上为增函数, 结合函数 f(x) 为奇 函数且在原点有意义, 故函数 f(x) 在定义域 R 上为增函数. [变式训练] (2009 江苏, 10, 5 分) 已知 a= 的大小关系为 [变式答案] m<n [变式解析] ∵a= ∈(0, 1) , ∴am>an?m<n. . , 函数 f(x) =ax, 若实数 m、n 满足 f(m) >f(n) , 则 m、n

[第 8 页 第 3 题] (2013 安徽黄山调研) 定义运算 a*b: a*b= ( ) B. (0,3] C. (0,1] D. [1,2]

例如 2*3=2, 则 1*3x 的取值范围是

A. (0,2] [答案] C

[解析] 由题意知: 1*3x= [变式训练]

又当 x< 0 时, 3x∈(0,1), 因此 1*3x 的取值范围是(0,1], 故选 C. 上的函数 满足

(2014 广东广州高三调研测试,4) 定义在

则 A. [变式答案] D [变式解析] 由题意可得 B. 2 C.

的值为( D. 4



.

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[第 8 页 第 4 题] A. c< a< b [答案] B

(2013 湖北黄石联考, 10) 已知 a= C. b< a< c D. c< b< a

, b=

, c=

, 则 a、 b、 c 的大小关系是(

)

B. a< b< c

[解析] 令函数 f(x) =

, 知函数 f(x) 在 R 上单调递减, ∵0< <

,∴

<

< 1, 即 a< b< 1, 又

> 1, 即 c> 1, ∴c> b> a, 故选 B.

[变式训练] (2009 北京, 13, 5 分) 若函数 f(x) = [变式答案] [-3, 1]

则不等式|f(x) |≥ 的解集为

.

[变式解析] 依题意可得 解得-3≤x<0 或 0≤x≤1,



∴不等式|f(x) |≥ 的解集为[-3, 1].

[第 8 页 第 5 题]

(2013 青海西宁一模, 7) 已知函数 f(x) 是奇函数, 当 x> 0 时, f(x) =ax(a> 0, a≠1), 且 )

f(log0.54) =-3, 则 a 的值为( A. [答案] A B. 3 C. 9 D.

[解析] 当 x< 0 时, -x> 0, ∴f(-x) =a-x, 又 f(x) 为奇函数, ∴ f(-x) =-f(x), ∴f(x) =-a-x(x< 0). ∵log0.54=-2< 0, ∴f(log0.54) =-a2=-3, ∴a2=3. ∵a> 0, ∴a= , 选 A. ,当

[变式训练] (2012 浙江省杭州市萧山区高三 12 月月考,13,5 分)定义在 R 上的奇函数 时, [变式答案] [变式解析] ∵ 是定义在 R 上的奇函数,∴ . ,则 的值为 .

[第 8 页 第 6 题]

(2013 浙江金华调研) 设函数 f(x) =

若 f(a) < 1, 则实数 a 的取值范围是

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(

) B. (1, +∞) C. (-3,1) D. (-∞, -3) ∪(1, +∞)

A. (-∞, -3) [答案] C

[解析] 若 a< 0, 则由 f(a) < 1 得

-7< 1, 即

< 8=

, 所以-3< a< 0. 若 a≥0, 则由 f(a) < 1 得

< 1, 所以 0≤a< 1. 综上, a 的取值范围是-3< a< 1, 故选 C.

[变式训练] (2009 江苏, 10, 5 分) 已知 a= 的大小关系为 [变式答案] m<n [变式解析] ∵a= [第 8 页 第 7 题] ∈(0, 1) , ∴am>an?m<n. .

, 函数 f(x) =ax, 若实数 m、n 满足 f(m) >f(n) , 则 m、n

(2013 山东烟台调研) 已知 f(x) =ax-2, g(x) =loga|x|(a> 0, a≠1), 若 f(4) · g(-4) < 0, 则 )

y=f(x), y=g(x) 在同一坐标系内的大致图象是(

[答案] B [解析] 由 f(4) · g(-4) < 0 知 a2· loga4< 0, ∴loga4< 0, ∴0< a< 1, ∴f(x) 为减函数, 因此可排除 A、C, 而 g(x) 在 x> 0 时也为减函数, 故选 B. [变式训练] (2011 上海, 20, 12 分) 已知函数 f(x) =a· 2x+b· 3x, 其中常数 a, b 满足 ab≠0. (Ⅰ ) 若 ab>0, 判断函数 f(x) 的单调性; (Ⅱ ) 若 ab<0, 求 f(x+1) >f(x) 时的 x 的取值范围. [变式答案] (Ⅰ ) 当 a>0, b>0 时, 因为 a· 2x、 b· 3x 都单调递增, 所以函数 f(x) 单调递增;当 a<0, b<0 时, 因 为 a· 2x、b· 3x 都单调递减, 所以函数 f(x) 单调递减. (Ⅱ ) f(x+1) -f(x) =a· 2x+2b· 3x>0. (i) 当 a<0, b>0 时, (ii) 当 a>0, b<0 时, [第 8 页 第 8 题] ><, 解得 x>lo , 解得 x<lo ; .

(2013 山西四校联考(一)) 若在直角坐标平面内 M, N 两点满足: ① 点 M, N 都在函数 f(x)

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的图象上; ② 点 M, N 关于原点对称, 则称 M, N 两点是函数 f(x) 的一对“靓点”. 已知函数 f(x) = 函数 f(x) 有 [答案] 1 对“靓点”.



[解析] 作出 f(x) =

的图象, 然后作出 y=3x(x≤0) 的图象关于原点的对称图象, 可以发现其对称

图象与 y=x-3(x> 0) 的图象只有 1 个交点, 所以函数 f(x) 有 1 对“靓点”. [变式训练] (2013 年辽宁省五校协作体高三第二次模拟考试,2,5 分) 函数 象一定过点( A. (1,1) [变式答案] B [变式解析] 令 ,得 ,故函数 的图象一定过点 . ) B. (1,2) C. (2,0) D. (2, -1) 的图

[第 8 页 第 9 题] (2013 浙江杭州名校联考) 已知函数 f(x) =2x- , 函数 g(x) = 的最小值是 [答案] 0 .

则函数 g(x)

[解析] 当 x≥0 时, g(x) =f(x) =2x- 为单调增函数, 所以 g(x) ≥g(0) =0; 当 x< 0 时, g(x) =f(-x) =2-x- 为 单调减函数, 所以 g(x) > g(0) =0, 所以函数 g(x) 的最小值是 0. [变式训练] (2009 山东, 10, 5 分) 定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(x) = 009) 的值为( A. -1 [变式答案] B. 0 C ) C. 1 D. 2 则 f(2

[变式解析] 当 x>0 时, f(x) =f(x-1) -f(x-2) , 此时 f(x+1) =f(x) -f(x-1) , 两式相加得 f(x+1) =-f(x-2) , 即 f(x+3) =-f(x) , 故 f(x+6) =-f(x+3) =f(x) , 故函数周期为 6. ∴f(2 009) =f(6×334+5) =f(5) =f(-1) =log22=1. 故选 C.

[第 8 页 第 10 题] 数 a 的取值范围是 [答案] [-1,0)

(2013 浙江宁波二模, 15) 已知函数 f(x) = .

为 R 上的单调函数, 则实

[解析] 若 f(x) 在 R 上单调递增, 则有

此不等式组无解; 若 f(x) 在 R 上单调递减, 则有

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解得-1≤a< 0. 综上, 实数 a 的取值范围是[-1,0). [变式训练] (2012 北京海淀区高三 11 月月考,2,5 分)下列函数中,在定义域内是减函数的是( )

A. [变式答案] C

B.

C.

D.

[变式解析]

函数





的图象在定义域内不是下降的, 所以 A、

B、D 均不是减函数;C 中,

的图象在定义域内是下降的,所以 C 是减函数.

[第 8 页 第 11 题] (2014 浙江东阳中学月考, 21) 设函数 f(x) =ax-(k-1) a-x(a> 0 且 a≠1) 是定义域为 R 的奇函数. (1) 求 k 的值; (2) 若 f(1) = , 且 g(x) =a2x+a-2x-2m· f(x) 在,1, +∞) 上的最小值为-2, 求 m 的值. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 由题意知, 对任意 x∈R, f(-x) =-f(x), 即 a-x-(k-1) ax=-ax+(k-1) a-x, 即(k-1) (ax+a-x) -(ax+a-x) =0, 即(k-2) (ax+a-x) =0, 因为 x 为任意实数, 所以 k=2.

(2) 由(1) 知 f(x) =ax-a-x, 因为 f(1) = , 所以 a- = , 解得 a=2 故 f(x) =2x-2-x, g(x) =22x+2-2x-2m(2x-2-x), 令 t=2x-2-x, 则 22x+2-2x=t2+2,

.

由 x∈,1, +∞), 得 t∈

,

所以 g(x) =h(t) =t2-2mt+2=(t-m) 2+2-m2, t∈

.

当 m<

时, h(t) 在

上是增函数, 则 h

=-2, 即 -3m+2=-2, 解得 m= (舍去).

当 m≥ 时, f(m) =-2, 即 2-m2=-2, 解得 m=2, 或 m=-2(舍去). 综上, m 的值是 2. [变式训练] (2014 山西太原高三模拟考试(一),3) 若函数 同时具有以下两个性质:① 是

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偶函数,② 对任意实数 x,都有

,则

的解析式可以是(

)

A. =

=

B.

=

C.

=

D.

[变式答案]

C

[变式解析]

选项 B 中,

为奇函数,故可排除;由

可知, 函



的图像关于

对称, 可排除选项 A、D;选项 C 中,

,为偶函数,且

是其一条对称轴,故选 C.

[第 8 页 第 12 题] (2014 浙江温州十校联合体期中, 20) 已知函数 f(x) = (1) 判断函数 g(x) 的奇偶性; (2) 若当 x∈(-1,0) 时, g(x) < tf(x) 恒成立, 求实数 t 的最大值. [答案] (答案详见解析)

, 函数 g(x) =2-f(-x).

[解析] (1) 由条件得 g(x) =2-

=2-

=

,

其定义域是*x∈R|x≠0+, 关于原点对称,

又 g(-x) =

=

=-

=-g(x), 故 g(x) 是奇函数.

(2) 解法一: 由 g(x) < tf(x) 得

< t·

,①

当 x∈(-1,0) 时, < 3x< 1, 所以- < 3x-1< 0,0< 3x+1-1< 2,

故① 式可化为 t<

,



=

= +

,

又 0< 3x+1-1< 2, 所以

>

, 所以 +

> 1,

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因此 g(x) < tf(x) 恒成立等价于 t≤1, 故实数 t 的最大值为 1.

解法二: 由 g(x) < tf(x) 得,

< t·

,②

当 x∈(-1,0) 时, < 3x< 1, 所以- < 3x-1< 0, 故② 式可化为 3x+1> t(3x+1-1), ③

设 3x=u, 则 u∈

,③ 式可化为(3t-1) u-t-1< 0,

设 h(u) =(3t-1) u-t-1, 则 g(x) < tf(x) 恒成立等价于 大值为 1. [变式训练] 则 = (2014 重庆七校联盟, 13) 设 .



解得 t≤1, 故实数 t 的最

为定义在 R 上的奇函数,当

时,



[变式答案] [变式解析] 则 , 令 , , ,即 ,由 ,故 为定义在 上的奇函数, . ,

[第 9 页 第 1 题]

(2014 浙江绍兴一中期中, 9) 设函数 f(x) =|logax|(0< a< 1) 的定义域为[m, n](m< n), )

值域为[0,1], 若 n-m 的最小值为 , 则实数 a 的值为( A. B. 或 C. D. 或

[答案] D [解析] f(x) =|logax|(0< a< 1) 的值域为[0,1], 所以 a≤m≤1≤n≤ , 故 1-a= 或 -1= , 所以 a= 或 . [变式训练] (2010 四川, 3, 5 分) 2log510+log50. 25=( A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 [变式答案] C [变式解析] 2log510+log50. 25=log5102+log50. 25=log5(100×0. 25) =log525=2. 故选 C. [第 9 页 第 2 题] a, b 满足的关系是( (2013 天津高三月考, 5) 已知函数 f(x) =loga(2x+b-1) (a> 0, a≠1) 的图象如图所示, 则 ) )

A. 0<

< b< 1

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B. 0< b<

<1

C. 0< < a< 1 D. 0< < <1

[答案] A [解析] 由题图知函数单调递增, 所以 a> 1. 又-1< f(0) < 0, f(0) =loga(20+b-1) =logab, 即-1< logab< 0, 所以 0< < b< 1, 故选 A. (2012 浙江绍兴一中高三十月月考,12,3 分)已知函数 ,则实数 a 的值是 ___. 2 当 ,这与值域是 时值域是 ,即 时,函数 在 上是减函数,此时值域是 时,函数 ,所以 在 ,即 上是增函数,此 .

[变式训练] 域都是 [变式答案] [变式解析]

的定义域和值

矛盾,即此时不合题意;当 ,所以

.综上所得

[第 9 页 第 3 题] 域为( )

(2013 辽宁大连一模, 7) 已知函数 f(x) =2+log2x, x∈,1,2-, 则函数 y=f(x) +f(x2) 的值

A. [4,5] [答案] B

B.

C.

D. [4,7]

[解析] y=f(x) +f(x2) =2+log2x+2+log2x2=4+3log2x, 注意到为使得 y=f(x) +f(x2) 有意义, 必有 1≤x2≤2 得 1≤x≤ [变式训练] 且 , 从而 4≤y≤ . (2012 浙江绍兴一中高三十月月考,10,3 分)已知函数 ),对于定义域内的任意两个实数 、 ,恒有



为常数, 可以

成立,则正整数

取的值有( ) A.4 个 [变式答案] B B.5 个 C.6 个 D.7 个

[变式解析]



时,设





,所以

,又

,所以

的值域是

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,所以对于定义域内的任意两个实数



,只需

即可,解得 取的值有 1,2,3,4,5,共 5 个. [第 9 页 第 4 题] A. ∈(2,3) B. (2013 浙江温州二模, 6) 已知 2a=3b=6c, 则有( ∈(3,4) C. ∈(4,5) D. ∈(5,6) )

,所以正整数

可以

[答案] C

[解析] 由条件得 a=blog23, c=blog63, 则 x=log23, 则 1< x< 2, 从而令 ∈(4,5), 故选 C.

=

=

=

=log23+

+2, 设 , 所以

=x+ +2=f(x), 又 f(x) 在区间(1,2) 上为增函数, 则有 4< f(x) <

[变式训练] (2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,8) 某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物 的含量不得超过 1%.己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸(单位:毫克/升)与过滤时间 t(单位: 小时)之间的函数关系为:P= P0e


kt,(k,P0

均为正的常数).若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被

排除了 90%.那么,至少还需( )时间过滤才可以排放.

A.

小时 C

B.

小时

c.5 小时

D.10 小时

[变式答案] [变式解析]

设原污染物数量为

,则

.由题意有 ,所以 ,

,所以 .因此至少还需

.设 小时后 小

污染物的含量不得超过 1%,则有 时过滤才可以排放. [第 9 页 第 5 题]

(2013 浙江杭州一模, 6) 设函数 f(x) =|logax|(0< a< 1) 的定义域为[m, n](m< n), 值域 )

为[0,1]. 若 n-m 的最小值为 , 则实数 a 的值为( A. B. 或 C. D. 或

[答案] C

[解析] 如图作出 f(x) =|logax|的图象, 因为 0< a< 1 时, A(a, 1), B

, 此时满足条件的(n-m)

min=min

= , 解得 a= , 经验证符合条件.

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[变式训练] 域都是 [变式答案] [变式解析]

(2012 浙江绍兴一中高三十月月考,12,3 分)已知函数 ,则实数 a 的值是 ___. 2 当 ,这与值域是 时,函数 在 上是减函数,此时值域是 时,函数 ,所以 在

的定义域和值

,即 上是增函数,此 .

矛盾,即此时不合题意;当 ,所以

时值域是

,即

.综上所得

[第 9 页 第 6 题]
2,

(2013 北京东城一模, 8) 给出下列命题: ① 在区间(0, +∞) 上, 函数 y=x-1, y= , y=(x-1)

y=x3 中有 3 个是增函数; ② 若 logm3< logn3< 0, 则 0< n< m< 1; ③ 若函数 f(x) 是奇函数, 则 f(x-1) 的图

象关于点 A(1,0) 对称; ④ 已知函数 f(x) = 个数为( A. 1 B. 2 [答案] C ) C. 3 D. 4

则方程 f(x) = 有 2 个实数根, 其中正确命题的

[解析] 命题① 中, 在(0, +∞) 上只有 y= , y=x3 为增函数, 故① 不正确; ② 中第 1 个不等式等价于 log31> log3m> log3n, 故 0< n< m< 1, ② 正确; ③ 中函数 y=f(x-1) 的图象是把 y=f(x) 的图象向右平移 1 个单位得 到的, 由于函数 y=f(x) 的图象关于坐标原点对称, 故函数 y=f(x-1) 的图象关于点 A(1,0) 对称, ③ 正确; ④ 中当 3x-2= 时, x=2+log3 < 2, 当 log3(x-1) = 时, x=1+ C. [变式训练] (2014 湖北八市高三下学期 3 月联考,8) 某工厂产生的废气经过过滤后排放,排放时污染物 的含量不得超过 1%.己知在过滤过程中废气中的污染物数量尸(单位:毫克/升)与过滤时间 t(单位: 小时)之间的函数关系为:P= P0e


> 2, 故方程 f(x) = 有 2 个实数根, ④ 正确. 故选

kt,(k,P0

均为正的常数).若在前 5 个小时的过滤过程中污染物被

排除了 90%.那么,至少还需( )时间过滤才可以排放.

A.

小时 C

B.

小时

c.5 小时

D.10 小时

[变式答案] [变式解析]

设原污染物数量为

,则

.由题意有

,所以

.设 小时后

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污染物的含量不得超过 1%,则有 时过滤才可以排放. [第 9 页 第 7 题] 的取值范围是 [答案] a> 1 或 0< a≤

,所以



.因此至少还需



(2014 浙江东阳中学月考, 16) 已知函数 f(x) =loga(ax2-x+3) 在[1,3]上是增函数, 则 a .

[解析] 当 a> 1 时, 外层函数递增, 所以要保证内层函数也要递增, 所以

?a> 1; 当 0< a< 1

时, 外层函数递减, 所以要保证内层函数也要递减, 所以

?0< a≤ , 故 a> 1 或 0< a≤ . )

[变式训练] (2012 北京海淀区高三 11 月月考,2,5 分)下列函数中,在定义域内是减函数的是(

A. [变式答案] C

B.

C.

D.

[变式解析]

函数





的图象在定义域内不是下降的, 所以 A、

B、D 均不是减函数;C 中,

的图象在定义域内是下降的,所以 C 是减函数.

[第 9 页 第 8 题] (2013 陕西西安一模) 已知函数 f(x) = 范围是 [答案] (-1,0) ∪(0,1) .

若 af(-a) > 0, 则实数 a 的取值

[解析] 若 a> 0, 则由 af(-a) > 0, 得 alo a> 0, 解得 0< a< 1; 若 a< 0, 则由 af(-a) > 0, 得 alog2(-a) > 0, 即 log2(-a) < 0, 所以 0< -a< 1, 所以-1< a< 0. 综上, 0< a< 1 或-1< a< 0. [变式训练] (2010 广东, 9, 5 分) 函数 f(x) [变式答案] (2, +∞) =lg(x-2) , ∴x-2>0, ∴x>2. [变式解析] f(x) [第 9 页 第 9 题] =lg(x-2) 的定义域是 .

(2013 浙江名校交流卷四, 16) 如图, 已知直线 l 过点 A(0,4), 交函数 y=2x 的图象于点 = , 则点 B 的横坐标为 . (结果精确到 0.01, 参考数据: lg 2≈0.301 0, lg

C, 交 x 轴于点 B, 若 3≈0.477 1)

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[答案] 3.16

[解析] 设 C(m, 2m), B(x, 0), 则

=(m, 2m-4),

=(x-m, -2m), 由

=

, 得

从而

x= ×

≈3.16. )

[变式训练] (2013 年湖北七市高三 4 月联考,4,5 分) 函数 f(x) =2x-sinx 的零点个数为( A. 1 [变式答案] A [变式解析] 递增. 又因为 因为 ,所以函数 在 上恒成立,所以函数 只有一个零点. B. 2 C. 3 D. 4



上单调

[第 9 页 第 10 题] (2014 浙江台州黄岩中学月考, 19) 已知 a> 0 且 a≠1, 函数 f(x) =loga(x+1), g(x)

=loga

, 记 F(x) =2f(x) +g(x).

(1) 求函数 F(x) 的定义域及其零点; (2) 若关于 x 的方程 F(x) -m=0 在区间[0,1) 内有解, 求实数 m 的取值范围. [答案] (答案详见解析)

[解析] (1) F(x) =2f(x) +g(x) =2loga(x+1) +loga

(a> 0 且 a≠1).



可解得-1< x< 1,

所以函数 F(x) 的定义域为(-1,1).

令 F(x) =0, 则 2loga(x+1) +loga

=0, (*)

方程变为 loga(x+1) 2=loga(1-x), 即(x+1) 2=1-x, 即 x2+3x=0, 解得 x1=0, x2=-3, 经检验 x=-3 是(*) 的增 根, 所以方程(*) 的解为 x=0, 即函数 F(x) 的零点为 0.

(2) 方程可化为 m=2loga(x+1) +loga

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=loga

=loga

,

故 am=1-x+

-4, 设 1-x=t, 则 t∈(0,1-.

又函数 y=t+ 在区间(0,1]上是减函数, 所以当 t=1 时, x=0, ymin=5, 所以 am≥1. ① 若 a> 1, 由 am≥1 可解得 m≥0, ② 若 0< a< 1, 由 am≥1 可解得 m≤0, 故当 a> 1 时, 实数 m 的取值范围为 m≥0, 当 0< a< 1 时, 实数 m 的取值范围为 m≤0. [变式训练] (2010 四川, 3, 5 分) 2log510+log50. 25=( A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 [变式答案] C [变式解析] 2log510+log50. 25=log5102+log50. 25=log5(100×0. 25) =log525=2. 故选 C. [第 9 页 第 11 题] (2013 浙江台州联考, 18) 设 f(x) =|lg x|, a, b 为实数, 且 0< a< b. (1) 求方程 f(x) =1 的解; )

(2) 若 a, b 满足 f(a) =f(b) =2f

, 求证: a· b=1,

> 1;

(3) 在(2) 的条件下, 求证: 由关系式 f(b) =2f g(b0) =0. [答案] (答案详见解析)

所得到的关于 b 的方程 g(b) =0, 存在 b0∈(3,4), 使

[解析] (1) 由 f(x) =1 得, lg x=±1, 所以 x=10 或 . (2) 证明: 结合函数图象, 由 f(a) =f(b) 可判断 a∈(0,1), b∈(1, +∞),

从而-lg a=lg b, 从而 ab=1.



=

,

令 φ(b) = +b(b∈(1, +∞)), 任取 1< b1< b2,

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∵φ(b1) -φ(b2) =(b1-b2) ∴φ(b1) < φ(b2), ∴φ(b) 在(1, +∞) 上为增函数, ∴φ(b) > φ(1) =2, ∴ > 1.

< 0,

(3) 证明: 由已知可得 b= 设 g(b) = +b2+2-4b,

, 得 4b=a2+b2+2ab, 得 +b2+2-4b=0,

易知 g(3) < 0, g(4) > 0, 根据零点存在性定理可知, 函数 g(b) 在(3,4) 内一定存在零点, 即存在 b0∈(3,4), 使 g(b0) =0. [变式训练] (2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 10) 定义函数 的,使得 ,则函数 A. [变式答案] [变式解析] B. A 根据定义,函数 ,则称函数 在 ,若存在常数 ,对任意 上的均值为 . 令 . ,存在唯一 , 的,使得 C. D. 在 ,则称函数 在 ,若存在常数 ,对任意 上的均值为 ,已知 )

,存在唯一

上的均值为(



时,选定

可得,

[第 10 页 第 1 题] (2014 浙江宁波重点中学期中, 10) 对实数 a 和 b, 定义运算“?”: a?b=



函数 f(x) =(x2-2) ?(x-1), x∈R. 若函数 y=f(x) -c 的图象与 x 轴恰有两个公共点, 则实数 c 的取值范围是 ( ) B. (-2, -1-∪(1,2C. (-∞, -2) ∪(1,2D. [-2, -1] A. (-1,1-∪(2, +∞) [答案] B

[解析] 由题意知 f(x) =

画出函数 f(x) 的图象如图所示, 若 y=f(x) -c 的图象与 x 轴恰

有两个公共点, 即 f(x) 的图象与直线 y=c 有两个公共点, 则 c∈(-2, -1-∪(1,2-.

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[变式训练] (2010 湖南, 8, 5 分) 用 min{a, b}表示 a, b 两数中的最小值. 若函数 f(x) =min{|x|, |x+t|}的图 象关于直线 x=- 对称, 则 t 的值为( A. -2 B. 2 C. -1 ) D. 1

[变式答案] 11. [变式解析] 令 g1(x) =|x|, g2(x) =|x+t|, ∴g2(x) 可由 g1(x) 平移得出, 由 f(x) =min{|x|, |x+t|}, 得 f(x) 图象如图所示,

∴f(x) 的图象关于直线 x=- 对称, ∴- =- , ∴t=1, ∴D 正确.

[第 10 页 第 2 题] (2014 浙江宁海正学中学阶段测试, 10) 函数 f(x) = (n∈Z) 的图象不可能是(

)

[答案] B

[解析] n 为奇数时, f(-x) =

=

=-ex· xn;

n 为偶数时, f(-x) =

=ex· xn.

由以上知, 无论 n 为何值, f(x) 非奇非偶, 故 B 项不正确.

[变式训练] (2013 四川,7,5 分)函数 y=

的图象大致是(

)

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[变式答案] C [变式解析] 由已知 3x-1≠0?x≠0, 排除 A; 又∵x< 0 时, 3x-1< 0,

x3< 0, ∴y= 选 C.

> 0, 故排除 B; 又 y' =

, 当 3-xln 3< 0 时, x>

> 0, y' < 0, 所以 D 不符合. 故

[第 10 页 第 3 题] (2014 湖南醴陵四校联考) 已知函数 y=f(x) 的图象如图所示, 则函数 y=f(|x|) 的图 象为( )

[答案] B [解析] 先将 y=f(x) 的图象 y 轴右侧部分保持不变, 再将 y 轴右侧图象关于 y 轴对称从而得到 y=f(|x|) 的 图象, 故答案为 B. [变式训练] (2012 河南省毕业班模拟,4,5 分)函数 的图象的大致形状是( )

[变式答案] D [变式解析] 限且在直线 解法一 , ,由于 ,则函数图像上的点 在第三象限且在直线 在第一象 的下

的下方,排除选项 A 和 B;函数图像上的点

方,排除选项 C,故选 D.解法二用分段函数表示函数



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,画出图象知 D 正确.

[第 10 页 第 4 题] x2-x

(2013 浙江金丽衢十二校二模, 8) 对数函数 y=logax(a> 0 且 a≠1) 与二次函数 y=(a-1) )

在同一坐标系内的图象可能是(

[答案] A

[解析] 二次函数图象的对称轴方程为 x= 称轴在 y 轴左侧, 排除 C, D. 故选 A. [变式训练]

, 当 a> 1 时, 对称轴在 y 轴右侧, 排除 B; 当 0< a< 1 时, 对

(2014 陕西宝鸡高三质量检测(一), 10) 定义函数 的,使得 ,则函数 在 D. ,则称函数 在

,若存在常数 ,对任意 上的均值为 ,已知 )

,存在唯一

上的均值为(

A. [变式答案] [变式解析]

B. A

C.

根据定义,函数 ,则称函数 在

,若存在常数 ,对任意 上的均值为 . 令 .

,存在唯一 ,

的,使得



时,选定

可得,

[第 10 页 第 5 题] (2013 湖南长沙调研) 函数 y=

(0< a< 1) 图象的大致形状是(

)

[答案] D

[解析] y=

=

又 0< a< 1, ∴函数在(0, +∞) 上是减函数, 在(-∞, 0) 上是增函数, 故选 D.

[变式训练] (2013 四川,7,5 分)函数 y=

的图象大致是(

)

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[变式答案] C [变式解析] 由已知 3x-1≠0?x≠0, 排除 A; 又∵x< 0 时, 3x-1< 0,

x3< 0, ∴y= 选 C.

> 0, 故排除 B; 又 y' =

, 当 3-xln 3< 0 时, x>

> 0, y' < 0, 所以 D 不符合. 故

[第 10 页 第 6 题] (2013 浙江湖州二模, 8) 设 f(x) 为定义在 R 上的奇函数, 且 x> 0 时, f(x) = 数 F(x) =f(x) -sin x 在[-π, π-上的零点个数为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 [答案] D )

, 则函

[解析] 在同一坐标系内分别作出 y=f(x), y=sin x 在区间[-π, π-内的图象, 可知在(-π, 0), (0, π) 上各有 2 个 交点, 又 sin 0=f(0) =0, 即 x=0 也为函数的零点, 故函数 y=f(x) -sin x 在[-π, π-上共有 5 个零点, 故选 D. [变式训练] (2014 江西七校高三上学期第一次联考, 3) 函数 ,若

,则 A. 2018 B. -2009 C. 2013 D. -2013 [变式答案] [变式解析] C





, 函数

是偶函数,

.

[第 10 页 第 7 题] (2013 浙江名校交流卷三, 8) 已知函数 f(x) =ln

-2(x> 0), g(x) 和 f(x) 的图象

关于原点对称, 将函数 g(x) 的图象向右平移 a(a> 0) 个单位, 再向下平移 b(b> 0) 个单位, 若对于任意的 a, 平移后 g(x) 和 f(x) 的图象最多有一个交点, 则 b 的最小值为( A. B. 1 C. 2 D. 4 )

[答案] C [解析] f(x) ≥ln e-2=-1, ∴f(x) min=-1, 此时 x= . 在同一直角坐标系中作出 f(x), g(x) 的大致图象, 如图,

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若对于任意的 a, 平移后 g(x) 和 f(x) 的图象最多有一个交点, 则平移后 g(x) 图象的最高点不能在 f(x) 图 象的最低点的上方, 则 1-b≤-1, 则 b 的最小值为 2, 故选 C.

[变式训练]

(2014 北京东城高三 12 月教学质量调研) 设 ,则 = .

是周期为 2 的奇函数,当

时,

[变式答案] [变式解析] 是周期为 2 的奇函数, , . , 又当 时, ,

[第 10 页 第 9 题] (2013 安徽黄山联考) 如图, 当直线 l: y=x+t 从虚线位置开始, 沿图中箭头方向平行 匀速移动时, 正方形 ABCO 位于直线 l 下方(图中阴影部分) 的面积记为 S, 则 S 与 t 的函数图象大致是( )

[答案] B [解析] 设正方形的边长为 a, 则当-a≤t≤0 时, S= (t+a) 2, 当 0< t≤a 时, S=a2- (a-t) 2, 当 t> a 时, S=a2, 因 此选项 B 的图象符合. [变式训练] (2007 广东, 4, 5 分) 客车从甲地以 60 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达乙地, 在乙地停 留了半小时, 然后以 80 km/h 的速度匀速行驶 1 小时到达丙地. 下列描述客车从甲地出发, 最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间关系的图象中, 正确的是( ) 经过乙地,

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[变式答案]

C

[变式解析] 图象为经过(0, 0) , (1, 60) , (1. 5, 60) , (2. 5, 140) 的三段折线, 故选 C. [第 10 页 第 8 题] 析式应为( ) (2013 山东东营 5 月, 5) 已知函数 y=f(x) 的大致图象如图所示, 则函数 y=f(x) 的解

A. f(x) =exln x B. f(x) =e-xln(|x|) C. f(x) =exln(|x|) D. f(x) =e|x|ln(|x|) [答案] C [解析] 如题图, 函数定义域是*x|x≠0+, 排除选项 A, 当 x→-∞时, f(x) →0, 排除选项 B, D, 因此选 C. [变式训练] (2013 年广东省广州市高三 4 月综合测试, 4, 5 分) 已知函数 则其导函数 的图象可能是( ) 的图象如图所示,

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[变式答案] A [变式解析] 那么,导函数 符合. 由函数 的图象可知,单调性是呈“递增 的图象应呈“正 负 正 递减 递增 递减” 的趋势变化,

负” 的趋势变化,观察四个选项,发现只有 A 项

[第 10 页 第 10 题] (2013 福建泉州一模, 14) 定义在 R 上的函数 f(x) = 为常数) 恰有三个不同的实数根 x1, x2, x3, 则 x1+x2+x3= [答案] 0 .

关于 x 的方程 y=c(c

[解析] 函数 f(x) 的图象如图, 方程 f(x) =c 有三个根, 即 y=f(x) 与 y=c 的图象有三个交点, 易知 c=1, 且 一根为 0, 由 lg|x|=1 知另两根为-10 和 10, ∴x1+x2+x3=0.

[变式训练] A. 4 [变式答案] C

(2012 湖北,9,5 分)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为( B. 5 C. 6 D. 7

)

[变式解析] ∵x∈,0,4-,∴x2∈,0,16-,∴x2=0, , ∴f(x)的零点个数为 6,故选 C.

,

,

,

,都是 f(x)的零点,此时 x 有 6 个值.

[第 10 页 第 11 题] (2013 山东泰安模拟) 直线 y=1 与曲线 y=x2-|x|+a 有四个交点, 则 a 的取值范围 是 .

[答案] 1< a< [解析] y=x2-|x|+a 是偶函数, 图象如图所示.

由图可知 y=1 与 y=x2-|x|+a 有四个交点, 需满足 a- < 1< a, ∴1< a<

.

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[变式训练] (2007 湖南, 6, 5 分) 函数 f(x) = 数是( A. 4 [变式答案] ) B. 3 B C. 2 D. 1

的图象和函数 g(x) =log2x 的图象的交点个

[变式解析] 由图可知 f(x) 与 g(x) 的图象有 3 个交点. 故选 B.

[第 11 页 第 12 题] (2013 广西南宁高三月考) 设函数 f(x) = (1) 求 m 的值;

的图象关于点(1,1) 对称.

(2) 若直线 y=a(a∈R) 与 f(x) 的图象无公共点, 且 f [答案] (答案详见解析)

< 2a+f(4a), 求实数 t 的取值范围.

[解析] (1) 在 f(x) 的图象上取点(0, -2), 点(0, -2) 关于点(1,1) 的对称点为(2,4), 由题设知点(2,4) 在

f(x) 的图象上, ∴

=4, 解得 m=1.

(2) 由(1) 得 f(x) =

=1+

,

∴f(x) 的值域为*y|y≠1, y∈R}. ∵直线 y=a 与 f(x) 的图象无公共点, ∴a=1,

∴f

< 2+f(4) =4,

即 1+ ∴t> 或 t<

< 4, 整理得|t-2|> , . )

[变式训练] (2012 安徽,2,5 分)下列函数中,不满足 f(2x)=2f(x)的是( A.f(x)=|x| [变式答案] C B.f(x)=x-|x| C.f(x)=x+1 D.f(x)=-x

[变式解析] 验证 C, f(x)=x+1.∵f(2x)=2x+1,2f(x)=2x+2,∴f(2x)≠2f(x),即 f(x)=x+1 不满足 f(2x)=2f(x),故 选 C.

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[第 11 页 第 13 题] (2013 新疆乌鲁木齐高三月考) 已知函数 f(x) =loga(x+1), 函数 y=g(x) 的图象上任 意一点 P 关于原点的对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x) 的图象. (1) 写出 g(x) 的解析式; (2) 若 a> 1, x∈,0,1) 时, 总有 F(x) =f(x) +g(x) ≥m 成立, 求实数 m 的取值范围. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 设 P(x, y) 是函数 y=g(x) 图象上的任意一点, 则 P 关于原点的对称点 Q 的坐标为(-x, -y). ∵已知点 Q 在函数 f(x) 的图象上, ∴-y=f(-x), 而 f(x) =loga(x+1), ∴-y=loga(-x+1), ∴y=-loga(-x+1), 而 P(x, y) 是函数 y=g(x) 图象上的点,

∴y=g(x) =-loga(-x+1) =-loga(1-x) =loga (2) 当 x∈,0,1) 时,

.

f(x) +g(x) =loga(x+1) +loga

=loga

,

下面求当 x∈,0,1) 时, f(x) +g(x) 的最小值,



=t, 则 x=

,

∵x∈,0,1), 即 0≤

< 1, 解得 t≥1,



≥1.

又 a> 1, ∴loga ∴f(x) +g(x) ≥0,

≥loga1=0,

∴当 x∈,0,1) 时, f(x) +g(x) 的最小值为 0. ∵当 x∈,0,1) 时, 总有 f(x) +g(x) ≥m 成立, ∴m≤0, ∴所求 m 的取值范围为(-∞, 0-. [变式训练] (2014 广东汕头普通高考模拟考试试题, 12) 设 是周期为 2 的奇函数, 当

时,

, 则

___________.

[变式答案]

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[变式解析]

由周期是 2 得

,由

是奇函数得

,所



.

[第 12 页 第 1 题] A. 2 或-7 [答案] A

(2014 浙江淳安中学期中, 10) 已知定义在 R 上的函数 f(x) 的对称轴为直线 x=-3, 且 ) C. 1 或-7 D. 1 或-8

当 x≥-3 时, f(x) =2x-3. 若函数 f(x) 在区间(k-1, k) (k∈Z) 上有零点, 则 k 的值为( B. 2 或-8

[解析] 当 x≥-3 时, 令 f(x) =0?2x-3=0?x=log23∈(1,2), 又因为函数 f(x) 的对称轴为直线 x=-3, 所以 x=-6-log23∈(-8, -7) 也是函数的零点, 故选 A. [变式训练] (2013 年湖北七市高三 4 月联考,4,5 分) 函数 f(x) =2x-sinx 的零点个数为( A. 1 [变式答案] A [变式解析] 递增. 又因为 因为 ,所以函数 在 上恒成立,所以函数 只有一个零点. 在 上单调 B. 2 C. 3 D. 4 )

[第 12 页 第 2 题] (2013 浙江名校交流卷五, 8) 函数 f(x) 在[0,4]上的图象是连续不断的曲线, 则函数 f(x) 在(0,4) 上有且仅有一个零点是 f(0) · f(4) < 0 的( A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 [答案] D [解析] 函数 f(x) 在(0,4) 上有且仅有一个零点, 不能推出 f(0) · f(4) < 0, 如 f(x) =(x-2) 2, 显然, 函数 f(x) 在[0,4]上的图象是连续不断的曲线, 且在(0,4) 上有且仅有一个零点, 但 f(0) · f(4) > 0; 又如 f(x) =(x-1) (x-2) (x-3), 函数 f(x) 在[0,4]上的图象是连续不断的曲线, 且 f(0) · f(4) < 0, 但函数 f(x) 在(0,4) 上有 3 个零点, 故选 D. [变式训练] (2012 山东省规范化学校高三 11 月月考, 4,5 分)函数 ) C.3 D.4 在区间 )

上的零点个数为( A.1 [变式答案] B.2 B

[变式解析]

设函数 和

,函数 的图像,如图所示.由图知,函数 和

,在同一平面直角坐 的图像有两个交点,所以函

标系中画出函数 数 有两个零点.

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[第 12 页 第 3 题]

(2013 浙江湖州联考) 已知偶函数 f(x) 的周期为 2, 且当 x∈,0,1-时, f(x) =2x, 如果在 )

区间[-1,3]内, 函数 F(x) =f(x) -kx-k-2(k∈R 且 k≠-2) 有 4 个不同的零点, 则 k 的取值范围是(

A. [答案] D

B. (-1,0)

C.

D.

[解析] ∵f(x) 是偶函数, ∴x∈,-1,0]时, f(x) =-2x, 又 f(x) 是以 2 为周期的函数, 可作出函数 f(x) 在[-1,3]上 的图象(如图).

令 F(x) =0, 即 f(x) =k(x+1) +2, 设 y=k(x+1) +2, 表示过点 C(-1,2) 的直线, 则 kBC=- , kCA=0, 当直线 y=k(x+1) +2 与线段 AB(不包括端点) 有交点时, 原函数 F(x) 有四个零点, ∴- < k< 0, 故选 D.

[变式训练] (2010 重庆, 15, 5 分) 已知函数 f(x) 满足:f(1) = , 4f(x) f(y) =f(x+y) +f(x-y) (x, y∈R) , 则 f(2 010) = [变式答案] [变式解析] 解法一:当 x=1, y=0 时, f(0) = ;当 x=1, y=1 时, f(2) =- ;当 x=2, y=1 时, f(3) =- ;当 x=2, y=2 时, f(4) =- ;当 x=3, y=2 时, f(5) = ;当 x=3, y=3 时, f(6) = ;当 x=4, y=3 时, f(7) = ;当 x=4, y=4 时, f(8) =- ;…. ∴f(x) 是以 6 为周期的函数, ∴f(2 010) =f(0+335×6) =f(0) = . 解法二:∵f(1) = , 4 f(x) · f(y) =f(x+y) +f(x-y) , .

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∴构造符合题意的函数 f(x) = cos x, ∴f(2 010) = cos = .

[第 12 页 第 4 题]

(2013 北京东城期末) 已知 f(x) 是定义在 R 上且以 3 为周期的奇函数, 当 x∈ )

时,

f(x) =ln(x2-x+1), 则函数 f(x) 在区间[0,6]上的零点个数是( A. 3 B. 5 C. 7 D. 9 [答案] C

[解析] 令 f(x) =0, 即 x2-x+1=1, 得 x=0, 或 x=1, 在 x∈

上函数有零点 x=1, 由于 f(x) 是 R 上的奇

函数, ∴x=-1, x=0 都是函数的零点. ∵f(x) 是以 3 为周期的函数, ∴x=2,3, 4,5, 6 也是 f(x) 的零点, ∴在区间[0,6] 上函数 f(x) 有 7 个零点. 故选 C. [变式训练] ( ) (2014 重庆五区高三第一次学生调研抽测,3) 函数 的零点所在区间是

A.

B. C. D. [变式答案] [变式解析] B 在 上单调递增,又



,所以选 B.

[第 12 页 第 5 题] (2013 河北衡水 5 月, 7) 已知函数 f(x) =ex+x, g(x) =ln x+x, h(x) =ln x-1 的零点依次 为 a, b, c, 则( A. a< b< c [答案] A [解析] ∵ea=-a, ∴a< 0, ∵ln b=-b, 且 b> 0, ∴0< b< 1. ∵ln c=1, ∴c=e> 1, 故选 A. [变式训练] (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),13) 若关于 的方程 . 有四个不同的实 ) B. c< b< a C. c< a< b D. b< a< c

数根,则 的取值范围是

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[变式答案] [变式解析] 当 由方程 有四个不同的实数根, 有三个不同的实根,即函数 是其中 1 个根, 与 应有 3 个不同的交点,如图,

时,方程

显然不成立,当 只需 与

时,



的图象有一个交点,

的图象有 2 个交点即可,

联立方程组 解得 即当 或 时,

,消去 得 (舍去), 与 .

,由



的图象有 2 个交点,

综上所述, 的取值范围是

[第 12 页 第 6 题] (2013 河南新乡二模, 12) 设函数 f(x) =x4-ax(a> 0) 的零点都在区间[0,5]上, 则函数 g(x) = 与函数 h(x) =x3-a 的图象的交点的横坐标为正整数时, 实数 a 的取值有( A. 3 个 [答案] B [解析] 令 f(x) =x4-ax=x(x3-a) =0, 解得 x=0 或 x= 则有 0< , 即函数的零点有两个, 要使零点都在区间[0,5]上, B. 4 个 C. 5 个 D. 无穷个 )

≤5, 解得 0< a≤125. 由 h(x) =g(x) 得 x3-a= , 即 x4-ax=1 有正整数解. 设 m(x) =x4-ax, 当

x=1 时, m(1) =1-a=1, 解得 a=0, 不成立. 当 x=2 时, m(2) =24-2a=16-2a=1, 解得 a= < 125 成立. 当 x=3 时, m(3) =34-3a=81-3a=1, 解得 a= < 125 成立. 当 x=4 时, m(4) =44-4a=256-4a=1, 解得 a= 125 成立. 当 x=5 时, m(5) =54-5a=625-5a=1, 解得 a= 296-6a=1, 解得 a= < 125 成立. 当 x=6 时, m(6) =64-6a=1 <

> 125, 不成立. 所以满足条件的实数 a 的取值共有 4 个. 故选 B.

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[变式训练] (2013 年湖北七市高三 4 月联考,4,5 分) 函数 f(x) =2x-sinx 的零点个数为( A. 1 [变式答案] A [变式解析] 递增. 又因为 因为 ,所以函数 在 上恒成立,所以函数 只有一个零点. B. 2 C. 3 D. 4

)



上单调

[第 12 页 第 7 题] (2014 浙江台州中学统练, 16) 已知函数 f(x) = =a(a∈R) 至少有一个实数解, 则实数 k 的取值范围是 [答案] -1≤k< 0 .

若方程 f(x)

[解析] 因为 x∈(-3,1) 时, f(x) =log2(x+3) ∈(-∞, 2), 所以要保证方程 f(x) =a(a∈R) 至少有一个实数解, 需

当 x≥1 时, 函数 f(x) =1-kx 的函数值要取遍,2, +∞) 内的数, 所以要满足

?-1≤k< 0.

[变式训练] (2012 江西省南昌市第二次模拟, 13,5 分) 已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数, 如[1.8]=1, [-1.2]=-2. [变式答案] [变式解析] 函数 的定义域是 , ,所以函数 在 上是 是函数 的零点,则 等于______.

增函数.又



, 所



,所以函数

的唯一零点

,所以

.

[第 12 页 第 8 题] (2013 山东济南调研, 16) 已知 f(x) =|2x-1|, f1(x) =f(x), f2(x) =f(f1(x)), …, fn(x) =f(fn-1(x)), 则函数 y=f4(x) 的零点个数为 [答案] 8 [解析] f4(x) =|2f3(x) -1|的零点, 即 f3(x) = 的零点, 即|2f2(x) -1|= 的零点, 即 f2(x) = , -1|= , 的零点, 即 f(x) = , , , 的零点, 即|2f(x) .

的零点, 显然对于上述每个数值各有两个零点, 故共有 8 个零点. )

[变式训练] A. 4 [变式答案] C

(2012 湖北,9,5 分)函数 f(x)=xcos x2 在区间[0,4]上的零点个数为( B. 5 C. 6 D. 7

[变式解析] ∵x∈,0,4-,∴x2∈,0,16-,∴x2=0, , ∴f(x)的零点个数为 6,故选 C.

,

,

,

,都是 f(x)的零点,此时 x 有 6 个值.

[第 13 页 第 1 题] (2014 浙江镇海中学期初测试, 9) 设 f(x) 的定义域为 D, 若 f(x) 满足下面两个条件,

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则称 f(x) 为闭函数. ① f(x) 在 D 内是单调函数; ② 存在,a, b-?D, 使 f(x) 在[a, b]上的值域为[a, b]. 如果 f(x) = +k 为闭函数, 那么 k 的取值范围是( B. ≤k< 1 C. k> -1 D. k< 1 )

A. -1< k≤[答案] A

[解析] 因为 f(x) =

+k 为闭函数, 且易知 f(x) 是单调递增函数, 所以 +k=x 有两个不相同的实数根. 令 t=

+k=a, 且 , t≥0, 所以

+k=b, 可转化为方程

k= t2-t- = (t-1) 2-1, 即 y=k 与 y= (t-1) 2-1 的图象有两个不同的交点, 所以-1< k≤- , 故选 A. [变式训练] A. 若 B. 若 C. 若 D. 若 [变式答案] A [变式解析] 因为 在 ,所以若 法排除. 是增函数,所以若 ,则 ,则 ,所以 (2014 北京东城高三第二学期教学检测,8) 设 , . 则( )

,则 ,则 ,则 ,则

,所以 A 正确,其余用同样方

[第 13 页 第 2 题] 范围是( )

(2013 河北保定调研) 对于任意的 x1∈

, x2∈

,

< logax2 恒成立, 则 a 的取值

A. [答案] A

B.

C. (1,

)

D. (

, 2)

[解析] 因为对于任意的 x1∈

, x2∈

,

< logax2 恒成立, 所以 < logax2 恒成立, 即 2< logax2 恒成

立, 则需 0< a< 1, 所以 2< loga , 所以 < a< 1, 故选 A.

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[变式训练] (2009 江苏, 10, 5 分) 已知 a= 的大小关系为 [变式答案] m<n [变式解析] ∵a= ∈(0, 1) , ∴am>an?m<n. .

, 函数 f(x) =ax, 若实数 m、n 满足 f(m) >f(n) , 则 m、n

[第 13 页 第 3 题] (2013 山西临汾一模, 11) 某家具的标价为 132 元, 若降价以九折出售(即优惠 10%), 仍可获利 10%(相对进货价), 则该家具的进货价是( A. 118 元 [答案] D [解析] 设进货价为 a 元, 由题意知 132×(1-10%) -a=10%· a, 解得 a=108, 故选 D. [变式训练] (2007 上海, 18, 14 分) 近年来, 太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳电池的年 生产量达到 670 兆瓦, 年生产量的增长率为 34%. 以后四年中, 年生产量的增长率逐年递增 2%(如, 2003 年的年生产量的增长率为 36%) . (Ⅰ ) 求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0. 1 兆瓦) ; (Ⅱ ) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量, 2006 年的实际安装量为 1 420 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%, 到 2010 年, 要使年安装量与年生产量基本 持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) , 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 (结果精确到 0. 1%) ? [变式答案] (Ⅰ ) 由已知得 2003, 2004, 2005, 2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%, 38%, 40%, 42%. 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670×1. 36×1. 38×1. 40×1. 42≈2 499. 8(兆瓦) . (Ⅱ ) 设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x, 则 ≥95%. 解得 x≥0. 615. 因此, 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61. 5%. [第 13 页 第 4 题] (2013 湖北三校联考(二)) 某城市 2002 年底人口为 500 万, 人均住房面积为 6 平方 米, 如果该城市人口平均每年的增长率为 1%. 为使 2012 年底该城市人均住房面积增加到 7 平方米, 平均 每年新增住房面积至少为(1.0110≈1.104 5) ( A. 90 万平方米 [答案] B [解析] 到 2012 年底该城市人口有 500×(1+1%) 10 万, 则为使 2012 年该城市人均住房面积增加到 7 平方 B. 87 万平方米 ) D. 80 万平方米 C. 85 万平方米 B. 105 元 C. 106 元 D. 108 元 )

米, 平均每年新增住房面积至少为

≈87(万平方米).

[变式训练] (2007 上海, 18, 14 分) 近年来, 太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳电池的年 生产量达到 670 兆瓦, 年生产量的增长率为 34%. 以后四年中, 年生产量的增长率逐年递增 2%(如, 2003 年的年生产量的增长率为 36%) . (Ⅰ ) 求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0. 1 兆瓦) ; (Ⅱ ) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量, 2006 年的实际安装量为 1 420 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%, 到 2010 年, 要使年安装量与年生产量基本

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持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) , 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 (结果精确到 0. 1%) ? [变式答案] (Ⅰ ) 由已知得 2003, 2004, 2005, 2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%, 38%, 40%, 42%. 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670×1. 36×1. 38×1. 40×1. 42≈2 499. 8(兆瓦) . (Ⅱ ) 设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x, 则 ≥95%. 解得 x≥0. 615. 因此, 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61. 5%. [第 13 页 第 5 题] (2013 浙江金华十校联考(一)) 如图, 有一直角墙角, 两边的长度足够长, 在 P 处有一

棵树与两墙的距离分别是 a m(0< a< 12) 、4 m, 不考虑树的粗细. 现在想用 16 m 长的篱笆, 借助墙角围 成一个矩形的花圃 ABCD, 设此矩形花圃的面积为 S m2, S 的最大值为 f(a). 若将这棵树围在花圃内, 则函数 u=f(a) 的图象大致是( )

[答案] C [解析] 设矩形花圃的长为 x m(a≤x< 12), 则此矩形花圃的面积 S(x) =x(16-x) =64-(x-8) 2, ① 当 0< a≤8 时, S(x) max=S(8) =64; ② 当 8< a< 12 时, S(x) max=S(a) =64-(a-8) 2,

故 u=f(a) =

故函数 u=f(a) 的图象大致是 C.

[变式训练] (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,18) 某种特色水果每年的上式时间从 4 月 1 号开 始仅能持续 5 个月的时间. 上式初期价格呈现上涨态势,中期价格开始下跌,后期价格在原价格基础上继 续下跌. 现有三种价格变化的模拟函数可选择:① 其中 号, 由; (Ⅱ )对(Ⅰ )所选的函数 ,若 , ,记 ,经过多年的统计发 均为常数且 ,依次类推, (注: 表示上式时间, ). ;② 表示价格,记 ;③ 表示 4 月 1 号, , 表示 5 月 1

(Ⅰ )在上述三种价格模拟函数中,哪个更能体现该种水果的价格变动态势,请你选择,并简要说明理

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现,当函数 号?

取得最大值时,拓展外销市场的效果最为明显,请预测明年拓展外销市场的时间是几月 1

[变式答案] 查看解析 [变式解析] 解析 (Ⅰ )根据题意,该种水果的价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减,基本符合 , (4 分)

开口向下的二次函数的变化趋势,故应选择②

(Ⅱ )由

, ,

,代入

得 , (8 分)

,解得

,即

,当且仅当 故明年拓展外销的事件应为 6 月 1 号.

即 (12 分)

时取等号.

[第 13 页 第 6 题] (2014 江西景德镇质检, 14) 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x-4) =-f(x), 且 x∈,0,2-时, f(x) =log2(x+1), 有下列四个结论: ① f(3) =1; ② 函数 f(x) 在[-6, -2]上是增函数; ③ 函数 f(x) 关于直线 x=4 对称; ④ 若 m∈(0,1), 则关于 x 的方程 f(x) -m=0 在[-8,8]上所有根之和为-8. 其中正确的是 [答案] ① ④ [解析] 取 x=1 得, f(1-4) =-f(1) =-log22=-1, 所以 f(3) =-f(-3) =1, ① 正确; 定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x-4) =-f(x), 则 f(x-4) =f(-x), ∴f(x-2) =f(-x-2), ∴函数 f(x) 关于直线 x=-2 对称, 故③ 不正确; ∵f(x) 是奇函 数, 且 x∈,0,2-时, f(x) =log2(x+1), ∴x∈,-2,2]时, 函数为增函数, ∵函数 f(x) 关于直线 x=-2 对称, ∴函数 f(x) 在[-6, -2]上是减函数, 故② 不正确; 若 m∈(0,1), 则关于 x 的方程 f(x) -m=0 在[-8,8]上有 4 个根, 其中两根 的和为-6×2=-12, 另两根的和为 2×2=4, 所以所有根之和为-8, 故④ 正确, 答案为① ④ . (写出所有正确命题的序号).

[变式训练]

(2014 重庆杨家坪中学高三下学期第一次月考,10) 设函数

, 对任意

恒成立, 则实数 A. [变式答案] C B. C.

的取值范围是( D.



[变式解析]

因为函数

,对任意

恒成立,

即 若 此时函数 ,则 在

恒成立, 上是增函数,不恒小于 0,故 时恒成立,

, ,

为减函数,只需当

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,解得

.

[第 13 页 第 7 题] (2013 湖南岳阳调研) 关于函数 f(x) =lg ① 其图象关于 y 轴对称; ② 当 x> 0 时, f(x) 是增函数; 当 x< 0 时, f(x) 是减函数; ③ f(x) 的最小值是 lg 2; ④ f(x) 在区间(-1,0) 、(2, +∞) 上是增函数; ⑤ f(x) 无最大值, 也无最小值. 其中所有正确结论的序号是 [答案] ① ③ ④ .

(x≠0), 有下列命题:

[解析] 根据已知条件可知 f(x) =lg

(x≠0) 为偶函数, 显然利用偶函数的性质可知命题① 正确; 对真数

部分分析可知最小值为 2, 因此命题③ 成立; 利用复合函数的性质可知命题④ 成立; 命题② 显然错误; 命题⑤ 中, 函数有最小值, 因此错误, 故填写① ③ ④ . [变式训练] (2012 湖北省黄冈中学高三 11 月月考,14,5 分)已知函数 上的奇函数,则 [变式答案] [变式解析] -1 由题意得 ,即 ,解得 ,或 .当 _______. 是定义在区间

时,函数即



,此时当

时,

无意义,即此时不合题意;当 ,∴函数 .

时,函数 奇函数,所以

, 符合题意,∴

,此时



[第 13 页 第 8 题] 吨. [答案] 20

(2013 安徽合肥二模, 13) 某公司一年分几次总共购买某种货物 400 吨, 每次都购买 x

吨, 运费为 4 万元/次, 一年的总存储费用为 4x 万元, 要使一年的总运费与总存储费用之和最小, 则 x 为

[解析] 由题意得某公司每年购买次数为 即 x=20 时等号成立.

次, 所以总费用为

·4+4x≥2

=160, 当且仅当

=4x,

[变式训练] (2013 年四川成都市高新区高三 4 月月考, 14,5 分) 若不等式 恒成立,则实数 的取值范围是



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[变式答案] [变式解析] 由已知得 .设

,令 ,设

,则 ,则



,即

时, 所以 . 即实数 的取值范围



. (2013 福建厦门质检, 14) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3 860 万元, 预测六月

[第 13 页 第 9 题]

份销售额为 500 万元, 七月份销售额比六月份递增 x%, 八月份销售额比七月份递增 x%, 九、十月份销售 总额与七、八月份销售总额相等. 若一月份至十月份销售总额至少达 7 000 万元, 则 x 的最小值 是 [答案] 20 [解析] 七月份的销售额为 500(1+x%) 万元, 八月份的销售额为 500(1+x%) 2 万元, 则一月份到十月份的 销售总额是 3 860+500+2[500(1+x%) +500(1+x%) 2]万元. 根据题意有 3 860+500+2[500(1+x%) +500(1+x%) 2-≥7 000, 即 25(1+x%) +25(1+x%) 2≥66. 令 t=1+x%, 则 25t2+25t-66≥0, 解得 t≥ 或 t≤- (舍去), 故 1+x%≥ , 解得 x≥20. [变式训练] (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),19) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一 , , 其中 和 分别表示该产品在两个市场上 .

种商品,两个市场的需求函数分别是 的价格(单位:万元/吨), 和 (Ⅰ )试用 和 该企业生产这种产品的总成本函数是

分别表示该产品在两个市场上的销售量(即需求量,单位:吨),并且 ,其中 表示该产品在两个市场的销售总量,即

表示总利润,确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润; 的条件下,推算该企业可能获得的最大利润(取一位小数)

(Ⅱ ) 在两地价格差别满足 [变式答案] 查看解析 [变式解析] (Ⅰ )设总利润为

,那么利润函数

将利润函数变形为 当 (Ⅱ ) 由 令 由实际意义知 , 、 、 、 ,得 都为正数得 , 时,即 (万元), 得

, (万元)企业获得最大利润 52 万元. (6 分) ,

, ,

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又 化简得:



即 , (8 分) 的圆心 到





的距离



所以 实际上

,即 取一位小数 49.9(万元).

, (13 分)

(利用直线与椭圆相切同样可得分) [第 13 页 第 10 题] (2014 浙江杭州七校联考) 新晨投资公司拟投资开发某项新产品, 市场评估能获得 10~1 000 万元的投资收益. 现公司准备制定一个对科研课题组的奖励方案: 奖金 y(单位: 万元) 随投资收 益 x(单位: 万元) 的增加而增加, 且奖金不低于 1 万元, 同时不超过投资收益的 20%. (1) 设奖励方案的函数模型为 f(x), 试用数学语言表述公司对奖励方案的函数模型 f(x) 的基本要求; (2) 下面是公司预设的奖励方案的函数模型: f(x) = +2.

试分析该函数模型是否符合公司要求. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 由题意知, 公司对奖励方案的函数模型 f(x) 的基本要求: 当 x∈,10,1 000-时, ① f(x) 是增函数; ② f(x) ≥1 恒成立; ③ f(x) ≤ 恒成立. (2) 对于函数模型 f(x) = 而若使函数 f(x) = +2, 当 x∈,10,1 000]时, f(x) 是增函数, 则 f(x) ≥1 显然恒成立;

+2≤ 在[10,1 000]上恒成立, 整理即 29x≥300 恒成立, 而(29x) min=290,

∴f(x) ≤ 不恒成立. 故该函数模型不符合公司要求. [变式训练] (2014 湖南株洲高三教学质量检测(一),19) 设某企业在两个相互独立的市场上出售同一 , , 其中 和 分别表示该产品在两个市场上

种商品,两个市场的需求函数分别是 的价格(单位:万元/吨), 和 (Ⅰ )试用 和 该企业生产这种产品的总成本函数是

分别表示该产品在两个市场上的销售量(即需求量,单位:吨),并且 ,其中 表示该产品在两个市场的销售总量,即

表示总利润,确定两个市场上该产品的销售量和价格,使该企业获得最大利润; 的条件下,推算该企业可能获得的最大利润(取一位小数)

(Ⅱ ) 在两地价格差别满足 [变式答案] 查看解析 [变式解析] (Ⅰ )设总利润为

,那么利润函数

将利润函数变形为 当 (Ⅱ ) 由 , 时,即 (万元), 得

, (万元)企业获得最大利润 52 万元. (6 分) ,

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令 由实际意义知

, 、 、 、

,得 都为正数得

, ,

又 化简得:



即 , (8 分) 的圆心 到





的距离



所以 实际上

,即 取一位小数 49.9(万元).

, (13 分)

(利用直线与椭圆相切同样可得分) [第 14 页 第 11 题] (2013 山东德州一模, 18) 某家庭进行理财投资, 根据长期收益率市场预测, 投资债券 等稳健型产品的收益与投资额成正比, 投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比. 已知 投资 1 万元时两类产品的收益分别为 0.125 万元和 0.5 万元. (1) 分别写出两类产品的收益与投资的函数关系; (2) 该家庭有 20 万元资金, 全部用于理财投资, 问: 怎么分配资金才能使投资获得最大收益, 其最大收益 是多少万元? [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 设两类产品的收益与投资的函数分别为 f(x) =k1x, g(x) =k2 由已知得 f(1) = =k1, g(1) = =k2, 所以 f(x) = x(x≥0), g(x) = (x≥0). .

(2) 设投资债券类产品为 x 万元, 则投资股票类产品为(20-x) 万元.

依题意得 y=f(x) +g(20-x) = +

(0≤x≤20).

令 t=

(0≤t≤2

),

则 y=

+ t=- (t-2) 2+3,

所以当 t=2, 即 x=16 时, 收益最大, ymax=3. 因此, 当投资债券类产品 16 万元, 投资股票类产品 4 万元时, 才能获得最大收益, 其最大收益是 3 万元. [变式训练] (2007 上海, 18, 14 分) 近年来, 太阳能技术运用的步伐日益加快. 2002 年全球太阳电池的年 生产量达到 670 兆瓦, 年生产量的增长率为 34%. 以后四年中, 年生产量的增长率逐年递增 2%(如, 2003 年的年生产量的增长率为 36%) .

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(Ⅰ ) 求 2006 年全球太阳电池的年生产量(结果精确到 0. 1 兆瓦) ; (Ⅱ ) 目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量, 2006 年的实际安装量为 1 420 兆瓦. 假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在 42%, 到 2010 年, 要使年安装量与年生产量基本 持平(即年安装量不少于年生产量的 95%) , 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少 (结果精确到 0. 1%) ? [变式答案] (Ⅰ ) 由已知得 2003, 2004, 2005, 2006 年太阳电池的年生产量的增长率依次为 36%, 38%, 40%, 42%. 则 2006 年全球太阳电池的年生产量为 670×1. 36×1. 38×1. 40×1. 42≈2 499. 8(兆瓦) . (Ⅱ ) 设太阳电池的年安装量的平均增长率为 x, 则 ≥95%. 解得 x≥0. 615. 因此, 这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到 61. 5%. [第 14 页 第 12 题] (2013 河南郑州二模, 17) 如图所示, 一辆汽车从 O 点出发沿一条直线公路以 50 千 米/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向), 汽车开动的同时, 距汽车出发点 O 点的距离为 5 千米、 距离公路线的垂直距离为 3 千米的 M 点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机. 问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望? 此时他驾驶摩托车行驶了多少千米?

[答案] (答案详见解析) [解析] 作 MI 垂直公路所在直线于点 I, 则 MI=3, ∵OM=5, ∴OI=4, ∴cos∠MOI= . 设骑摩托车的人的速度为 v 千米/小时, 追上汽车的时间为 t 小时, 由余弦定理得(vt) 2=52+(50t) 2-2×5×50t× ,

即 v2 = -

+2 500=25

+900≥900,

∴当 t= 时, v 取得最小值, 其最小值为 30, ∴其行驶距离为 vt= = 千米. 故骑摩托车的人至少以 30 千米/小时的速度行驶才能实现他的愿望, 此时他驾驶摩托车行驶了 千米.

[变式训练] (2013 北京海淀区高三三月模拟题,12,5 分) 在 则

中,若



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[变式答案]

[变式解析] 由余弦定理,得

,即

,解得

. 再

由余弦定理,得

,所以

.

[第 15 页 第 1 题] (2014 山东威海期中, 9) 角 α 的终边经过点 P(sin 10° , -cos 10° ), 则 α 的可能取值为 ( ) B. 80° C. -10° D. -80° A. 10° [答案] C

[解析] 依题意知 tan α= [变式训练]

=-

=-tan 80° =tan(-80° ), 故选 C. )

(2007 北京, 1, 5 分) 已知 cos θ·tan θ<0, 那么角 θ 是( B. 第二或第三象限角 D. 第一或第四象限角

A. 第一或第二象限角 C. 第三或第四象限角 [变式答案] C [变式解析]

∵ cos θ·tan θ=sin θ<0, cos θ≠0, ∴ θ 为第三或第四象限角, 故选 C.

[第 15 页 第 2 题] (2013 山东青岛期末, 3) 集合 α kπ+ ≤α≤kπ+ , k∈Z 部分) 是( )

中的角所表示的范围(阴影

[答案] C [解析] 当 k=2n, n∈Z 时, 2nπ+ ≤α≤2nπ+ , 此时 α 的终边和 ≤α≤ 的终边一样. 当 k=2n+1, n∈Z 时, 2nπ+π+ ≤α≤2nπ+π+ , 此时 α 的终边和 π+ ≤α≤π+ 的终边一样.

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[变式训练] 值是() A. B.

(2012 浙江省杭州市萧山区高三 12 月月考, 2, 5 分)角

的终边过点

, 则



C. B

D.

[变式答案] [变式解析]

,所以

.

[第 15 页 第 3 题] (2013 浙江杭州七校联考) 下列命题正确的是( A. α、β 都是第二象限角, 若 sin α> sin β, 则 tan α> tan β B. α、β 都是第三象限角, 若 cos α> cos β, 则 sin α> sin β C. α、β 都是第四象限角, 若 sin α> sin β, 则 tan α> tan β D. α、β 都是第一象限角, 若 cos α> cos β, 则 sin α> sin β [答案] C

)

[解析] 取 α= , β= π, 满足 sin α> sin β, 但 tan < tan π, ∴A 错误; 取 α= π, β= π, 满足 cos α=- > cos

β=- , 但 sin =- < sin π=- , ∴B 错误; 取 α= , β= , 满足 cos α> cos β, 但 sin α< sin β, ∴D 错误, 故选 C. [变式训练] (2012 黑龙江高三模拟,3,5 分)已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边过 ,2α∈,0,2π),则 tan α=( A. [变式答案] B. B C. ) D. ±

[变式解析] 由三角函数定义可知 tan 2α=

=-

,而 2α∈,0,2π),∴2α=

,∴α= ,∴tan α=

,故选 B.

[第 15 页 第 4 题] (2013 浙江名校交流卷五, 1) 已知集合 M=*x||x+3|≤1+, N=*x|sin x< 0+, 则 M∩N=( A. [-4, -2] [答案] C [解析] M=[-4, -2-, N=(2kπ-π, 2kπ), k∈Z, 则 M∩N=(-π, -2]. [变式训练] (2009 江西, 3, 5 分) 已知全集 U=A∪B 中有 m 个元素, (?UA) ∪(?UB) 若 A∩B 非空, 则 A∩B 的元素个数为( ) 中有 n 个元素. ) B. (-π, 0) C. (-π, -2] D. [-4, +∞)

A. mn [变式答案] D

B. m+n

C. n-m

D. m-n

[变式解析] U=A∪B 中有 m 个元素,

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∵(?UA) ∪(?UB) ∴A∩B 中有(m-n)

=?U(A∩B)

中有 n 个元素,

个元素, 故选 D.

[第 15 页 第 5 题] (2013 陕西西安调研, 5) 如图, 设点 A 是单位圆上的一定点, 动点 P 从 A 出发在圆上 按逆时针方向转一周, 点 P 旋转经过的弧 的长为 l, 弦 AP 的长为 d, 则函数 d=f(l) 的图象大致为( )

[答案] C [解析] 如图, 取 AP 的中点为 D, 连结 OD, 设∠DOA=θ, 则 d=2sin θ, l=2θ, ∴d=2sin . 故选 C.

[变式训练] (2012 北京海淀区期末练习,1,5 分)若 (A)第一或第二象限角 第二或第四象限角 [变式答案] D [变式解析] ∵ 时, ,∴ 是第二象限角;当 ,或 (B)第二或第三象限角

,则角

是(

) (D)

(C)第三或第四象限角

,当 时, 是第四象限角.综上所得,

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是第二或四象限角.

[第 15 页 第 6 题] (2013 山西阳泉调研, 4) 已知 f(n) =cos (n∈N*), 则 f(1) +f(2) +…+f(2 011) 等于 ( )

A.

B.

C.

D. -1-

[答案] D [解析] ∵f(n) =cos , ∴f(n+12) =f(n),

于是 f(1) +f(2) +…+f(2 011) =f(1) +f(2) +…+f(7) =cos +cos +cos +cos +cos +cos +cos =-1- , 故选 D.

[变式训练] (2012 湖北省黄冈中学高三 11 月月考,8,5 分)给出下列的四个式子:①

,②



③ A. B.

,④

;已知其中至少有两个式子的值与

的值相等,则(



C.

D. [变式答案] A

[变式解析] 与 的值相等,都等于 .

, ∴当

时, 式子① ③

[第 15 页 第 7 题] (2013 云南昆明月考, 5) 已知 sin α= , cos α= , 则角 2α 的终边所在的象限是( A. 第一象限 [答案] B B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

)

[解析] 由 sin α= , cos α= , 知 2kπ+ < α< 2kπ+ , k∈Z, ∴4kπ+ < 2α< 4kπ+π, k∈Z, ∴角 2α 的终边所在的

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象限是第二象限. 故选 B. [变式训练] (2012 辽宁,7,5 分)已知 sin α-cos α= A. -1 B. C. D. 1 ,α∈(0,π),则 tan α=( )

[变式答案] A [变式解析] ∵sin α-cos α= ∴ ∴sin sin = , ,tan α=-1. 故选 A. ,

=1,又∵0<α<π,∴α- = ,α=

[第 15 页 第 8 题] (2013 山东临沂二模, 11) 已知 x∈,0, π-, f(x) =sin(cos x) 的最大值为 a, 最小值为 b, g(x) =cos(sin x) 的最大值为 c, 最小值为 d, 则( A. b< d< a< c B. d< b< c< a C. b< d< c< a D. d< b< a< c [答案] A [解析] ∵x∈,0, π-, ∴sin x∈,0,1-, cos x∈,-1,1-, ∴sin(cos x) ∈,sin(-1), sin 1], 即 a=sin 1, b=-sin 1, cos(sin x) ∈,cos 1,1-, ∴c=1, d=cos 1. 又 sin 1> cos 1, ∴b< d< a< c. [变式训练] (2013 年广东省广州市高三 4 月综合测试, 5, 5 分) 若函数 )

的一个对称中心是 A. 1 [变式答案] B [变式解析] 由题意, B. 2

,则 C. 4

的最小值为( D. 8

)

,则

,解得

. 又

,所以当

时,

的最小值为 2.

[第 15 页 第 9 题]

(2013 安徽联盟一模) 已知 A(xA, yA) 是单位圆上(圆心在坐标原点 O) 任意一点, 且射 )

线 OA 绕 O 点逆时针旋转 30° 到 OB 交单位圆于 B(xB, yB), 则 xA-yB 的最大值为(

A. [答案] C

B.

C. 1

D.

[解析] 如图, 由三角函数的定义, 设 xA=cos α, 则 yB=sin(α+30°), ∴xA-yB=cos α-sin(α+30°) = cos α- sin α=cos(α+60°) ≤1.

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[变式训练] A. [变式答案] C [变式解析]

(2008 四川, 5, 5 分) 设 0≤α≤2π, sin α> B. C.

cos α, 则 α 的取值范围是( D.

)

sin α>

cos α, 即 2sin . . 故选 C.

>0.

而 0≤α≤2π, 得- ≤α- ≤ 因此 0<α- <π, 即 <α<

[第 15 页 第 10 题] (2014 浙江镇海中学阶段检测) 阅读下列命题:

① 若点 P(a, 2a) (a≠0) 为角 α 终边上一点, 则 sin α=

;

② 同时满足 sin α= , cos α= 的角有且只有一个;

③ 若 tan α= 且 π< α<

, 则 sin α=- ;

④ 设 cos(sin θ) ·tan(cos θ) > 0(θ 为象限角), 则 θ 在第一象限. 其中正确的命题为 [答案] ③ (将正确命题的序号填在横线上).

[解析] ① 中, 当 α 在第三象限时, sin α=-

, 故① 错. ② 中, 同时满足 sin α= , cos α= 的角为

α=2kπ+ (k∈Z), 故② 错. ③ 正确. ④ 中, θ 可能在第一象限或第四象限, 故④ 错. [变式训练] (2012 黑龙江高三模拟,3,5 分)已知角 2α 的顶点在原点,始边与 x 轴非负半轴重合,终边过 ,2α∈,0,2π),则 tan α=( A. [变式答案] B. B C. ) D. ±

[变式解析] 由三角函数定义可知 tan 2α=

=-

,而 2α∈,0,2π),∴2α=

,∴α= ,∴tan α=

,故选 B.

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[第 15 页 第 11 题] (2013 新疆哈密一模) 已知 sin(α+β) =1, 求证: tan(2α+β) +tan β=0. [答案] (答案详见解析) [解析] ∵sin(α+β) =1, ∴α+β=2kπ+ (k∈Z), ∴α=2kπ+ -β(k∈Z). ∴tan(2α+β) +tan β

=tan

+tan β

=tan(4kπ+π-2β+β) +tan β =tan(4kπ+π-β) +tan β =tan(π-β) +tan β=-tan β+tan β=0. ∴tan(2α+β) +tan β=0.

[变式训练] (2013 福建厦门高三一月质量检查, 11,5 分) 已知 [变式答案] 3

,则

.

[变式解析]

原式=

.

[第 16 页 第 1 题] (2014 浙江杭州七校联考) 已知

=- , 则 cos α+sin α 等于(

)

A. -

B.

C.

D. -

[答案] D

[解析]

=

=

=- ,

∴2cos 2α=sin α-cos α, 即 2(cos2α-sin2α) =sin α-cos α, ∴-2(cos α+sin α) (sin α-cos α) =sin α-cos α.

∵sin

≠0,

∴α- ≠kπ, k∈Z, ∴α≠ +kπ, k∈Z, ∴sin α-cos α≠0, ∴cos α+sin α=- .

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[变式训练] (2012 东北三省四市第一次联考, 3, 5 分)已知 等于( A. [变式答案] ) B. B ,所以 ,解得 所以 . ,又 C. D.



, 则

[变式解析] 因为

,又 ,所以 ,所以

,所以 ,

[第 16 页 第 2 题] (2013 浙江杭州二模, 2) 已知集合 A= k∈Z sin(kπ-θ) =sin θ, θ∈

,

B= k∈Z cos(kπ+θ) =cos θ, θ∈ A. *k|k=2n, n∈Z+ [答案] A B. {k|k=2n-1, k∈Z+

, 则(?ZA) ∩B=( C. *k|k=4n, n∈Z+

) D. {k|k=4n-1, n∈Z+

[解析] 由 sin(kπ-θ) =sin θ, 得 k 为奇数, 则?ZA=*k|k=2n, n∈Z+. 由 cos(kπ+θ) =cos θ, 得 k 为偶数, 故 (?ZA) ∩B=*k|k=2n, n∈Z+. [变式训练] 则 (2014 广东广州高三调研测试,2) 设集合 ) , ,

等于(

A.

B.

C.

D.

[变式答案] C [变式解析] 可解得 , ,所以 .

[第 16 页 第 3 题] (2013 浙江嘉兴一模, 9) 函数 f(x) =sin A. B. π C. 2π D. 4π

· cos x 的最小正周期是(

)

[答案] B

[解析] 因为 f(x) =sin

· cos x=cos2x= cos 2x+ , 故选 B. , 则 tan α=( )

[变式训练] (2008 浙江, 8, 5 分) 若 cos α+2sin α=A. B. 2 C. D. -2

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[变式答案] [变式解析] 将① 代入② 得(

B

sin α+2) 2=0, ∴ sin α=-

, cos α=-

.

∴tan α=2. 故选 B.

[第 16 页 第 4 题] A. 1 B. -1

(2013 广东广州调研, 5) 当 θ 为第二象限角, 且 sin D. 以上都不对

= 时,

的值为(

)

C. ±1

[答案] B

[解析] ∵sin

= , ∴cos = , ∵θ 为第二象限角, 即 2kπ+ < θ< π+2kπ, k∈Z, ∴kπ+ <

<

+kπ(k∈Z).

结合 cos = > 0, 得 2kπ+ <

<

+2kπ(k∈Z), ∴sin =

=

,



=

=-1. 故选 B.

[变式训练]

(2014 广东汕头普通高考模拟考试试题,9)已知 ___________.

,

,则

[变式答案]

[变式解析]

由已知可得

,所以

.

[第 16 页 第 5 题] (2013 湖北黄石联考, 3) α∈ A. B. C. D. -

, sin α=- , 则 cos(π-α) 的值为(

)

[答案] A

[解析] ∵α∈

, ∴cos α= , ∴cos(π-α) =-cos α=- , 故选 A. , , 则

[变式训练] (2012 东北三省四市第一次联考, 3, 5 分)已知 等于( )

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A. [变式答案]

B. B

C.

D.

[变式解析] 因为 ,解得 所以 .

,所以 ,又

,又 ,所以 ,所以

,所以 ,

[第 16 页 第 6 题] 013) 的值为( A. -1 B. 1 [答案] D )

(2013 湖北黄冈二模, 9) 已知函数 f(x) =asin(πx+α) +bcos(πx+β), 且 f(4) =3, 则 f(2 D. -3

C. 3

[解析] ∵f(4) =asin(4π+α) +bcos(4π+β) =asin α+bcos β=3, ∴f(2 013) =asin(2 013π+α) +bcos(2 013π+β) =asin(π+α) +bcos(π+β) =-asin α-bcos β=-(asin α+bcos β) =-3. [变式训练] (2014 河南郑州高中毕业班第一次质量预测, 9) 设函数 ,且其图象关于直线 A. B. C. D. [变式答案] [变式解析] , 即 令 函数 函数 的递减区间为 在 上为减函数,故函数 ,又函数图象关于直线 ,又 , ,解得 ,又 的最小正周期为 ,在 , , , 上为减函数,选 C . 对称, , 对称,则( )

的最小正周期为 ,且在 的最小正周期为 ,且在 的最小正周期为 的最小正周期为 B ,且在 ,且在

上为增函数 上为减函数 上为增函数 上为减函数

, ,

[第 16 页 第 7 题] (2014 浙江大衢中学期中, 12) 已知 cos(π+θ) = , 则 cos 2θ=

.

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[答案] [解析] 由 cos(π+θ) = , 可得 cos θ=- , 则 cos 2θ=2cos2θ-1= , 故答案为 . [变式训练] (2007 北京, 13, 5 分) 2002 年在北京召开的国际数学家大会, 会标是以我国古代数学家赵爽的 弦图为基础设计的. 弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图) . 如果小正 方形的面积为 1, 大正方形的面积为 25, 直角三角形中较小的锐角为 θ, 那么 cos 2θ 的值等于 .

[变式答案] [变式解析]

显然 AB=5, CD=1, AC=BC+1, ∴ BC=3, sin θ= , cos 2θ=1-2sin2θ= .

[第 16 页 第 8 题] (2014 浙江宁海正学中学阶段测试, 12) 已知 [答案] 4

=4, 则 tan α=

.

[解析]

=

=

=4, 即 4cos α-4sin α=-3sin α, ∴4cos α=sin α, ∴tan α=

=4.

[变式训练] (2007 全国Ⅰ , 1, 5 分) α 是第四象限角, tan α=A. [变式答案] [变式解析] B. D C. D. -

, 则 sin α 等于(

)

解法一:∵α 为第四象限角, ∴sin α<0. 又∵tan α=-

, ∴sin α=-

, 故选 D.

解法二:∵

∴解得 sin α=±

.

又∵ α 为第四象限角, ∴ sin α<0, ∴ sin α=-

. 故选 D.

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[第 16 页 第 9 题] (2014 陕西西安模拟, 13) sin π+cos [答案] 0 [解析] 原式=sin π+cos π-tan π

+tan

=

.

=sin

+cos

-tan

=sin +cos -tan = + -1=0. [变式训练] A. [变式答案] (2007 全国Ⅱ , 1, 5 分) sin 210° 等于( B. D C. D. )

[变式解析] sin 210° =sin(180° +30° ) =-sin 30° =- , 故选 D.

[第 16 页 第 10 题] (2013 上海长宁 4 月, 10) 若 x∈ [答案] 2

, 则 2tan x+tan

的最小值为

.

[解析] ∵x∈

,∴

> 0,

∴2tan x+tan

=2·

+

=2·

+

≥2

,

当且仅当 2·

=

, 即 tan x= 时, 等号成立. , 则 tan α=( )

[变式训练] (2008 浙江, 8, 5 分) 若 cos α+2sin α=A. [变式答案] [变式解析] 将① 代入② 得( sin α+2) 2=0, ∴ sin α=, cos α=B. 2 B C. D. -2

.

∴tan α=2. 故选 B.

第 93 页 / 共 403 页

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[第 16 页 第 11 题] (2013 浙江台州模拟, 13) 定义一种运算: a?b=

令 f(x) =(cos2x+sin x) ? ,

且 x∈ [答案]

, 则函数 f

的最大值是

.

[解析] 令 g(x) =cos2x+sin x, 则 g(x) =1-sin2x+sin x=∴由定义可知,

+ ≤ ,

f(x) =g(x) =-

+ ,

∴当 sin x= , 即 x= 时, 该函数取得最大值 .

由图象变换可知, 函数 f

的最大值与函数 f(x) 在区间

上的最大值相同.

[变式训练] (2012 湖北省黄冈中学高三 11 月月考,8,5 分)给出下列的四个式子:①

,②



③ A. B.

,④

;已知其中至少有两个式子的值与

的值相等,则(



C.

D. [变式答案] A

[变式解析] 与 的值相等,都等于 .

, ∴当

时, 式子① ③

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[第 16 页 第 12 题] (2013 北京四中第一学期期中考试) 如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 以 x 轴为始边

作两个锐角 α, β, 它们的终边分别与单位圆交于 A, B 两点. 已知 A, B 的横坐标为 , (1) 求 tan(α+β) 的值; (2) 求 2α+β 的值.

.

[答案] (答案详见解析)

[解析] (1) 由已知得: cos α= , cos β= ∵α, β 为锐角,

,

∴sin α=

, sin β= ,

∴tan α=2, tan β= .

∴tan(α+β) =

=

=3.

(2) ∵tan 2α=

=

=- ,

∴tan(2α+β) = ∵α, β 为锐角, ∴0< 2α+β<

=

=-1,

, ∴2α+β= . ,那么角 是

[变式训练] (2013 重庆市高三九校一月联合诊断考试,2,5 分)已知 ( ) B.第二或第三象限角 D.第一或第四象限角 A. 第一或第二象限角 C.第三或第四象限角 [变式答案] C [变式解析] 当 时, 是第三象限角;当

时,

是第四象限

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角;综上所得,角

是第三或第四象限角.

[第 17 页 第 1 题] (2014 浙江镇海中学期初测试, 7) 若 sin α-sin β=1- , cos α-cos β= , 则 cos(α-β) 的 值为( )

A.

B.

C.

D. 1

[答案] B

[解析] 因为 sin α-sin β=1- , cos α-cos β= , 两式平方相加得 2-2(cos αcos β+sin αsin β) =2-

, ∴cos(α-β)

= , 故选 B. [变式训练] (2014 江西红色六校高三第二次联考理数试题,16)在平面直角坐标系 始边做两个锐角 , 中,以 轴为

,它们的终边分别与单位圆相交于 A, B 两点,已知 A, B 的横坐标分别为

. (Ⅰ )求 tan( (Ⅱ )求 ) 的值; 的值.

[变式答案] 查看解析

[变式解析] 由条件的

,因为

,

为锐角,所以

=

,因此

(Ⅰ )tan(

)=

-------------------------------6 分

(Ⅱ )

,所以



为锐角,∴

,∴

=

-------------------12 分

第 96 页 / 共 403 页

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[第 17 页 第 2 题] ( A. ) π B. π

(2014 浙江金华一中月考, 9) 设 α, β 为钝角, 且 sin α= , cos β=-

, 则 α+β 的值为

C.

π

D.

π或 π

[答案] C [解析] ∵α, β 为钝角, ∴α+β∈(π, 2π).

又∵sin α= , cos β=-

,

∴cos α=

, sin β=

,

∴cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β= > 0,

∴α+β∈

,

由选项知, 只有选项 C 符合题意. [变式训练] (2013 高考仿真试题三,6,5 分) A. 1 [变式答案] B. B = ,故选 B. C. D. 的值为( )

[变式解析] tan 30° =tan(45° -15° )=

[第 17 页 第 3 题] (2013 安徽合肥二模, 4) 若 α 是第四象限角, tan A. B. C. D. -

=- , 则 cos

=(

)

[答案] D

[解析] 由题意知 sin

=- ,

∴cos

=cos

=sin

=- .

第 97 页 / 共 403 页

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[变式训练]

(2014 河北唐山高三第一次模拟考试, 8) 若







[变式答案]

A

[变式解析]



可得:

.

[第 17 页 第 4 题] (2013 浙江宁波十校联考, 4) 在△ABC 中, “sin A(2sin C-sin A) =cos A(2cos C+cos A)” 是“角 A、B、C 成等差数列” 的( A. 充分非必要条件 [答案] B [解析] 由 sin A(2sin C-sin A) =cos A(2cos C+cos A) 得 2(cos Acos C-sin Asin C) +sin2A+cos2A=0, 即 2cos(A+C) =-1, 从而有 cos B= , 即 B= , 则角 A、B、C 成等差数列. 反之也成立. 故选 B. B. 充要条件 ) C. 必要非充分条件 D. 既不充分也不必要条件

[变式训练] (2011 浙江, 6, 5 分) 若 0<α< , - <β<0, cos cos A. [变式答案] C [变式解析] cos =cos cos =cos +sin , sin , α+ =( B. ) C. D. -



= , cos

-

=

, 则

∵0<α< , 则 < +α< ∴sin = .

又- <β<0, 则 < - < , 则 sin 故 cos = × + × =

=

.

, 故选 C.

[第 17 页 第 5 题]

(2013 浙江金丽衢十二校联考, 8) 在△ABC 中, )

=(cos 18° , cos 72° ),

=(2cos 63° ,

2cos 27° ), 则△ABC 的面积为(

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A. [答案] B

B.

C.

D.

[解析] 因为

· =2cos 18° cos 63° +2cos 72° cos 27° =2cos 18° sin 27° +2sin 18° cos 27° =2sin(27° +18° )

=

, 所以 cos(π-B) =cos<

,

>=

= , 解得 B= , 所以△ABC 的面积是

|

|· |

|· sin = ×1×2× = , 故选 B. 、 、 ,满足

[变式训练] (2013 年东北三校高三第二次联合考试,15,5 分) 平面上三个向量

, [变式答案] 3 [变式解析]





,则

的最大值是__________.

, 设



则 角). 故当 时,

. 故 取得最大值 3.







的夹

[第 17 页 第 6 题] (2013 吉林长春二模, 5) 在△ABC 中, 若 tan Atan B=tan A+tan B+1, 则 cos C 的值是 ( )

A. [答案] B

B.

C.

D. -

[解析] 由 tan A· tan B=tan A+tan B+1, 可得

=-1, 即 tan(A+B) =-1, ∵A+B∈(0, π), ∴A+B= , 则

C= , cos C= . [变式训练] (2014 吉林实验中学高三年级第一次模拟, 5) 若三角形 ABC 中, sin(A+B) sin(A-B) =sin2C, 则此三角形的形状是( A.等腰三角形 C.等边三角形 [变式答案] [变式解析] B 因为 C=π-(A+B) ,结合条件可得 sin(A+B) sin(A-B) =sin2(A+B) ,又因为 sin(A+B) ) B.直角三角形 D.等腰直角三角形

≠0,所以可得 sin(A-B) =sin(A+B) ,整理得 sinAcosB=0,又因为 sinA≠0,可得 cosB=0,又因为 B∈

第 99 页 / 共 403 页

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(0,π),所以 B=

.

[第 17 页 第 7 题] (2013 山东枣庄期末, 5) 已知 sin A. [答案] D B. C. D. -

=- , 则 sin 2x 的值等于(

)

[解析] ∵sin

=- , ∴ (sin x+cos x) =- , 两边平方得 (1+sin 2x) =

, 解得 sin 2x=-

. 为锐

[变式训练] (2014 河南豫东豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理)试题, 5) 已知

角,

,则

=( )

(A) [变式答案] D

(B)

(C)

(D)

[变式解析]

因为

为锐角,可得

,所以

,而

.

[第 17 页 第 8 题] (2013 河北石家庄调研) 已知 α, β 是锐角, 且 α≠45°, 若 cos(α-β) =sin(α+β), 则 tan β=( )

A. 2

B. 1

C.

D.

[答案] B [解析] 依题意有 cos αcos β+sin αsin β=sin α·cos β+cos αsin β, 即(sin α-cos α) sin β=(sin α-cos α) cos β, 因为 α, β 是锐角, 且 α≠45°, 则 sin α-cos α≠0, 故有 tan β=1. 故选 B. [变式训练] (2013 高考仿真试题三,6,5 分) A. 1 [变式答案] B. B = ,故选 B. C. D. 的值为( )

[变式解析] tan 30° =tan(45° -15° )=

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[第 17 页 第 9 题] (2014 浙江湖州八校联考, 15) 设 α 为锐角, 若 cos 为 .

= , 则 sin

的值

[答案] [解析] ∵α 为锐角, ∴ < α+ < π,

∴sin

=

= ,

∴sin

=sin

=

=

2sin

cos

-2cos2

+1 = ×

2× × -2×

+1

=

.

[变式训练] (2007 陕西, 4, 5 分) 已知 sin α= A. B. C. D.

, 则 sin4α-cos4α 的值为(

)

[变式答案] B [变式解析] 原式=(sin2α+cos2α) (sin2α-cos2α) =sin2α-cos2α=2sin2α-1=- , 故选 B.

[第 17 页 第 10 题] (2013 山东东营二模, 14) 已知 α∈

, 且 2sin2α-sin α·cos α-3cos2α=0, 则

=

.

[答案]

[解析] ∵α∈

, 且 2sin2α-sin αcos α-3cos2α=0, 则(2sin α-3cos α) (sin α+cos α) =0, 即 2sin α=3cos α,

又 sin2α+cos2α=1, ∴cos α=

,

第 101 页 / 共 403 页

曲一线科学备考



=

=

.

[变式训练]

(2014 河北唐山高三第一次模拟考试, 8) 若







[变式答案]

A

[变式解析]



可得:

.

[第 17 页 第 11 题] (2014 浙江宁波效实中学月考) 已知 cos α= , cos(α-β) = , 且 0< β< α< (1) 求 tan 2α 的值; (2) 求 β. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 由 cos α= , 0< α< , 得

.

sin α=

=

=

,

∴tan α=

=

× =4

,

于是 tan 2α= (2) 由 0< β< α< 又∵cos(α-β) = ,

=

=-

. .

, 得 0< α-β<

第 102 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

∴sin(α-β) =

=

=

.

由 β=α-(α-β) 得 cos β=cos,α-(α-β) -=cos αcos(α-β) +sin αsin(α-β) = × +

×

= , 所以 β= . .

[变式训练] (2013 大纲,13,5 分)已知 α 是第三象限角, sin α=- , 则 cot α= [变式答案] 2

[变式解析] ∵α 是第三象限角, ∴cos α=-

=-

, cot α=

=

=2

.

[第 17 页 第 12 题] (2014 浙江平阳中学月考, 18) 已知向量 a=(1, sin x), b=(sin2x, cos x), 函数 f(x) =a· b,

x∈

.

(1) 求 f(x) 的最小值; (2) 若 f(α) = , 求 sin 2α 的值. [答案] (答案详见解析)

[解析] (1) f(x) =sin2x+sin xcos x=

+

=

.

因为 x∈

,

所以 2x- ∈

,

当 2x- =- , 即 x=0 时, f(x) 取最小值 0.

(2) f(α) =

= ,

得 sin

= ,

∵α∈

, ∴2α- ∈

,

又 0< sin

= <

,

第 103 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

∴2α- ∈

,

∴cos

=

=

,

∴sin 2α=sin

=

=

.

[变式训练]

(2014 河北唐山高三第一次模拟考试, 8) 若







[变式答案]

A

[变式解析]



可得:

.

[第 18 页 第 13 题] (2013 浙江杭州高级中学, 18) 如图, A 是单位圆与 x 轴正半轴的交点, 点 B, P 在单位

圆上, 且 B

, ∠AOB=α, ∠AOP=θ(0< θ< π),

=

+

, 设四边形 OAQP 的面积为 S.

(1) 求 cos (2) 求 f(θ) =

; · +S 的单调递增区间.

[答案] (答案详见解析)

第 104 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

[解析] (1) ∵B ∴cos α=- , sin α= ,

, ∠AOB=α,

∴cos

=cos αcos +sin αsin

=- × + × =

.

(2) 由已知得 A(1,0), P(cos θ, sin θ), ∴ ∴ =(1+cos θ, sin θ), · =1+cos θ.

又 S=sin θ, ∴ · +S=cos θ+1+sin θ

=

sin

+1(0< θ< π). ,

∵θ∈(0, π), ∴ < θ+ <

由 < θ+ ≤ , 得 0< θ≤ ,

∴f(θ) =

·

+S 的单调递增区间为

. cos α, 则 α 的取值范围是( D. )

[变式训练] A. [变式答案] C [变式解析]

(2008 四川, 5, 5 分) 设 0≤α≤2π, sin α> B. C.

sin α>

cos α, 即 2sin . . 故选 C.

>0.

而 0≤α≤2π, 得- ≤α- ≤ 因此 0<α- <π, 即 <α<

[第 18 页 第 14 题] (2013 浙江温州联考, 18) 已知向量 ), 且 m⊥( -n).

=(cos α, sin α) (α∈,-π, 0-), 向量 m=(2,1), n=(0,

第 105 页 / 共 403 页

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(1) 求向量

;

(2) 若 cos(β-π) = , 0< β< π, 求 cos(2α-β). [答案] (答案详见解析) [解析] (1) ∵ ∴ =(cos α, sin α), ),

-n=(cos α, sin α+ -n), ∴m·(

∵m⊥(

-n) =0, ) =0, ①

即 2cos α+(sin α+

又 sin2α+cos2α=1, ② 由① ② 联立解得

cos α=-

, sin α=- ,



=

.

(2) ∵cos(β-π) = , ∴cos β=- .

又∵0< β< π, ∴sin β=

, 且 < β< π.

又∵sin 2α=2sin αcos α=2× cos 2α=2cos2α-1=2× -1= ,

×

= ,

∴cos(2α-β) =cos 2αcos β+sin 2αsin β

= ×

+ ×

=

= . 的边长为 ,则

[变式训练] (2013 北京西城区高三三月模拟,11,5 分) 如图,正六边形 ______.

第 106 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

[变式答案] [变式解析]

.

[第 19 页 第 1 题] (2014 浙江华易新高考联盟模拟, 6) sin 2α= , 0< α< A. B. C. D. ±

, 则

cos

的值为(

)

[答案] C [解析] ∵sin 2α=2sin αcos α= , 且 sin2α+cos2α=1, ∴(sin α+cos α) 2=sin2α+2sin αcos α+cos2α=1+ = , 又 0< α< , ∴sin α+cos α> 0,

∴sin α+cos α= ,



cos

=

=sin α+cos α= . 故选 C. [变式训练] (2012 山西高三模拟,3,5 分) A. B. C. D.2 =( )

[变式答案] B [变式解析] =

=

=

=

=

,选 B.

错因分析:本题主要涉及二倍角公式 cos 2α=2cos2α-1 及 sin 2α=2sin αcos α,灵活运用此公式是解题关键.

[第 19 页 第 2 题] (2013 浙江嘉兴一模, 6)

的值是(

)

A.

B.

C.

D.

第 107 页 / 共 403 页

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[答案] C

[解析] 原式=

=

=

=

. 的值为( )

[变式训练] (2013 高考仿真试题三,6,5 分) A. 1 [变式答案] B. B = C. D.

[变式解析] tan 30° =tan(45° -15° )=

,故选 B.

[第 19 页 第 3 题] (2013 山东济南调研, 5) 已知 tan A. B. C. ± D. -3

=2, 则 tan α=(

)

[答案] A

[解析] tan α=tan [变式训练]

=

= . 故选 A. 的值为( )

(2014 重庆七校联盟, 3) (创新)

[变式答案] [变式解析]

C .

[第 19 页 第 4 题] (2013 浙江台州联考, 5) 已知 A, B, C 三点的坐标分别是 A(3,0), B(0,3), C(cos α, sin α),

α∈ A. -

, 若 B. -

· =-1, 则 C. 2 D. 3

的值为(

)

[答案] B [解析] =(cos α-3, sin α), =(cos α, sin α-3), ∴ · =(cos α-3) cos α+sin α·(sin α-3) =1-3sin α-3cos

第 108 页 / 共 403 页

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α=-1, ∴sin α+cos α= .

= = . =- , 故选 B.

由 sin α+cos α= 平方得 2sin αcos α=- , ∴

[变式训练] (2009 浙江, 7, 5 分) 设向量 a, b 满足:|a|=3, |b|=4, a· b=0, 以 a, b, a-b 的模为边长构成三角形, 则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为( A. 3 [变式答案] B. 4 B C. 5 D. 6 )

[变式解析] 当圆与三角形两边都相交时, 有 4 个交点, 本题新构造的三角形是直角三角形, 其内切圆半径 恰好为 1. 故它与半径为 1 的圆最多有 4 个交点. 故选 B.

[第 19 页 第 5 题] (2013 安徽合肥期末) 化简 A. sin 2α [答案] A B. cos 2α C. sin α D. cos α

的结果为(

)

[解析] 4sin2

tan

=4cos2

· tan

=4cos

sin

=2sin

=2cos 2α,



=

=

=sin 2α.

[变式训练] (2007 宁夏、海南, 9, 5 分) 若

=-

, 则 cos α+sin α 的值为(

)

A. [变式答案] C

B. -

C.

D.

[变式解析]

=

=

, 得

第 109 页 / 共 403 页

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cos α+sin α= , 故选 C.

[第 19 页 第 6 题] (2013 河南开封二模, 7) 已知 tan α=4, 则

的值为(

)

A. 4 [答案] B

B.

C. 4

D.

[解析]

=

,

∵tan α=4, ∴cos α≠0, ∴

=

= . 故选 B. )

[变式训练] (2010 全国Ⅰ , 2, 5 分) 记 cos(-80° ) =k, 那么 tan 100° =( A. [变式答案] B , ∴tan 80°= B. C. D. -

[变式解析] ∵cos(-80° ) =cos 80° =k, sin 80° = 选 B.

. 而 tan 100° =-tan 80° =-

, 故

[第 19 页 第 7 题] [答案] -

(2013 江苏南京 4 月, 11) 已知 sin θ+cos θ= , 且 ≤θ≤ , 则 cos 2θ 的值是

.

[解析] ∵sin θ+cos θ= , ∴(sin θ+cos θ) 2= , 即 sin 2θ=- , 又∵ ≤θ≤ , ∴π≤2θ≤ .

∴cos 2θ=-

=-

=- .

[变式训练] (2013 福建厦门高三一月质量检查, 11,5 分) 已知 [变式答案] 3

,则

.

[变式解析]

原式=

.

第 110 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

[第 19 页 第 8 题] (2013 西藏昌东二模, 13) [答案] -4

=

.

[解析] 原式=

=

=

=

=

=-4

. 的值为( )

[变式训练] (2013 高考仿真试题三,6,5 分) A. 1 [变式答案] B. B = C. D.

[变式解析] tan 30° =tan(45° -15° )=

,故选 B.

[第 19 页 第 9 题] (2014 浙江江山实验中学) 在锐角△ABC 中, a, b, c 分别是内角 A, B, C 所对边长, 并且

sin2A=sin

· sin

+sin2B.

(1) 求角 A 的大小; (2) 若 · =12, a=2 , 求 b, c(其中 b< c).

[答案] (答案详见解析) [解析] (1) 因为 sin2A=

·

+sin2B= cos2B- sin2B+sin2B= , 所以 sin A=± . 又因为 A 为锐角, 所以 A= . (2) 由 · =12 可得 cbcos A=12. ①

第 111 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

由(1) 知 A= , 所以 cb=24. ② 由余弦定理知 a2=c2+b2-2cbcos A, 将 a=2 及① 代入, 得

c2+b2=52, ③ ③ +② ×2, 得(c+b) 2=100, 所以 c+b=10. 因此, c, b 是一元二次方程 t2-10t+24=0 的两个根. 解此方程并由 c> b 知 c=6, b=4. [变式训练] (2010 全国Ⅰ , 2, 5 分) 记 cos(-80° ) =k, 那么 tan 100° =( A. [变式答案] B , ∴tan 80°= . 而 tan 100° =-tan 80° =, 故 B. C. D. )

[变式解析] ∵cos(-80° ) =cos 80° =k, sin 80° = 选 B.

[第 19 页 第 10 题] (2014 浙江湖州八校联考, 18) 在△ABC 中, A、B 为锐角, 角 A、B、C 所对的边分别

为 a、b、c, 且 cos 2A= , sin B= (1) 求 A+B 的值; (2) 若 a-b=

.

-1, 求 a、b、c 的值.

[答案] (答案详见解析)

[解析] (1) ∵B 为锐角, sin B=

,

∴cos B=

=

.

又 cos 2A=1-2sin2A= , A 为锐角,

∴sin A= , ∴cos A=

=

,

∴cos(A+B) =cos Acos B-sin Asin B= ∵0< A+B< π, ∴A+B= .

×

- ×

= .

(2) 由(1) 知 C= , ∴sin C= .

第 112 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

由正弦定理可得 ∵a-b= ∴ -1, -1,

a=

b=

c, 即 a=

b, c=

b.

b-b=

∴b=1, ∴a= , c= .

[变式训练] A. [变式答案]

(2012 云南高三二模,4,5 分)已知 tan α=2,则 B. A = = C. D.

等于(

)

[变式解析] 原式=

=

=

,故选 A.

[第 19 页 第 11 题] (2013 浙江宁波联考, 18) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知函数 f(x) =cos x· cos(x-A) - cos A(x∈R). (1) 求函数 f(x) 的最小正周期和最大值;

(2) 若函数 f(x) 在 x= 处取得最大值, 求 [答案] (答案详见解析)

的值.

[解析] (1) 依题意, 得 f(x) =cos2xcos A+cos xsin xsin A- cos A= (cos 2x· cos A+sin 2x· sin A) = cos(2x-A), 所以函数 f(x) 的最小正周期是 π, f(x) 的最大值是 . (2) 由(1) 知 -A=2kπ, k∈Z, 解得 A= -2kπ(k∈Z), 又 A∈(0, π), 所以 A= .

= [变式训练] A. [变式答案]

=

=

=

. )

(2010 福建, 1, 5 分) 计算 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° 的结果等于( B. A C. D.

[变式解析] sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° =sin(43° -13° ) =sin 30° = .

[第 19 页 第 12 题] (2013 浙江台州统考, 18) 已知函数 f(x) =2cos2x+2sin xcos x.

第 113 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

(1) 求 f(x) 的最小正周期;

(2) 记函数 g(x) =f(x) · f [答案] (答案详见解析)

, 求函数 g(x) 的值域.

[解析] (1) 因为 f(x) =1+cos 2x+sin 2x

=1+

sin

,

所以 f(x) 的最小正周期 T=π.

(2) g(x) = 1+

sin

·

=1+

+2sin

cos

=1+2cos 2x+cos 4x=2cos22x+2cos 2x

=2

- .

因为-1≤cos 2x≤1, 所以 g(x) 的值域为 [变式训练] A. [变式答案]

. )

(2010 福建, 1, 5 分) 计算 sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° 的结果等于( B. A C. D.

[变式解析] sin 43° cos 13° -cos 43° sin 13° =sin(43° -13° ) =sin 30° = .

[第 20 页 第 1 题]

(2014 浙江嘉兴一中期中, 6) 函数 f(x) =2sin(ωx+φ) )

的部分图象

如图所示, 则 ω, φ 的值分别是(

第 114 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

A. 2, [答案] A

B. 2, -

C. 4, -

D. 4,

[解析] 由题中函数的图象可知, k∈Z, 又因为- < φ<

= ?T=π, 故 ω= =2, 又因为 f

=2sin

=2?φ=- +2kπ,

, 所以 φ=- , 故选 A.

[变式训练]

(2014 江西七校高三上学期第一次联考, 4) 要得到函数

的图象,只需将函数

的图象( A. 向左平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向右平移 [变式答案] [变式解析] 得 ,故向左平移 . A



,即把函数 ,即 的图象,

的图象向左平移 ,

个单位长

[第 20 页 第 2 题] (2014 浙江大衢中学期中) 函数 f(x) =sin x+cos x 图象的一个对称轴方程是( A. x=π [答案] B B. x= C. x= D. x=

)

[解析] 函数 f(x) =sin x+cos x=

sin

, 令 x+ =kπ+ , k∈Z, 可得 x=kπ+ , k∈Z. 故选 B.

[变式训练] (2012 江西省南昌市第二次模拟,5,5 分)已知

,则

的值是(



A、 [变式答案] C

B、

C、-1

D、±1

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曲一线科学备考

[变式解析]







=

.

[第 20 页 第 3 题] (2013 浙江温州四中) 函数 y=2cos2 A. 最小正周期为 π 的奇函数 正周期为 的偶函数 [答案] A B. 最小正周期为 π 的偶函数

-1 是(

) D. 最小

C. 最小正周期为 的奇函数

[解析] y=2cos2

-1=cos

=sin 2x, ∴函数的周期为 T=π, 并且是奇函数, 故选 A.

[变式训练]

(2014 广东汕头普通高考模拟考试试题,9)已知 ___________.

,

,则

[变式答案]

[变式解析]

由已知可得

,所以

.

[第 20 页 第 4 题] (2013 浙江绍兴联考, 6) 已知函数 y=sin x+acos x 的图象关于 x= 对称, 则函数 y=asin x+cos x 的图象关于直线( A. x= 对称 [答案] C [解析] 因为函数 y=sin x+acos x 的最大值、最小值分别为 、, 又函数 y=sin x+acos x 的 B. x= 对称 C. x= ) 对称 D. x=π 对称

图象关于 x= 对称, 从而有 sin +acos =±

, 即- + a=±

, 解得 a=- , 则 y=asin x+cos

第 116 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

x=- sin x+cos x=

cos

, 其对称轴方程为 x=kπ- (k∈Z), 故选 C.

[变式训练]

(2014 贵州贵阳高三适应性监测考试, 6) 若

等于(



[变式答案] C

[变式解析] 由已知

,所以

=

,两边平方可得:

,所以

[第 20 页 第 5 题] 的取值范围是( )

(2013 河北承德一模, 10) 已知函数 f(x) =2sin ωx 在区间

上的最小值为-2, 则 ω

A.

∪,6, +∞)

B.



C. (-∞, -2-∪,6, +∞)

D. (-∞, -2-∪ [答案] D [解析] 当 ω> 0 时, - ω≤ωx≤ ω, 由题意知- ω≤- , 即 ω≥ ; 当 ω< 0 时, ω≤ωx≤- ω,

由题意知 ω≤- , 即 ω≤-2.

综上可知, ω 的取值范围是(-∞, -2-∪

.

[变式训练] (2013 年广东省广州市高三 4 月综合测试, 5, 5 分) 若函数

第 117 页 / 共 403 页

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的一个对称中心是 A. 1 [变式答案] B [变式解析] 由题意, B. 2

,则 C. 4

的最小值为( D. 8

)

,则

,解得

. 又

,所以当

时,

的最小值为 2.

[第 20 页 第 6 题] (2013 浙江镇海中学 5 月模拟, 6) 设函数 f(x) = cos(ωx+φ), 对任意 x∈R 都有

f A. 1

=f

, 若函数 g(x) =3sin(ωx+φ) -2, 则 g C. -2 D.

的值为(

)

B. -5 或 3

[答案] C [解析] 由题意得直线 x= 是 f(x) 的图象的一条对称轴, 故 ω+φ=kπ(k∈Z), 则

g

=3sin

-2=3sin kπ-2=-2, 故选 C.

[变式训练]

(2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,7) 函数

的最小正周期是

,若其图象向右平移

个单位长得到的函数为奇函数,则函数

的图象(



A. 关于点

对称

B. 关于直线

对称

C. 关于点

对称

D. 关

于直线 [变式答案] D

对称

[变式解析] 因为函数

的最小正周期为

,所以

,把函数

把函数的图

象向右移动

得函数

的图象,此时函数为奇函数,所以

,令

,所以

,即



第 118 页 / 共 403 页

曲一线科学备考





,令

,所以

,即函数

关于直线

对称.

[第 20 页 第 7 题] (2013 浙江金丽衢十二校二模, 4) “φ= ” 是“函数 f(x) =cos x 与函数 g(x) =sin(x+φ) 的 图象重合” 的( [答案] A ) B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分而不必要条件

[解析] 因为 g(x) =sin(x+φ) =cos 要条件是 φ=2kπ+ (k∈Z), 故选 A. [变式训练]

, 则函数 f(x) =cos x 与函数 g(x) =sin(x+φ) 的图象重合的充

(2012 黑龙江高三模拟,8,5 分)下列命题中正确的是(

)

A. 函数 y=sin x,x∈,0,2π-是奇函数 B. 函数 y=2sin C. 函数 y=2sin 在区间 -cos 上是单调递增的 (x∈R)的最小值是-1

D. 函数 y=sin πx·cos πx 是最小正周期为 2 的奇函数 [变式答案] C [变式解析] y=sin x,x∈,0,2π-,∵x∈,0,2π-定义域不关于原点对称,∴A 错. ∵y=2sin ∵y=2sin =-2sin -cos 在 =sin , 上是单调递减的,∴B 错.

∴最小值为-1,∴C 正确. ∵y=sin πx·cos πx= sin 2πx,∴T= =1,

∴y=sin πx·cos πx 的最小正周期为 1. ∴D 错. 错因分析:(1)不能灵活运用三角公式; (2)没掌握函数奇偶性的判定方法.

[第 20 页 第 8 题] (2013 浙江宁波 4 月模拟, 2) 函数 f(x) =cos A. 周期为 π 的偶函数 [答案] D B. 周期为 2π 的偶函数

-cos

是(

)

C. 周期为 π 的奇函数

D. 周期为 2π 的奇函数

[解析] f(x) = (cos x-sin x) - (cos x+sin x) =-

sin x, 故选 D.

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[变式训练] (2011 浙江, 6, 5 分) 若 0<α< , - <β<0, cos cos A. [变式答案] C [变式解析] cos =cos cos =cos +sin , sin , α+ =( B. ) C. D. -



= , cos

-

=

, 则

∵0<α< , 则 < +α< ∴sin = .

又- <β<0, 则 < - < , 则 sin 故 cos = × + × =

=

.

, 故选 C.

[第 20 页 第 9 题] (2014 浙江杭州高级中学高三第一次月考, 13) 已知函数 y=cos(ωx+φ) (ω> 0, φ∈,0,2π)) 的部分图象如图所示, 则 φ 的值为 .

[答案]

π

[解析] 由题图知, 函数的最小正周期 T=π, 所以 ω=2. 又因为 f 又因为 φ∈,0,2π), 所以 φ= .

=cos

=-1?φ=- +2kπ(k∈Z),

[变式训练]

(2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,7) 函数

的最小正周期是

,若其图象向右平移

个单位长得到的函数为奇函数,则函数

的图象(



A. 关于点

对称

B. 关于直线

对称

C. 关于点

对称

D. 关

第 120 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

于直线 [变式答案] D

对称

[变式解析] 因为函数

的最小正周期为

,所以

,把函数

把函数的图

象向右移动

得函数

的图象,此时函数为奇函数,所以

,令

,所以

,即







,令

,所以

,即函数

关于直线

对称.

[第 20 页 第 10 题] (2013 浙江杭州名校联考, 12) 已知函数 f(x) =2sin 零点, 则 m 的取值范围是 [答案] [1,2) .

-m 在

上有两个不同的

[解析] f(x) 在

上有两个不同的零点, 即方程 f(x) =0 在

上有两个不同的实数根,

即 y=2sin ∵0≤x≤ , ∴- ≤2x- ≤ π,

的图象与直线 y=m 有两个不同的交点,

∴- ≤sin

≤1,

∴-1≤2sin

≤2, 数形结合得 1≤m< 2.

故 m 的取值范围是[1,2). [变式训练] (2013 山东青岛高三三月质量检测,9,5 分) 已知函数 ,若函数

有三个不同的零点,则实数

的取值范围为(

)

第 121 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

A. [变式答案] C [变式解析] 作出函数

B.

C.

D.

的图象如下图所示:

要使函数

有三个不同的零点,即



有三个交点,则实数

的取值

范围为

,故选 C.

[第 20 页 第 11 题] (2014 浙江湖州中学期中, 19) 已知函数 f(x) =sin +2cos2 . (1) 写出如何由函数 y=sin x 的图象变换得到 f(x) 的图象; (2) 在△ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c, 若(2a-c) · cos B=bcos C, 求 f(A) 的取值范围. [答案] (答案详见解析) [解析] f(x) =sin +cos +1

=

sin

+1.

(1) y=sin x

y=sin

y=sin

y=

sin

y=

sin

+1.

第 122 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

(2) 由(2a-c) cos B=bcos C, 利用正弦定理可知 2cos B=1. ∵0< B< π, ∴B= .

f(A) = ∵0< A<

sin ,∴ <

+1, + < ,

∴ < sin ∴2< f(A) ≤

≤1, +1.

[变式训练]

(2014 黑龙江哈尔滨第三中学第一次高考模拟考试,4) 若 的值为( )

,则

A. [变式答案]

B. C

C.

D.

[变式解析]

因为

,所以



所以

.

[第 21 页 第 12 题] (2014 浙江温州中学月考, 18) 已知函数 f(x) =msin x+ 2. (1) 求函数 f(x) 在,0, π-上的单调递减区间;

cos x(m> 0) 的最大值为

(2) △ABC 中, f 面积.

+f

=4

sin Asin B, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 且 C=60° , c=3, 求△ABC 的

[答案] (答案详见解析) [解析] (1) 由题意知 f(x) 的最大值为 , 所以 =2.

而 m> 0, 于是 m=

, f(x) =2sin

.

令 2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ (k∈Z),

第 123 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

得 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z).

所以 f(x) 在,0, π-上的单调递减区间为

. = =2 .

(2) 设△ABC 的外接圆半径为 R, 由题意, 得 2R=

化简 f

+f

=4

sin A· sin B, 得 sin A+sin B=2 ab, 故 a+b= ab. ①

sin Asin B.

由正弦定理, 得 2R(a+b) =2

由余弦定理, 得 a2+b2-ab=9, 即(a+b) 2-3ab-9=0, ② 将① 式代入② , 得 2(ab) 2-3ab-9=0, 解得 ab=3, 或 ab=- (舍去),

∴S△ABC= absin C=

. 的值为

[变式训练] (2012 北京海淀区高三 11 月月考,5,5 分)

A.

B.

C.

D.

[变式答案] C

[变式解析] 解法一原式=

;解法二

,所以

;解法三原式 = =

=

.

[第 21 页 第 13 题] (2013 浙江宁波一模, 18) 已知在△ABC 中, ∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c, 若 = , 且 sin C=cos A. (1) 求角 A、B、C 的大小;

第 124 页 / 共 403 页

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(2) 设函数 f(x) =sin(2x+A) +cos [答案] (答案详见解析)

, 求函数 f(x) 的单调递增区间, 并指出它相邻两对称轴间的距离.

[解析] (1) 由题设及正弦定理知

=

, 得 sin 2A=sin 2B,

∴2A=2B 或 2A+2B=π, 即 A=B 或 A+B= . 当 A=B 时, 有 sin(π-2A) =cos A, 即 sin A= , 得 A=B= , C= ;

当 A+B= 时, 有 sin

=cos A, 即 cos A=1, 不符合题意, 综上可知 A=B= , C= .

(2) 由(1) 及题设知: f(x) =sin

+cos

=2sin

,

当 2x+ ∈

(k∈Z) 时, f(x) =2sin

为增函数, 即 f(x) =2sin

的单调递增区间为

(k∈Z). 所以它的相邻两对称轴间的距离为 . [变式训练] A. [变式答案] C [变式解析] 由正弦定理得 a2≤b2+c2-bc, 则 b2+c2-a2≥bc, ∴cos A= 故选 C. ≥ . 又 0<A<π, 得 A∈ , (2011 四川, 6, 5 分) 在△ABC 中, sin2A≤sin2B+sin2C-sin Bsin C, 则 A 的取值范围是( B. C. D. )

[第 21 页 第 14 题] (2013 浙江温州适应性测试, 18) 已知 a=(sin x, -cos x), b=(cos x,

cos x), 函数 f(x)

=a· b+ . (1) 求 f(x) 的最小正周期, 并求其图象对称中心的坐标; (2) 当 0≤x≤ 时, 求函数 f(x) 的值域. [答案] (答案详见解析)

[解析] (1) f(x) =sin xcos x-

cos2x+

第 125 页 / 共 403 页

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= sin 2x- (cos 2x+1) +

= sin 2x- cos 2x

=sin

,

∴f(x) 的最小正周期为 π.

令 sin

=0,

得 2x- =kπ(k∈Z), ∴x= + (k∈Z).

故所求对称中心的坐标为 (2) ∵0≤x≤ , ∴- ≤2x- ≤ ,

(k∈Z).

∴- ≤sin

≤1,

即 f(x) 的值域为

. 的值为

[变式训练] (2012 北京海淀区高三 11 月月考,5,5 分)

A.

B.

C.

D.

[变式答案] C

[变式解析] 解法一原式=

;解法二

,所以

;解法三原式 = =

第 126 页 / 共 403 页

曲一线科学备考

=

.

[第 22 页 第 1 题] (2013 浙江新安江中学) 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合, 则这些函数为 “互为生成” 函数, 给出下列函数, 其中与 f(x) =sin x+cos x 构成“互为生成” 函数的为( A. f1(x) = sin x+ )

B. f2(x) =sin x C. f3(x) = (sin x+cos x)

D. f4(x) = [答案] A

cos

[解析] f(x) =sin x+cos x=

sin

. 函数 f1(x) =

sin x+

的图象向左平移 个单位, 再向下平移

个单位就得到函数 f(x) =

sin

的图象, 故选 A.

[变式训练] (2011 浙江, 6, 5 分) 若 0<α< , - <β<0, cos cos A. [变式答案] C [变式解析] cos =cos cos =cos +sin , sin , α+ =( B. ) C. D. -



= , cos

-

=

, 则

∵0<α< , 则 < +α< ∴sin = .

又- <β<0, 则 < - < , 则 sin 故 cos = × + × =

=

.

, 故选 C.

[第 22 页 第 2 题]

(2013 浙江名校交流卷二, 4) 设 f(x) =cos x-sin x, 把 y=f(x) 的图象向左平移 φ(φ> 0) )

个单位后, 恰好得到函数 f ' (x) 的图象, 则 φ 的值可以为( A. B. C. π D.

第 127 页 / 共 403 页

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[答案] A

[解析] f(x) =cos x-sin x=

cos

,

f ' (x) =-

sin

=

cos

=

cos

,

由于 y=f(x) 的图象向左平移 2kπ+ (k∈N) 个单位后, 恰好得到函数 f ' (x) 的图象, 故选 A. [变式训练] (2012 重庆,5,5 分)设 tan α,tan β 是方程 x2-3x+2=0 的两根,则 tan(α+β)的值为( A. -3 [变式答案] B. -1 A 而 tan(α+β)= = =-3,故选 A. C. 1 D. 3 )

[变式解析] 由根与系数关系知

[第 22 页 第 3 题] (2013 浙江杭州二模, 3) 设 P 为函数 f(x) =sin πx 的图象上的一个最高点, Q 为函数 g(x) =cos πx 的图象上的一个最低点, 则|PQ|的最小值是( )

A. [答案] C

B. 2

C.

D. 2

[解析] 由于|PQ|=

, 要使|PQ|的值达到最小, 则|xP-xQ|要最小, 两函数的最小正周期都为 2,

则|xP-xQ|的最小值为 , 所以|PQ|min= [变式训练]

=

. 的图象沿 轴向左平

(2014 北京东城高三第二学期教学检测,4) 将函数



个单位后,得到一个偶函数的图象,则

的一个可能取值为(



A.

B.

C.

D.

[变式答案] C

[变式解析]

平移后的函数为

,由已知此函数是偶函数,

第 128 页 / 共 403 页

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,从而

,所以选 C.

[第 22 页 第 4 题] (2013 浙江五校联考, 5) 已知函数 f(x) =sin ωx-

cos ωx(ω> 0) 的图象与 x 轴的两

个相邻交点的距离等于 , 若将函数 y=f(x) 的图象向左平移 个单位得到函数 y=g(x) 的图象, 则函数 y=g(x) 的一个减区间为( )

A. [答案] D

B.

C.

D.

[解析] 函数 f(x) =2sin

的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 , 即 = = , 解得 ω=2. 将函数

f(x) =2sin

的图象向左平移 个单位得到函数 y=g(x) 的图象, 所以 g(x) =2sin

=2sin 2x,

由 2kπ+ ≤2x≤2kπ+ , k∈Z 得减区间为 [变式训练]

, k∈Z, 当 k=0 时, 减区间为 中,若 )

, 故选 D.

(2014 江西七校高三上学期第一次联考, 8) 在 ,则 的形状一定是(

A. 等边三角形 B. 不含 60° 的等腰三角形 C. 钝角三角形 D. 直角三角形 [变式答案] [变式解析] , ,即 ,故 是直角三角形. D ,

[第 22 页 第 5 题]

(2013 全国 100 所名校高三联考, 7) 若函数 f(x) =sin ωx+ , 则正数 ω 的值是( )

cos ωx, x∈R, 又 f(α) =-2,

f(β) =0, 且|α-β|的最小值为 A. B. C. D.

[答案] B

[解析] f(x) =2sin

, 由题意知: 函数 f(x) 的最小正周期为 4× =3π, ∴ =3π, 解得 ω= , 故选 B.

第 129 页 / 共 403 页

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[变式训练] (2012 江西省南昌市第二次模拟,5,5 分)已知

,则

的值是(



A、 [变式答案] [变式解析] C ∵

B、

C、-1

D、±1





=

.

[第 22 页 第 6 题] (2013 浙江余姚中学) 已知函数 f(x) =sin

(x∈R, ω> 0) 的最小正周期为 π, 现

将 f(x) 的图象向左平移 个单位, 再保持纵坐标不变, 横坐标伸长为原来的 2 倍得到新的函数 g(x), 则 g(x) 的单调减区间为 .

[答案]

(k∈Z)

[解析] ∵函数 f(x) 的最小正周期为 π, ∴ω=2. f(x) 的图象向左平移 个单位, 得到函数为

y=sin

, 即 y=cos

, 再将横坐标伸长为原来的 2 倍, 得 g(x) =cos

, 令

2kπ≤x+ ≤2kπ+π, k∈Z, 得 2kπ- ≤x≤2kπ+ π, k∈Z, ∴g(x) 的单调减区间为

(k∈Z).

[变式训练]

(2014 重庆铜梁中学高三 1 月月考试题,7) 函数

的最小正周期是

,若其图象向右平移

个单位长得到的函数为奇函数,则函数

的图象(



第 130 页 / 共 403 页

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A. 关于点

对称

B. 关于直线

对称

C. 关于点

对称

D. 关

于直线 [变式答案] D

对称

[变式解析] 因为函数

的最小正周期为

,所以

,把函数

把函数的图

象向右移动

得函数

的图象,此时函数为奇函数,所以

,令

,所以

,即







,令

,所以

,即函数

关于直线

对称.

[第 22 页 第 7 题] (2013 浙江宁波联考, 12) 函数 f(x) =cos 的距离是 [答案] .

+cos x 的图象的相邻两对称轴之间

[解析] f(x) =cos =-sin x+cos x

+cos x

=

cos

,

周期 T=

=3π, 相邻两对称轴之间的距离是 = . , , 则

[变式训练] (2012 东北三省四市第一次联考, 3, 5 分)已知 等于( A. ) B. C. D.

第 131 页 / 共 403 页

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[变式答案]

B ,所以 ,解得 ,又 . ,又 ,所以 ,所以 ,所以 ,

[变式解析] 因为

所以

[第 22 页 第 8 题]

(2013 浙江台州调研, 18) 已知函数 f(x) =Asin(ωx+φ)

的最小正周期为 π, 且图象上有一个最低点为 M (1) 求 f(x) 的解析式;

.

(2) 求函数 g(x) =f [答案] (答案详见解析)

-f

的最大值及对应 x 的值.

[解析] (1) 由题意得 A=3, T=π, ∴ω= =2, ∴f(x) =3sin(2x+φ).

又M

为 f(x) 图象上的一个最低点, ∴f(x) min=f

=-3,

故有 2× +φ=2kπ+ (k∈Z). ∵0< φ< ,

∴取 k=0 得 φ= ,

∴f(x) =3sin

.

(2) g(x) =f

-f

=3sin

-3sin

第 132 页 / 共 403 页

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=3sin 2x-3sin

= sin 2x-

cos 2x

=3sin

,

故 g(x) max=3, 此时 2x- = +2kπ(k∈Z), 即 x=kπ+ (k∈Z).

[变式训练] (2008 江西, 6, 5 分) 函数 y=tan x+sin x-|tan x-sin x|在区间

内的图象大致是(

)

[变式答案]

D

[变式解析] 解法一:由已知得

y= 解法二:令 x=

作出该函数的草图可知, 故选 D. , 则 y=-2, 排除 A、B、C. 故选 D.

解法三:当 x 从右边→ 时, tan x→-∞, 故|tan x-sin x|→+∞, ∴y→-∞. 故选 D. [第 22 页 第 9 题] (2013 广东惠州调研, 18) 已知函数 f(x) =sin xcos φ+cos xsin φ(其中 x∈R, 0< φ< π),

且函数 y=f (1) 求 φ 的值;

的图象关于直线 x= 对称.

(2) 若 f

= , 求 sin 2α 的值.

[答案] (答案详见解析) [解析] (1) 由已知得 f(x) =sin(x+φ),

第 133 页 / 共 403 页

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∴函数 f(x) 的最小正周期为 2π.

又函数 y=f

=sin

,

且 y=sin x 的图象的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z), 则令 2x+ +φ=kπ+ (k∈Z), 将 x= 代入, 得 φ=kπ- (k∈Z). 又 0< φ< π, ∴φ= .

(2) 由 f

= 得

sin

=sin

= (sin α+cos α) = , ∴sin α+cos α= , ∴1+sin 2α= , 即 sin 2α=- . [变式训练] (2014 重庆七校联盟, 3) (创新) 的值为( )

[变式答案] [变式解析]

C .

[第 23 页 第 1 题] (2013 浙江湖州菱湖中学月考) 已知△ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 且 A= , a= A. B. , b=1, 则角 B 等于( C. D. 或 )

[答案] B

第 134 页 / 共 403 页

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[解析] 由正弦定理知 ∴sin B= , ∵a> b, ∴B 为锐角, ∴B= , 故选 B.

=

,

[变式训练] (2013 年北京海淀区高三第二次模拟,12,5 分) 在 ,则 [变式答案] [变式解析] 由正弦定理,得 ,即

中,

,解得

.又 ,所以

.

[第 23 页 第 2 题] (2013 浙江余姚中学期中考试) 在△ABC 中, 已知 a-b=4, a+c=2b, 且最大角为 120° , 则这个三角形的最大边等于( A. 4 B. 14 C. 4 或 14 [答案] B [解析] ∵a-b=4, a+c=2b, ∴a=b+4, c=b-4. 最大边应为 a, ∴a2=b2+c2-2bccos 120° , ∴(b+4) 2=b2+(b-4) 2+b(b-4), ∴b=10, a=14, 故选 B. [变式训练] (2008 江苏, 13, 5 分) 满足条件 AB=2, AC= [变式答案] 2 [变式解析] 设 BC=x, 则 AC= S△ABC= AB· BC· sin B= ×2x 根据余弦定理得 cos B= 代入上式可得 S△ABC=x = . = = , x, 根据面积公式得 , BC 的三角形 ABC 的面积的最大值是 . ) D. 24

由三角形三边关系有 解得 2 -2<x<2 +2,

第 135 页 / 共 403 页

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故当 x=2

时, S△ABC 取得最大值 2

.

[第 23 页 第 3 题] (2013 浙江温州第二次适应性测试, 3) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 A=30° , B=105° , a=1, 则 c=( A. 1 B. C. D. 2 )

[答案] B [解析] 由正弦定理得 c= ×sin C= ×sin 45° = .

[变式训练] (2008 宁夏、海南, 3, 5 分) 如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍, 那么它的顶角的余弦值 为( A. [变式答案] D [变式解析] 设等腰三角形的底边长为 a, 顶角为 θ, 则腰长为 2a. 由余弦定理得 cos θ= 选 D. [第 23 页 第 4 题] (2013 浙江名校交流卷五, 9) 三角形 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, 且满足 bcos B+ccos C=acos A, 则三角形的形状是( A. 等腰三角形 [答案] B B. 直角三角形 ) D. 等腰三角形或直角三角形 C. 等腰直角三角形 = , 故 ) B. C. D.

[解析] 由余弦定理得 b×

+c×

=a×

, 化简得 b4-2×b2c2+c4=a4, 即有 a2+c2=b2 或

a2+b2=c2, 即 B=90° 或 C=90° , 故选 B. [变式训练] (2010 上海, 18, 5 分) 某人要作一个三角形, 要求它的三条高的长度分别是 人将( ) 、 、 , 则此

A. 不能作出满足要求的三角形 B. 作出一个锐角三角形 C. 作出一个直角三角形 D. 作出一个钝角三角形 [变式答案] D

[变式解析] 设三角形三边长为 a, b, c. 根据三角形面积相等得 S= a· = c· = b· , ∴a=26S, c=10S, b=22S. 由大角对大边得 26S 对应的角最大, ∴cos A= 又 A∈(0, π) , ∴∠A 为钝角, ∴D 正确. =<0.

[第 23 页 第 5 题] (2013 湖北八校第一次联考, 7) 在△ABC 中, sin(A-B) +sin C= , BC= A. B. C. 或 D.

AC, 则 B=(

)

第 136 页 / 共 403 页

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[答案] B [解析] sin(A-B) +sin C=sin(A-B) +sin(A+B) =sin Acos B-cos Asin B+sin Acos B+cos A· sin B=2sin Acos B= , ∴sin Acos B= , 由 BC= AC 得 sin A= sin B,



sin Bcos B= , 即 sin 2B= , 又由题知 A> B, ∴2B= , ∴B= .

[变式训练] (2012 江西省南昌市第二次模拟,5,5 分)已知

,则

的值是(



A、 [变式答案] [变式解析] C ∵

B、

C、-1

D、±1





=

.

[第 23 页 第 6 题] (2013 浙江宁波名校联考) 在△ABC 中, 角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c, 若角 A、B、C 依次成等差数列, 有 a=1, b= , 则 S△ABC 等于( )

A. [答案] C

B.

C.

D. 2

[解析] 由角 A、B、C 依次成等差数列, 得 A+C=2B, 解得 B= . 由余弦定理得(

) 2=1+c2-2ccos , 解得

c=2 或 c=-1(舍去). 于是, S△ABC= acsin B= ×1×2sin = . [变式训练] (2014 成都高中毕业班第一次诊断性检测,4) 在等差数列 ( ) 中, ,则

第 137 页 / 共 403 页

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(A) 15 [变式答案] [变式解析] D

(B) 30

(C) 45

(D) 60

数列

是等差数列,



.

[第 23 页 第 7 题] (2014 浙江宁波效实中学月考) 如图, 在△ABC 中, 已知点 D 在 BC 边上, AD⊥AC,

sin∠BAC=

, AB=3

, AD=3, 则 BD 的长为

.

[答案]

[解析] 由题意得 cos∠BAD=cos

=sin∠BAC= .

, 故在△ABD 中, 由余弦定理知

BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD=3, 故 BD=

[变式训练] (2013 北京海淀区高三三月模拟题,12,5 分) 在 则

中,若



[变式答案]

[变式解析] 由余弦定理,得

,即

,解得

. 再

由余弦定理,得

,所以

.

[第 23 页 第 8 题] 知 a2-c2=2b, [答案] 4

(2013 浙江绍兴名校适应性模拟) 在△ABC 中, 内角 A, B, C 的对边长分别为 a, b, c. 已 .

且 sin B=4cos Asin C, 则 b 的值为

[解析] 由余弦定理可得 a2-c2=b2-2bccos A, 因为 a2-c2=2b, b≠0, 所以 b2-2bccos A=2b, 即 b=2ccos A+2, ①

由正弦定理及 sin B=4cos Asin C 得 2cos A= 把② 代入① , 可得 b= +2, 所以 b=4.

= ,②

第 138 页 / 共 403 页

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[变式训练] 面积为 [变式答案]

(2012 北京海淀区期末练习,11,5 分)在 ,则 =________.

中,若







[变式解析]

的面积

, 所以

, 所



=

=

.

[第 23 页 第 9 题] (2013 浙江名校交流卷六, 14) 在△ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 的对边分别为 a, b, c, 若 a+b+c=20, 三角形面积为 10 [答案] 7 [解析] 由 S= bcsin 60° =10 , 得 bc=40. , A=60° , 则 a= .

从而 a2=b2+c2-bc=(b+c) 2-3bc=(20-a) 2-120, 得 a=7. [变式训练] (2010 广东, 11, 5 分) 已知 a, b, c 分别是△ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边. 若 a=1, b= A+C=2B, 则 sin C= [变式答案] 1 [变式解析] 在△ABC 中, A+C=2B, ∴B=60°. 又∵sin A= ∴sin C=1. [第 23 页 第 10 题] (2014 浙江杭州高级中学高三第一次月考, 21) 在锐角三角形 ABC 中, 角 A, B, C 所对 = , ∴A=30°或 150° (舍) , ∴C=90°, . ,

的边分别为 a, b, c, 且 (1) 求角 A; (2) 若 a=

=

.

, 求 bc 的取值范围.

[答案] (答案详见解析)

[解析] (1) ∵

=

,



=

,

∵△ABC 为锐角三角形, ∴cos B≠0, ∴2sin Acos A=1, 即 sin 2A=1, ∴2A= , 即 A= .

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(2) 根据正弦定理可得 bc=4sin Bsin C, ∵C= -B,

∴bc=4sin Bsin

=4sin B = sin 2B+ (1-cos 2B)

=2sin

+

.

又∵△ABC 为锐角三角形,



得 B∈

,

∴2B- ∈ 则 bc∈(2

, , 2+ ]. )

[变式训练] (2010 湖北, 3, 5 分) 在△ABC 中, a=15, b=10, A=60° , 则 cos B=( A. [变式答案] A [变式解析] 由正弦定理得 sin B= ∵a>b, ∴B<60°, ∴cos B= = = , 故选 A. . B. C. D. -

[第 23 页 第 11 题] (2013 浙江名校交流卷六, 18) 在△ABC 中, ∠A, ∠B, ∠C 所对的边分别为 a, b, c, 且 acos C, bcos B, ccos A 成等差数列. (1) 求∠B 的大小; (2) 若 a+c=4, 求 AC 边上中线长的最小值. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) 由题意得 2bcos B=ccos A+acos C, 由正弦定理得 2sin Bcos B=sin C· cos A+sin Acos C, 即 2sin Bcos B=sin B, ∵sin B≠0, ∴cos B= , ∠B= .

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(2) 设 AC 边上的中点为 E, 由 2

=

+ .



=

=

=



=3, 当且仅当 a=c

时取“=”, 所以 AC 边上中线长的最小值为 [变式训练]

(2012 安徽合肥高三第二次检测,8,5 分)在

中,

分别是角 A、B、C 的

对边,若

的面积为

,则

的值为()

A. [变式答案] [变式解析]

B. D △ABC 的面积

C.

D.

.所以 ,解得

=

,所以

.

[第 23 页 第 12 题] (2013 浙江杭州二模, 18) 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 已知 c=2, acos B-bcos A= . (1) 求 bcos A 的值; (2) 若 a=4, 求△ABC 的面积. [答案] (答案详见解析) [解析] (1) ∵acos B-bcos A= , 根据余弦定理得,



-b·

= ,

∴2a2-2b2=7c. 又∵c=2, ∴a2-b2=7,

∴bcos A=

=- .

(2) 由 acos B-bcos A= 及 bcos A=- , 得 acos B= . 又∵a=4, ∴cos B= ,

∴sin B=

=

, .

∴S△ABC= acsin B=

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[变式训练] (2012 河北高三模拟,17,12 分)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且满足 ( a-c) · =c |= · . ,求△ABC 面积的最大值. a-c)cos B=bcos C, sin Acos B=sin A. sin A-sin C)cos B=sin Bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)若| [变式答案] (1)条件可化为( 根据正弦定理有( ∴ sin Acos B=sin(C+B),即

∵sin A>0,∴cos B= (2)∵| |= ,∴|

,∴B= . (6 分) |= ,即 b2=6, ac. )ac,即 ac≤3(2+ ), ac≥2acac≤ ac=(2. . (12 分)

根据余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,可得 6=a2+c2由基本不等式可知 6=a2+c2故△ABC 的面积 S= acsin B= 当且仅当 a=c=

时,△ABC 的面积最大,最大值为

[第 24 页 第 1 题] (2013 浙江杭州地区七校联考) 给出下列命题: ① 若 a∥b, b∥c, 则 a∥c; ② 有向线段就是向量, 向量就是有向线段; ③ 零向量的方向是任意的, 零向量与任何一向量都共线; ④ a2=|a|2. 其中正确的命题个数是( A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 [答案] C [解析] 若 b=0, 则由 a∥b, b∥c 推不出 a∥c, ∴① 错误; 有向线段与向量是两个不同的概念, 向量可以用有向线 段表示, ∴② 错误; 既然零向量的方向是任意的, ∴它能与任何一向量共线, ∴③ 正确; ∵a2=|a||a|cos 0=|a|2, ∴④ 也 是正确的, 故选 C. [变式训练] (2011 上海, 17, 5 分) 设 A1, A2, A3, A4, A5 是空间中给定的 5 个不同点, 则使 + A. 0 [变式解析] + B. 1 + + C. 5 =0 成立的点 M 的个数为( D. 10 ) )

[变式答案] B 解法一(特值法) :不妨取 A1、A2、A3、A4 分别是正方形的顶点, A5 为正方形对角线的交点. 仅 + + + + =0. 故选 B.

当 M 为 A5 时满足

解法二:设 M(x, y) , Ai(xi, yi) , 则

=(xi-x, yi-y) .



=0 得

即 故点 M 的个数为 1. 选 B.

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[第 24 页 第 2 题] (2013 浙江温州联考, 8) 在△ABC 中, 点 D 在线段 BC 的延长线上, 且 在线段 CD 上(与点 C、D 不重合), 若 =x +(1-x) , 则 x 的取值范围是( )

=3

, 点O

A. [答案] D [解析]

B.

C.

D.

=

-

=x

+(1-x)

-

=x

-x

=x(

-

) =x

=-x

=-3x

.

∵O 在线段 CD 上, ∴0< -3x< 1, ∴- < x< 0, 故选 D. [变式训练] (2012 四川省米易中学高三第二次段考,7,5 分)非零向量 , 为( )

[变式答案]

B

[变式解析] 角为 连接 ,且 ,则 ,如图所示,作平行四边形 与 OC 垂直且平分,所以

设向量



的夹角为

,则向量



的夹

,则该平行四边形是菱形,且 O、C、A 共线, 同向,向量 在 上的投影是

与向量

,又与向量

同向的单位向量为

,所以

=

.

[第 24 页 第 3 题] (2013 湖北武汉调研, 7) 如图, 在△ABC 中,

=

, P 是 BN 上的一点, 若

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=m

+

, 则实数 m 的值为(

)

A.

B.

C. 1

D. 3

[答案] A [解析] 因为 = , 所以 = , 设 =λ ,



=

+

=



=

-λ(

-

) =(1-λ)



=(1-λ)

+

, 又

=m

+

, 所以有



选 A.

[变式训练] (2007 全国Ⅱ , 5, 5 分) 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 λ=( A. ) B. C. D. -

=2

=



, 则

[变式答案] A [变式解析] ∴ 解法一:∵ A、D、B 三点共线, 又∵ = +λ ,

+λ=1. ∴ λ= . 故选 A.

解法二:根据题意, 如图.

=2, 则 =

= .



, 过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E, DF∥AC 交 BC 于 F,

根据向量加法的平行四边形法则有 由△ADE∽△ABC 有 = =

=

+

.

, ∴ λ= , 故选 A.

[第 24 页 第 4 题] (2013 浙江台州联考) 在△ABC 中, P 是 BC 边中点, 角 A、B、C 的对边长分别是 a、b、

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c, 若 c

+a

+b

=0, 则△ABC 的形状为(

)

A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形但不是等边三角形 [答案] C [解析] 由题意知 c - a( + ) + b( ) =0,



-

=0,



=

.





不共线, ∴

∴a=b=c.

[变式训练] (2011 上海, 17, 5 分) 设 A1, A2, A3, A4, A5 是空间中给定的 5 个不同点, 则使 + A. 0 [变式解析] + B. 1 + + C. 5 =0 成立的点 M 的个数为( D. 10 )

[变式答案] B 解法一(特值法) :不妨取 A1、A2、A3、A4 分别是正方形的顶点, A5 为正方形对角线的交点. 仅 + + + + =0. 故选 B.

当 M 为 A5 时满足

解法二:设 M(x, y) , Ai(xi, yi) , 则

=(xi-x, yi-y) .



=0 得

即 故点 M 的个数为 1. 选 B.

[第 24 页 第 6 题] (2013 北京海淀模拟) △ABC 外接圆的半径为 1, 圆心为 O, 且 2 | A. |=| |, 则 B. · 等于( C. 3 ) D. 2

+

+

=0,

[答案] C [解析] 由 2 + + =0 得 + + + = + =0, ∴ == , 即 O 为 BC 的中点, ∴BC 为外

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接圆的直径, BC=2, ∴∠BAC=90°, ∵|

|=|

|, ∴△ABO 为正三角形, ∴∠ABO=60°, ∴∠ACB=30°, 且|AC|=

,



· =|

|· |

|· cos 30° =

×2× =3. =2 = +λ , 则

[变式训练] (2007 全国Ⅱ , 5, 5 分) 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 λ=( A. ) B. C. D. -

[变式答案] A [变式解析] ∴ 解法一:∵ A、D、B 三点共线, 又∵ = +λ ,

+λ=1. ∴ λ= . 故选 A.

解法二:根据题意, 如图.

=2, 则 =

= .



, 过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E, DF∥AC 交 BC 于 F,

根据向量加法的平行四边形法则有 由△ADE∽△ABC 有 = =

=

+

.

, ∴ λ= , 故选 A.

[第 24 页 第 5 题] (2013 山东济南调研) 在平行四边形 ABCD 中, 于点 M, 若 A. B. =λ C. +μ , 则实数 λ 与 μ 的乘积为( D. )

=

,

=2

, 连结 CE, DF 相交

[答案] B

[解析] ∵E, M, C 三点共线, ∴设

=x

+(1-x)

, 则

=

+(1-x) (

+

)=

+(1-x)

.

同理, ∵D, M, F 三点共线, ∴设

=y

+(1-y)

, 则

=y

+

,∴

解得 y= , 即

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=

+

, ∴λ= , μ= , 即 λμ= × = .

[变式训练] (2007 全国Ⅱ , 5, 5 分) 在△ABC 中, 已知 D 是 AB 边上一点, 若 λ=( A. ) B. C. D. -

=2

=



, 则

[变式答案] A [变式解析] ∴ 解法一:∵ A、D、B 三点共线, 又∵ = +λ ,

+λ=1. ∴ λ= . 故选 A.

解法二:根据题意, 如图.

=2, 则 =

= .



, 过 D 作 DE∥BC 交 AC 于 E, DF∥AC 交 BC 于 F,

根据向量加法的平行四边形法则有 由△ADE∽△ABC 有

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