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2018届高三理科数学二轮复习习题:第3部分 讲重点 解答题专练 作业17-18


数列专练(一)·作业(十七) 1.(2017·成都市高三一诊)已知数列{an}满足 a1=-2,an+1=2an+4. (1)证明:数列{an+4}是等比数列; (2)求数列{|an|}的前 n 项和 Sn. 解析 (1)∵a1=-2,∴a1+4=2. ∵an+1=2an+4,∴an+1+4=2an+8=2(an+4), an+1+4 ∴ =2, an+4 ∴{an+4}是以 2 为首项,2 为公比的等比数列. (2)由(1),可知 an+4=2 ,∴an=2 -4. 当 n=1 时,a1=-2<0,∴S1=|a1|=2; 当 n≥2 时,an≥0. 2(1-2 ) 2 n 2 n ∴Sn=-a1+a2+…+an=2+(2 -4)+…+(2 -4)=2+2 +…+2 -4(n-1)= 1-2 -4(n-1)=2 n+1 n n n -4n+2. 又当 n=1 时,上式也满足. ∴当 n∈N 时,Sn=2 * n+1 -4n+2. 2.(2017·济南一模)已知{an}是公差不为零的等差数列,Sn 为其前 n 项和,S3=9,并且 a2, 3 a5,a14 成等比数列,数列{bn}的前 n 项和为 Tn= (1)求数列{an},{bn}的通项公式; an +8log3bn (2)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Mn. an+1bn 解析 (1)令等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由题意知(a1+4d) =(a1+d)(a1+13d), S3=3a1+3d=9, 又 d≠0,∴a1=1,d=2,an=2n-1, b1=3,n≥2 时,bn=Tn-Tn-1=3 , b1=3 符合 bn=3 ,∴bn=3 . 2n+1 (2)cn= n . 3 3 5 7 2n-1 2n+1 Mn= + 2+ 3+…+ n-1 + n , 3 3 3 3 3 1 3 5 7 2n-1 2n+1 Mn= 2+ 3+ 4+…+ n + n+1 , 3 3 3 3 3 3 n n n 2 2 n +1 -3 . 2 2 1 1 1 2n+1 Mn=1+2( 2+ 3+…+ n)- n+1 3 3 3 3 3 1 1 2- n+1 3 3 2n+1 =1+2( )- n+1 . 1 3 1- 3 n+2 Mn=2- n . 3 3.(2017·衡水调研)已知数列{an}满足对任意的正整数 n,均有 an+1=5an-2·3 ,且 a1= 8. (1)证明:数列{an-3 }为等比数列,并求数列{an}的通项公式; an (2)记 bn= n,求数列{bn}的前 n 项和 Tn. 3 解析 (1)因为 an+1=5an-2·3 , 所以 an+1-3 n+1 n n n =5an-2·3 -3 n n+1 =5(an-3 ), n 又 a1=8,所以 a1-3=5≠0, 所以数列{an-3 }是首项为 5、公比为 5 的等比数列. 所以 an-3 =5 ,所以 an=3 +5 . an 3 +5 5 n (2)由(1)知,bn= n= n =1+( ) , 3 3 3 5 5 n [1-( ) ] n+1 3 3 5 1 5 2 5 n 5 则数列{bn}的前 n 项和 Tn=1+( ) +1+( ) +…+1+( ) =n+ = n+n- 3 3 3 5 2·3 1- 3 5 . 2 4.(2017·武昌调研)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=9,a2 为整数,且 Sn≤S5. (1)求{an}的通项公式;

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