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2018-2019年数学高中学业水平测试:专题十一第37讲数列的概念与简单表示法

专题十一 数列

第37讲 数列的概念与简 单表示法

1.数列的定义

按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每

一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类

分类原则 类型

满足条件

有穷数列

项数有限

按项数分类 无穷数列

项数无限

按项与项间 递增数列 an+1>an

的大小关系 递减数列 an+1<an 其中 n∈N*

分类

常数列

an+1=an

有界数列 存在正数 M,使|an|≤M

按其他标准

从第 2 项起,有些项大于

分类 摆动数列 它的前一项,有些项小于

它的前一项的数列

3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解 析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一 个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn,则 an=

??S1(n=1),

? ??

Sn-Sn-1(n≥2).

1.由数列的前几项求数列的通项公式 【例1】 根据数列的前几项,写出下列各数列的一 个通项公式. (1)-1,7,-13,19,…; (2)0.8,0.88,0.888,…; (3)12,14,-58,1136,-2392,6614,….

解:(1)数列中各项的符号可通过(-1)n 表示,从第 2 项起,每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大 6,故 通项公式为 an=(-1)n(6n-5).
(2)数列变为89???1-110???,89???1-1102???,89???1-1103???,…, 故 an=89???1-110n???.

(3)各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出第 2, 3,4 项的分子分别比分母小 3.
2-3 因此把第 1 项变为- 2 ,
21-3 22-3 23-3 24-3 原数列化为- 21 , 22 ,- 23 , 24 ,…,
2n-3 故 an=(-1)n 2n .

剖析:根据所给数列的前几项求其通项时,需仔细观 察分析,抓住其几方面的特征:分式中分子、分母的各自 特征;相邻项的联系特征;拆项后的各部分特征;符号特 征.应多进行对比、分析,从整体到局部多角度观察、归 纳、联想.

【例2】 (1)已知数列{an}满足an+1=

???2an,???0≤an≤12???, ??2an-1,???12≤an<1???,

若a1=67,则a8的值为(

)

A.67

B.37

C.57

D.17

(2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1,则其通项 公式为________________.

解析:(1)因为an+1=?????22aann, -???10,≤???a12n≤<a12n???<,1???,所以a1= 67时,a2=2a1-1=57,a3=2a2-1=37,a4=2a3=67,由此 可以看出,{an}是周期数列,周期为3,所以a8=57,故选 C.

(2)当n=1时,a1=S1=3×12-2×1+1=2;当n≥2 时,
an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1] =6n-5,显然当n=1时,不满足上式.
故数列的通项公式为an=?????26, n-n= 5,1, n≥2. 答案:(1)C (2)an=?????26, n-n= 5,1, n≥2.

剖析:数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关系是 an=

??S1,n=1,

?



??Sn-Sn-1,n≥2.

n=1

时,a1

若适合

Sn-Sn-1,则

n

=1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an;当 n=1 时,a1 若不

适合 Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.

3.由数列的递推关系求通项公式

【例 3】 (1)已知数列{an}满足 a1=1,an=n-n 1·an

-1(n≥2),则 an=________.

(2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2an- 1(n∈N*),则 a5 等于( )

A.-16 B.16

C.31

D.32

n-1

n-2

解析:(1)∵an= n an-1 (n≥2),∴an-1=n-1an-

2,…,a2=12a1.

以上(n-1)个式子相乘得 an=a1·12·23·…·n-n 1=an1=n1. 当 n=1 时也满足此等式,∴an=n1.

(2)当 n=1 时,S1=2a1-1,∴a1=1.当 n≥2 时,Sn- 1=2an-1-1,∴an=2an-2an-1,∴an=2an-1.
∴{an}是等比数列且 a1=1,q=2,故 a5=a1×q4=24 =16.
答案:(1)n1 (2)B

剖析:已知数列的递推关系,求数列的通项时,通常 用累加、累乘、构造法求解.
当出现 an=an-1+m 时,构造等差数列;当出现 an =xan-1+y 时,构造等比数列;当出现 an=an-1+f(n)时, 用累加法求解;当出现 an =f(n)时,用累乘法求解.
an-1

4.数列的性质

【例4】

(1)数列{an}满足an+1=?????22aann,-01≤,12a<n≤a12n,<1,

a1=35,则数列的第2 015项为_____. (2)设 an=-3n2+15n-18,则数列{an}中的最大项的
值是( )

16 A. 3 C.4

13 B. 3 D.0

解析:(1)由已知可得,a2=2×35-1=15,a3=2×15= 25,a4=2×25=45,a5=2×45-1=35,
∴{an}为周期数列且 T=4,∴a2 015=a3=25. (2)∵an=-3???n-52???2+34,由二次函数性质,得当 n
=2 或 3 时,an 最大,最大值为 0. 答案:(1)25 (2)D

剖析:(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法: ①用作差比较法,根据 an+1-an 的符号判断数列{an} 是递增数列、递减数列或是常数列.
an+1 ②用作商比较法,根据 an (an>0 或 an<0)与 1 的大 小关系进行判断.

③结合相应函数的图象直观判断. (2)解决数列周期性问题的方法. 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周 期,再根据周期性求值. (3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值 的思想求解.

1.数列23,-45,67,-89,…的第 10 项是(

)

A.-1167 B.-1189 C.-2201 D.-2223 解析:所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通

项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分

母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an= (-1)n+1·2n2+n 1,故a10=-2201.

答案:C

2.已知数列{an},a1=3,a2=6,且an+2=an+1- an,则数列的第五项为( )
A.6 B.-3 C.-12 D.-6 解析:根据已知条件,数列{an},a1=3,a2=6,且 an+2=an-1-an,则可知a3=a2-a1=3,a4=-3,a5=a4 -a3=-6,可知数列的第五项为-6,选D. 答案:D

3.若数列{an}的前n项和Sn=n2-2n+3,那么这个 数列的前3项依次为( )

A.-1,1,3

B.2,1,0

C.2,1,3

D.2,1,6

解析:因为Sn=n2-2n+3,所以a1=S1=2,a2=S2

-a1=3-2=1,a3=S3-a2-a1=6-3=3,故选C. 答案:C

4.若数列{an}中an=-n2+6n+7,则其前n项和Sn 取最大值时,n=( )
A.3 B.6 C.7 D.6或7 解析:令an=-n2+6n+7≥0,解得1≤n≤7.所以 该数列的第7项为零,该数列的前6或7项的和最大. 答案:D

5.下列关于星星的图案构成一个数列,该数列的一 个通项公式是( )

A.an=n2-n+1

B.an=n(n2-1)

C.an=n(n2+1) D.an=n(n2+2)

解析:从图中可观察星星的构成规律,当 n=1 时, 有 1 个;
当 n=2 时,有 3 个;当 n=3 时,有 6 个;当 n=4 时,有 10 个;…
n(n+1) 归纳推出 an= 2 .另外,本题可以用排除法, 由 a1=1,排除 B、D;再由 a3=6 排除 A.故选 C. 答案:C

6.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2+2n+1(n∈N*), 则 an=________.
解析:当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n+1,当 n=1
??4,n=1, 时,a1=S1=4≠2×1+1,因此 an=???2n+1,n≥2.
??4,n=1, 答案:???2n+1,n≥2

7.在数列{an}中,已知 a1=1,a2=2,an+1=an+an +2(n∈N*),则 a7=________.
解析:由已知 an+1=an+an+2,a1=1,a2=2,能够 计算出 a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1.
答案:1

8.设数列{an}满足an+1=

??2an,0≤an≤12, ? ??2an-1,12<an≤1,

若a1

=67,则a2013=________.

解析:根据题意,由于{an}满足an+1= ?????22aann, -01≤ ,12a<n≤a12n, ≤1,那么可知当a1=67,则a2=57,

a3=

3 7

,a4=

6 7

,可知数列的周期为3,那么可知2013

=3×670+3,a2013=a3=37,故可知答案为37.

答案:37

9.设数列{an}满足a1=2,an+1=a

2 n

-nan+1,n=1,

2,3,…,

(1)求a2,a3,a4; (2)猜想出{an}的一个通项公式并用数学归纳法证明你 的结论.

解:(1)a2=a21-a1+1=3,a3=a22-2a1+1=4,a4=5. (2)an=n+1(n≥1). 下面用数学归纳法证明如下:

①当n=1时,a1=2=1+1,等式成立. ②假设当n=k时等式成立,即ak=k+1,那么ak+1 =a2k-kak+1=(k+1)2-k(k+1)+1=k+2=(k+1)+1也 就是说,当n=k+1时,ak+1=(k+1)+1也成立.根据 (1)、(2)对于所有n≥1,有an=n+1.

10.已知数列{an}中,a1=1,前n项和Sn=n+3 2an. (1)求a2,a3; (2)求{an}的通项公式. 解:(1)由S2=43a2得3(a1+a2)=4a2, 解得a2=3a1=3.
由S3=53a3得3(a1+a2+a3)=5a3,

解得 a3=32(a1+a2)=6. (2)由题设知 a1=1.
n+2 n+1 当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1= 3 an- 3 an-1,
n+1 整理得 an=n-1an-1. 于是 a1=1,

a2=31a1, a3=42a2, … an-1=n-n 2an-2,
n+1 an=n-1an-1.

将 以 上 n 个 等 式 两 端 分 别 相 乘 , 整 理 得 an =
n(n+1) 2. 显然,当 n=1 时也满足上式.
n(n+1) 综上可知,{an}的通项公式 an= 2 .


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