当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学1.2任意角的三角函数1.2.3同角三角函数的基本关系式优化训练

1.2.3
1.已知 sinα = A.

同角三角函数的基本关系式

5 分钟训练(预习类训练,可用于课前)

4 3
2

3 ,α ∈(0,π ) ,则 tanα 的值等于( ) 5 3 3 B. C.± 4 4
2

D.±

4 3

解析:由 sin α +cos α =1,α ∈(0,π ) , ∴cosα =± 1 ? sin ∴tanα = 答案:C 2.已知 cosθ = A.
2

? =± .

sin ? 3 =± . cos ? 4

4 5

3 4
2

4 3? 1 ,且 <θ <2π ,那么 的值为( 5 2 tan ? 3 5 B. ? C. 3 4
2

) D. ?

4 3

解析:由 sin θ +cos θ =1,得 sinθ =± 1 ? cos 因为

2

?.

4 2 3? 3 sin ? 4 <θ <2π ,故 sinθ <0,所以 sinθ = ? 1 ? ( ) = ? ,tanθ = =? . 2 5 cos ? 3 5 t 1? t 2

答案:D 3.若 tanα =t(t≠0) ,且 sinα = ? A.第一、二象限角 C.第三、四象限角 解析:由 tanα = ,则 α 是( )

B.第二、三象限角 D.第一、四象限角

1 sin ? sin ? 得 cosα = ,所以 cosα = ? <0,故 α 是第二、三象 cos ? tan ? 1? t 2

限角. 答案:B 2 2 2 4.若 tanα =2,则(1)cos α =________________; (2)sin α -cos α =________________. 解析: (1)由题意和基本三角恒等式,列出方程组

?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, ? ? sin ? ? 2, ? ? cos?
由②得 sinα =2cosα ,代入①,整理得 5cos α =1,cos α = (2)由(1)得 sin α =12 2 2

1 . 5

1 4 = , 5 5

所以 sin α -cos α = 答案: (1)

2

2

1 5

4 1 3 - = . 5 5 5 3 (2) 5
) D.

10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.已知 sinα = A. ?

4 3
2

3 ,并且 α 是第二象限角,那么 tanα 的值等于( 5 3 3 B. ? C. 4 4
2

4 3

解析:由 sin α +cos α =1,α 是第二象限角,得 cosα = ? 1 ? ( ) ? ?
2

3 5

4 . 5

∴tanα = 答案:B

sin ? 3 =? . cos ? 4

2.如果角 x 的终边位于第二象限, 则函数 y=

sin x 1 ? cos2 x

?

cos x 1 ? sin 2 x

的值可化简为 (



A.1 B.2 C.0 D.-1 2 2 解 析 : 利 用 同 角 基 本 关 系 式 sin x+cos x=1 以 及 x 属 于 第 二 象 限 , 有 y=

sin cos x sin x cos x ? ? ? =1-1=0. | sin x | | cos x | sin x ? cos x

答案:C 3.如果角 α 满足关系式

sin ? 1 ? cot2 ?

?

cos? 1 ? tan2 ?

=1,则角 α 的终边位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:由已知条件有 sinα |sinα |-cosα |cosα |=1,故 sinα >0 且 cosα <0.所以 α 属 于第二象限. 答案:B 4.化简 1 ? sin 解析:因为
2

3? 得到的结果是___________________. 5

3? 3? ? 3? < <π ,所以 是第二象限角,cos <0, 2 5 5 5
2

所以 1 ? sin 答案:-cos

3? 3? 3? 3? ? cos2 =|cos |=-cos . 5 5 5 5

3? 5

5.已知 2sinα -cosα = 3 sinα ,那么 cosα =_________________.

解析:由 2sinα -cosα = 3 sinα ,得(2- 3 )sinα =cosα ,sinα =(2+ 3 )cosα , 由 sin α +cos α =1,得(2+ 3 ) cos α +cos α =1,解之,得 cosα =±
2 2 2 2 2

6? 2 . 4

答案:±

6? 2 4

6.化简: (

1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos? 1 ? cos? ? )?( ? ). 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos? 1 ? cos?

(1 ? sin ? ) 2 (1 ? sin ? ) 2 (1 ? cos? ) 2 (1 ? cos? ) 2 解:原式=[ ]·[ ] ? ? cos2 ? cos2 ? sin 2 ? sin 2 ?
=(

1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos? 1 ? cos? 2 sin ? 2 cos? ? ? ? )·( )= | sin ? | | sin ? | | cos? | | sin ? | | cos? | | cos? |

=?

?4, ?? 4,

?在第一, 三象限时, ?在第二,四象限时.
?
2 4 ? ,且 α 是第二象限角,则 tan 等于( 5 2 3 4 B. C.± 4 3

30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.设 sin A. = ) D.±

? ? ? ? < α < 2kπ +π (k∈Z ) , kπ + < < kπ + 2 2 4 2 ? ? 4 ? ( k∈Z ) .∴ 是 第 一 、 三 象 限 角 . 而 sin = >0,∴ 是第一象限角,由 2 2 5 2 ? sin ? 3 ? ? ? ? 2 2 2 2 ? 4. ? ,∴tan ? sin +cos =1,得 cos = 1 ? sin 2 2 2 2 5 2 cos ? 3 2
解析:∵α 是第二象限角,∴2kπ + 答案:A 2.已知 tanx=

4 3

3 4

2a ,其中 0<a<1,x 是三角形的一个内角,则 cosx 的值为( a ?1
2



A.

2a 2 a ?1
2

B.

1? a2 a2 ?1

C.

a2 ?1 a2 ?1

D.±

a2 ?1 a2 ?1

解析:∵0<a<1,∴

2a <0.∴x 是第二、四象限角.又 x 是三角形的一个内角, a ?1

?sin 2 x ? cos2 x ? 1, ? ∴x 是第二象限角.由题意和基本三角恒等式,得到方程组 ? sin x 2a ? 2 , ? ? cos x a ? 1

解得 cos x=(

2

a2 ?1 2 a2 ?1 ) ,∴cosx= . a2 ?1 a2 ?1
) D.

答案:C 2 2 3.如果 tanθ =2,那么 sin θ +sinθ ·cosθ +cos θ 的值是( A.

7 3

B.

7 5

C.

5 4

5 3

? sin ? ? 2, ? 解析:由题意和基本三角恒等式,得到方程组 ? cos? ?sin 2 ? ? cos2 ? ? 1, ?
∴cos θ =
2 2

1 . 5
2 2

∴sin θ +sinθ ·cosθ +cos θ =1+2cos θ =

7 . 5

答案:B n n 4.如果 sinα +cosα =1,则 sin x+cos x(n∈Z)的值为( ) A.-1 B.1 C.1 或-1 D.2 2 解析: 由 sinα +cosα =1, 则 (sinα +cosα )=1, 故 sinα cosα =0.若 sinα =0, 则 cosα =1. n n n n 这时 sin α +cos α =1;若 cosα =0,则 sinα =1,这时也有 sin α +cos α =1. 答案:B 5.若|sinθ |=

1 9? , <θ <5π ,则 tanθ 的值为( 5 2
B. ? 2 6 C. ?



A.

6 12

6 12

D. 2 6

解析:因为

9? 1 ? <θ <5π ,即 4π + <θ <4π +π ,所以 θ 是第二象限角,sinθ = .所 2 2 5

以 cosθ = ? 1 ? sin 2 ? ? ? 答案:C 6.化简 A.1 解析:原式=

2 6 sin ? 6 ,tanθ = ,应选 C 项. ?? 5 cos? 12

1 ? 2 sin 10 ? ? cos 10 ? sin 10 ? ? 1 ? sin 2 10 ?

的值为(

) C.2 D.-2

B.-1

sin 2 10? ? 2 sin 10? cos10? ? cos2 10? sin 10? ? cos2 10?

?

(sin10? ? cos10?) 2 sin 10? ? cos10?

?

? (sin 10? ? cos 10?) =-1. sin 10? ? cos 10?

答案:B 7.已知

sin 2 ? ? 4 =2,则(cosθ +3)·(sinθ +1)的值为( cos? ? 1



A.4 解析:由

B.0

C.2

D.0 或 4

sin 2 ? ? 4 2 2 =2 得 1-cos θ +4=2cosθ +2,整理得 cos θ +2cosθ -3=0,解得 cosθ =1 cos? ? 1

或 cosθ =-3(舍去) ,所以 sinθ =± 1 ? cos2 ? =0.所以(cosθ +3)·(sinθ +1)=4. 答案:A 8.(2006 高考重庆卷,文 13)已知 sinα =

2 5 ? , <α <π ,则 tanα =_______________. 5 2

解析:由 sinα = 答案:-2

2 5 ? 5 , <α <π 可得 cosα = ? ,tanα =-2. 2 5 5

1 ,θ ∈(0,π ) ,则 cotθ 的值是_____________. 5 1 1 解 析 : 因 为 sinθ +cosθ = , 两 边 平 方 , 得 1+2sinθ ·cosθ = ,所以 5 25 24 2sinθ ·cosθ = ? . ① 25 49 2 因为 θ ∈(0,π ) ,所以 cosθ <0<sinθ .由于(sinθ -cosθ ) =1-2sinθ ·cosθ = , 25 7 所以 sinθ -cosθ = .② 5 3 ? cos? 3 4 3 联立①②,解得 sinθ = ,cosθ = ? ,所以 cotθ = ? 5 ?? . 4 5 5 sin ? 4 5 3 答案: ? 4
9.已知 sinθ +cosθ = 10.(1)已知 sinθ =

sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 5 ?1 ? ,求 的值. sin ? ? cos ? sin ? ? cos ? 4 sin ? ? 9 cos ? 的值. 2 ? 3 sin ?

(2)已知 5sinθ +12cosθ =0,求

(sin? ? cos? ) 2 ? (sin? ? cos? ) 2 2(sin 2 ? ? cos2 ? ) ? ? 解: (1) 原式= sin 2 ? ? cos2 ? 2 sin 2 ? ? 1

2 2?( 5 ?1 2 ) ?1 4

=2?2 5 . (2)由 5sinθ +12cosθ =0,得 tanθ = ?

12 <0,故 θ 角在第二或第四象限,当 θ 在第二 5

象限时,cosθ = ?

1 1 ? tan ?
2

??

5 1 5 ,当 θ 在第四象限时,cosθ = ? , 2 13 1 ? tan ? 13

∴原式=

(tan ? ? 9) ? cos ? 33 33 ? 或 . 2 ? 3 tan ? ? cos ? 10 62
2

11.若 tanα 、tanβ 是方程 x -2(log872+log972)x-log872·log972=0 的两个根, 求 sinα ·cosβ +cosα ·sinβ +2sinα ·sinβ 的值. 解:由定理得 ?

?tan? ? tan ? ? 2(log8 72 ? log9 72), ?tan? ? tan ? ? ? log8 72 ? log9 72,
log72 8 ? log72 9 log72 72 1 1 ? ? ? log72 8 log72 9 log72 8 ? log72 9 log72 8 ? log72 9



log872+log972=

=log872·log972. 所以 tanα +tanβ =2log872·log972. 所以 sinα ·cosβ +cosα ·sinβ +2sinα ·sinβ =cosα ·sinβ (tanα +tanβ +2tanα ·tanβ ) =cosα ·sinβ (2log872·log972-2log872·log972)=0.