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【步步高】(全国通用)版高考数学 考前三个月复习冲刺 第二篇 第6讲 函数与导数课件 理

第二篇 看细则,用模板,解题再规范 第6讲 函数与导数 题型一 题型二 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题 导数的综合应用问题 题型一 利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题 例1 (13分)(2014· 安徽)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3, 其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性; (2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值. 规范解答 解 f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2. [1分] 令f′(x)=0, -1- 4+3a -1+ 4+3a 得 x1= ,x2= ,x1<x2, 3 3 所以f′(x)=-3(x-x1)(x-x2). 当x<x1或x>x2时,f′(x)<0; [2分] 当x1<x<x2时,f′(x)>0. 单调递增. [4分] [5分] 故f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)内单调递减,在(x1,x2)内 (2)因为a>0,所以x1<0,x2>0. [6分] ①当a≥4时,x2≥1,由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以f(x)在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值;[8分] ②当 0<a<4 时, x2<1 ,由 (1) 知, f(x) 在 [0 , x2] 上单调递增, 在[x2,1]上单调递减, -1+ 4+3a 所以 f(x)在 x=x2= 处取得最大值. 3 [10 分] 又f(0)=1,f(1)=a, 所以当0<a<1时,f(x)在x=1处取得最小值; 当1<a<4时,f(x)在x=0处取得最小值. [13分] [11分] 当a=1时,f(x)在x=0处和x=1处同时取得最小值;[12分] 评分细则 第(1)问得分点 1.若没写出定义域可不扣分. 2.若f′(x)<0与f′(x)>0解集出错,只得2分. 3.若(-∞,x1)和(x2,+∞)中间用∪连接,扣1分. 第(2)问得分点 1.没根据a≥4与0<a<4分类讨论,不得分. 2.当0<a<4时,没根据0<a<1,a=1,1<a<4讨论,扣3分. 3.按a>4与0<a≤4分类讨论,同样得分. 4.当0<a<4时,把a=1合并在0<a<1或1<a<4讨论,同样 得分. 答题模板 第一步:确定函数的定义域.如本题函数的定义域为R; 第二步:求f(x)的导数f′(x); 第三步:求方程f′(x)=0的根; 第四步:利用f′(x)=0的根和不可导点的x的值从小到大顺 次将定义域分成若干个小开区间,并列出表格; 第五步:由 f′(x)在小开区间内的正、负值判断 f(x)在小开 区间内的单调性; 第六步:明确规范地表述结论; 第七步:反思回顾.查看关键点、易错点及解题规范. 2ax-a2+1 跟踪训练1 已知函数f(x)= (x∈R).其中a∈R. 2 x +1 (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 2x 4 解 当 a=1 时,f(x)= 2 ,f(2)= , 5 x +1 2?x2+1?-2x· 2x 2-2x2 6 又 f′(x)= = 2 . 2 2 2,f′(2)=- 25 ?x +1? ?x +1? 所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 4 6 y- =- (x-2),即 6x+25y-32=0. 5 25 (2)当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值. 解 2a?x2+1?-2x?2ax-a2+1? f′(x)= ?x2+1?2 -2?x-a??ax+1? = . ?x2+1?2 由于a≠0,以下分两种情况讨论. 1 ①当 a>0 时,令 f′(x)=0,得到 x1=- ,x2=a. a 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) 1 (-∞,- ) a - ↘ 1 - a 0 极小值 1 (- ,a) a + ↗ a 0 极大值 (a,+∞) - ↘ 所以 ? 1? ? f(x)在区间?-∞,-a? ?,(a,+∞)内为减函数, ? ? ? 1 ? ? ? - , a 在区间? a ?内为增函数. ? ? ? 1? 1 ? - 函数 f(x)在 x1=- 处取得极小值 f? ? a?, a ? ? 且 ? 1? ? 2 - f? =- a . ? a? ? ? 函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1. 1 ②当 a<0 时,令 f′(x)=0,得到 x1=a,x2=- , a 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f (x ) (-∞,a) + ↗ a 0 极大值 1 (a,- ) a - ↘ 1 - a 0 极小值 1 (- ,+∞) a + ↗ 所以 ? 1 ? ? f(x)在区间(-∞,a),?-a,+∞? ?内为增函数,在区 ? ? ? 1? ? ? a ,- 间? 内为减函数. a? ? ? 函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1. 1 1 函数 f(x)在 x2=-a处取得极小值 f(-a), ? 1? ? 2 - 且 f? =- a . ? a? ? ? 1 综上,当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-a,a),单 1 调递减区间为(-∞,- ),(a,+∞), a 极大值为1,极小值为-a2. 1 当 a<0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,a),(- ,+∞), a 1 单调递减区间为(a,-a),极大值为 1,极小值为-a2. 题型二 导数的综合应用问题 例2 1- a 2 (12 分 )(2014· 课标全国 Ⅰ)f(x) = aln x + x- 2 bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为0. (1)求b; a (2)若存在 x0≥1,使得

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