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人教版·选修1-1充要条件2


人教版· 选修1-1 §1.2.2 充要条件

复习回顾

p ? q 1.若p则q为真 ,记作_____________; p ? q 若p则q为假 ,记作_____________.
p ? q 且q ? p 2. p是q的充分不必要条件的含义:————。 p ? q 且q ? p p是q的必要不充分条件的含义:—————。 p ? q 且q ? p ( p ? q ) p是q的充要条件的含义:—————。

p ? q 且q ? p p是q的既不充分也必要条件的含义:————。

3集合法,即用集合的包含关系判断.设命题p, q对应的集合分别为A,B.
若 A? B,则 p 是 q 的充分不必要条件 若 B? A,则 p 是 q 的必要不充分条件 若 A=B,则 p、q 互为充要条件 若 A 不是 B 的子集, 且 B 不是 A 的子集, 则 p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的 必要条件

指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必 要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、 “既不充分又不必要条件”中选出一种作答).

(1)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC;
(2)在△ABC中,p:sin A>sin B,q:tan A>tan B; (3)已知x,y∈R,p:(x-1)2+(y-2)2=0,

q:(x-1)(y-2)=0.

练习3:
1.已知p是q的必要而不充分条件, 充分不必要条件 那么┐p是┐q的_______________. 2.对于实数x,y,p:x+y≠8,q:x≠2或 充分不必要条件 y≠6; p是q的____________. 3.已知p: xy≠0 , q:x≠0或y≠0 充分不必要条件 p是q的____________.
注:等价法(转化为逆否命题)

3:若┐A是┐B的充要条件,┐C是┐B的充 要条 A 件,则A为C的( )条件
A.充要 C充分不必要 B必要不充分 D不充分不必要
?

等价转化法,即利用A?B ┐B? ┐ A, A?B与┐B? ┐A来判断.一般地,对于 条件或结论是否定形式的命题,可运用等 价转化法判断.

练习
1、已知p,q都是r的必要条件, s是r的充分条件,q是s的充 分条件,则 (1)s是q的什么条件?充要条件 (2)r是q的什么条件? 充要条件 (3)P是q的什么条件?必要条件
2.若A是B的必要而不充分条件,C是B 的充要条件,D是C的充分而不必要条 充分不必要条件 件,那么D是A的________

回顾总结: 1、条件的判断方法:

定义法

集合法

等价法(逆否命题)

2、图形分析法(网) 练习:P12 A组 T2、3

已知p:x2-8x-20>0,q:x2-2x+1-m2 >0(m>0),若p是q的充分不必要条件,求实数 m的取值范围. 【思路点拨】用集合的观点考察问题.先求出p, q对应的集合,再由 p?q但q ? / p 来求m的取值 范围.

2.已知M={x|(x-a)2<1},N={x|x2-5x-24<0}, 若x∈M是x∈N的充分条件,求a的取值范围.
解:由(x-a)2<1,得a-1<x<a+1, ∴M=(a-1,a+1). 又x2-5x-24<0,得-3<x<8, ∴ N= (- . 由 x∈ M3,8) 是x ∈N 的充分条件,
因此 M?N.
? ?a-1≥-3, 故? ? ?a+1≤8,

解之得-2≤a≤7, ∴实数 a 的取值范围是{a|-2≤a≤7}.

例4:已知: ⊙ O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d。 求证:d ? r是直线l与⊙ O相切的充要条件。

分析: 设:p: d=r, q:直线L与⊙O相切. 要证p是q的充要条件,只需分别证明 充分性 q ? p 和必要性 p ? q 即可
O

P

Q

充要条件的证明问题 1: 求证:关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 有一 个

根为-1的充要条件是a-b+c=0. 【解题回顾】充要条件的证明一般分两步:
证充分性即证A =>B, 证必要性即证B=>A

2.求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根 和一负根的充要条件是ac<0. 证明:充分性:(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
∵ac<0, ∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac> 0, ∴方程一定有两个不相等的实根.设为x1,x2,

c 则 x1x2=a<0, ∴方程的两根异号. 即方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根. 必要性:(由方程有一正根和一负根推证 ac<0) ∵方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负根,设为 x1,x2,则 c 由根与系数的关系得 x1x2=a<0,即 ac<0, 综上可知:一元二次方程 ax2+bx+c=0 有一正根和一负 根的充要条件是 ac<0.


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