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上海市闸北区2013届高三数学上学期期末教学质量调研试题 文 沪教版

闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷(一模)

考生注意: 1. 本次测试有试题纸和答题纸,解答必须在答题纸上,写在试题纸上的解答无效. 2. 答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、学校、考试号,以及试卷类型等填写清楚,
并在规定区域内贴上条形码. 3. 本试卷共有 18 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

一、填空题(60 分)本大题共有 10 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果,每 个空格填对得 6 分,否则一律得零分.

1.已知 (a ? i)2 ? 2i ,其中 i 是虚数单位,那么实数 a ?



2.已知 (1 ? px 2 )5 的展开式中, x 6 的系数为 80 ,则 p ?



3.设?an ?是公比为

1 2

的等比数列,且

lni?m?(a1

?

a3

?

a5

?

???

?

a2n?1 )

?

4 ,则

a1

?



4.设双曲线 x2 ? y2 ? 1 的右顶点为 A ,右焦点为 F .过点 F 且与双曲线的一条渐近线平 9 16

行的直线与另一条渐近线交于点 B ,则 ?AFB的面积为



5.函数

f

(x)

?

?21?x , ?

 x

?

0,

则 f (3.5)的值为



? f (x ?1), x ? 0.

6.一人在海面某处测得某山顶 C 的仰角为? (0? ? ? ? 45? ) ,在海面上向山顶的方向行进

m 米后,测得山顶 C 的仰角为 90? ? ? ,则该山的高度为

米.(结果化简)

7.已知点 P 在抛物线 y2 ? 4x 上,那么点 P 到点 Q(2,?1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离

之和取得最小值时,点 P 的坐标为



8.甲、乙、丙 3 人安排在周一至周五的 5 天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且

每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面.不同的安排方法共有

种.

9.(文)若实常数

a

?

?1,??

?,则不等式

log

a

(1

?

1 x

)

?

1

的解集为



10.(文)设函数

f

(

x)

?

??x ? ??x

? 2 x , x ? 0, ?2 ,  x ? 0.

则方程

f (x) ? x2

? 1有实数解的个数为



二、选择题(15 分)本大题共有 3 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确

的,必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.

11.(文)圆 x2 ? y2 ? 1与直线 y ? kx ? 2 没有公共点的充要条件是

【】

A. k ? (? 2, 2)

B. k ? (??, ? 2) ( 2, ??)

C. k ? (? 3, 3)

D. k ? (??, ? 3) ( 3, ??)

12.已知向量 a , b 满足:| a |?| b |? 1,且| ka ? b |? 3 | a ? kb |( k ? 0 ).则向量 a 与

向量 b 的夹角的最大值为

A. ? 6

B. ? 3

C. 5? 6

D. 2? 3

【】

13.以下四个命题中,真命题的个数为
①集合?a1, a2 , a3 , a4 ?的真子集的个数为15 ;

【】

1

②平面内两条直线的夹角等于它们的方向向量的夹角;

③设 z1, z2

?C

,若 z12

?

z

2 2

?

0 ,则 z1

?

0 且 z2

?0;

④设无穷数列?an ?的前 n 项和为 S n ,若?Sn ?是等差数列,则?an ?一定是常数列.

A. 0

B.1

C. 2

D. 3

三、解答题(本题满分 75 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对

应的题号)内写出必要的步骤.

14.(本题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分)
已知函数 f (x) ? cosx(sin x ? cosx) , x ? R .

(1)请指出函数 f (x) 的奇偶性,并给予证明;

(2)当

x

?

???0,

? 2

? ??

时,求

f

(x)

的取值范围.

15.

(文)(本题满分 14 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分)
如图,某农业研究所要在一个矩形试验田 ABCD内种植三种农作物,三种农作物分别
种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有
1 米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为 800 平方米. (1)设试验田 ABCD的面积为 S , AB ? x ,求函数 S ? f (x) 的解析式;

(2)求试验田 ABCD占地面积的最小值.
16.(文)(本题满分 15 分,第 1 小题满分 9 分,第 2 小题满分 6 分)
设定义域为 R 的奇函数 y ? f (x) 在区间 (??,0) 上是减函数.
(1)求证:函数 y ? f (x) 在区间 (0,??) 上是单调减函数;

(2)试构造一个满足上述题意且在 (??,??) 内不是单调递减的函数.(不必证明)
17.(文)(本题满分 16 分,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 9 分)

设点 F1 , F2 分别是椭圆 C

:

x2 2

?

y2

? 1的左、右焦点, P 为椭圆 C 上任意一点.

(1)求数量积 PF1 ? PF2 的取值范围; (2)设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 C 于 A 、 B 两点,线段 AB 的垂直平分
线与 x 轴交于点 G ,求点 G 横坐标的取值范围.

18.(文)(本题满分 18 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6

分)

若数列 ?bn ?满足:对于 n ? N? ,都有 bn?2 ? bn ? d (常数),则称数列?bn ?是公差为 d

的准等差数列.如:若 cn

?

?4n ??4n

? ?

1,当n为奇数时;

9,当n为偶数时.

?c

n

?是公差为

8

的准等差数列.

(1)求上述准等差数列 ?cn ?的第 8 项 c8 、第 9 项 c9 以及前 9 项的和T9 ;

(2)设数列?an ?满足: a1 ? a ,对于 n ? N? ,都有 an ? an?1 ? 2n .求证:?an ?为准

等差数列,并求其通项公式;

2

(3)设(2)中的数列?an ?的前 n 项和为 S n ,若 S63 ? 2012 ,求 a 的取值范围.

闸北区 2013 学年度第一学期高三数学期末练习卷答案

一、1. ?1; 2.2;

3.3;

4. 10 ; 5. 2 2 ; 6. 1 m tan 2? ;

3

2

7.

? ??

1 4

,?

1???



8.20;

9. ?? 1 ,0?? ; 10.(文)2. ?1? a ?

二、11.C. 12.B. 13.B.

三、14.解: f (x) ? 2 sin?? 2x ? ? ?? ? 1 2 ? 4? 2

(3 分)

(1)? f ?? ? ? ?? ? 1 ? ? 2 ?1 ? ? f ?? ? ?? ,? f (x) 是非奇非偶函数.

? 8? 2

2

?8?

(3 分)

注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如? f (0) ? 1 ? 0 ,? f (x) 不是奇函数.

(2)由

x

?

???0,

? 2

? ??

,得

? 4

?

2x

?

? 4

?

5? 4

,?

2 ? sin??2x ? ? ?? ? 1.

2

? 4?

(4 分)

所以 0 ? 2 sin?? 2x ? ? ?? ? 1 ? 2 ? 4? 2

2 ?1 2

.即

f

(x)

?

? ?0, ?

2? 2

1? ? ?



15.解:设 ABCD的长与宽分别为 x 和 y ,则

(2 分)

(x ? 4)(y ? 2) ? 800

(3 分)

y ? 792 ? 2x x?4

(2 分)

试验田 ABCD的面积 S ? xy ? (792 ? 2x)x (2 分) x?4

令 x ? 4 ? t , t ? 0 ,则 S ? 2t ? 3200 ? 808 ? 968, t

(4 分)

当且仅当 2t ? 3200 时, t ? 40,即 x ? 44 ,此时, y ? 22 . t

(2 分)

答: 试验田 ABCD的长与宽分别为 44 米、22 米时,占地面积最小为 968 米 2. (1 分)

16.(文)解(1)任取 x1, x2 ? (0,??) , x1 ? x2 ,则由 0 ? ?x1 ? ?x2 由 y ? f (x) 在区间 (??,0) 上是单调递减函数,有 f (?x1) ? f (?x2 ) , 又由 y ? f (x) 是奇函数,有 ? f (x1) ? ? f (x2 ) ,即 f (x1) ? f (x2 ) . 所以,函数 y ? f (x) 在区间 (0,??) 上是单调递减函数.

(2 分) (3 分) (3 分) (1 分)

3

?? x ? 2, x ? 0, (2)如 f (x) ? ??0,   x ? 0,



f

(x)

?

?1 ? ?x

,

x

?

0,



??? x ? 2, x ? 0.

??0, x ? 0.

17.(文)解:(1)由题意,可求得 F1 (?1,0) , F2 (1,0) .

设 P(x, y) ,则有 F1P ? (x ?1, y) , F2P ? (x ?1, y)

? ? PF1

?

PF2

?

x2

?

y2

?1 ?

1 2

x2, x ?

?

2,

2

所以, PF1 ? PF2 ??0,1?.

(6 分)
(1 分) (3 分) (2 分) (1 分)

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k(x ?1)(k ? 0) ,

(1 分)

代入 x 2 ? y 2 ? 1,整理得 (1 ? 2k 2 )x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,(*) 2

(2 分)

因为直线 AB 过椭圆的左焦点 F1 ,所以方程*有两个不相等的实根.

设 A(x1 , y1 ) , B(x2 , y2 ) , AB 中点为 M (x0 , y0 ) ,则

x1

?

x2

?

?

4k 2k 2

2
?

1



x0

?

2k 2 ?



2k 2 ?1

y0

?

k. 2k 2 ?1

(2 分)

线段

AB 的垂直平分线 NG

的方程为

y

?

y0

?

?

1 k

(x

?

x0 ) .

(1 分)



y

?

0 ,则 xG

?

x0

? ky0?

? 2k 2 ? 2k 2 ?1

k2 2k 2 ?1

?

? k2 2k 2 ?1

?

?1 2

?

1 .(2 分) 4k 2 ? 2

因为 k

?

0 ,所以 ?

1 2

?

xG

?

0 .即点 G

横坐标的取值范围为 ?? ? ?

1 ,0?? . 2?

(1 分)

18.(文)解:(1) c8 ? 41 , c9 ? 35

T9

?

(3 ? 35) ? 5 2

?

(17

? 41) ? 4 2

?

211.

(2)? an ? an?1 ? 2n



an?1 ? an?2 ? 2(n ? 1)



②-①得 an?2 ? an ? 2 .

所以,?an ?为公差为 2 的准等差数列.

(2 分) (4 分)
(2 分)

当n

为奇数时, an

?

a

? ?? n ? 1 ?1?? ? 2 ?2 ?

?

n

?a

?1;

(2 分)

当n

为偶数时, an

?

2 ? a ? ?? n ?2

?1?? ? 2 ?

?

n?a



(2 分)

?n ? a ?1(, n为奇数) ? an ? ??n ? a,  (n为偶数)

(3)解一:在 S63 ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? a63 中,有 32 各奇数项,31 各偶数项,

所以,

S 63

?

32a

?

32? 31? 2 2

?

31(2

?

a)

?

31? 30 2

?2

?

a

? 1984.

(4 分)

? S63 ? 2012 ,?a ?1984 ? 2012.?a ? 28 .

(2 分)

解二:当 n 为偶数时, a1 ? a2 ? 2 ?1, a3 ? a4 ? 2 ? 3 ,… … an?1 ? an ? 2 ? (n ?1)

4

将上面各式相加,得 Sn

?

1 2

n2



? S63

?

S62

?

a63

?

1 2

? 622

?

63 ?

a

?1 ?

a

? 1984

? S63 ? 2012 ,?a ?1984 ? 2012.?a ? 28 .

(4 分) (2 分)

5


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