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高中数学必修二第二章_2.1.1_平面课件_图文


2.1 空间点、直线、平面之间的 位置关系

2.1.1 平 面

构成图形的基本元素----D′ A′ D A B B′ C′

点、线、面
点无大小

C

线无粗细

面无厚薄

直线,平面都是无限延伸的

平面的表示
平面的符号表示 D C ? A B 1. 单个希腊字母: 平面?, 平面?,平面?

2. 四个顶点或对角顶点大写英文字母:

平面ABCD

,平面AC,平面BD

平面的表示
两个相交平面的画法和表示 平面?和平面?相交于一条直线a ? a ? 平面??平面?=直线a 被遮住的部分画虚线

a

二、点、线、面的基本位置关系
1、符号表示: 点A、线a、面α A ? a, A ? ? , a ? ? , 2、引用集合关系:
图形
zxxkw

符号语言

文字语言(读法)

A
A

a
a

A? a A? a A ??

学.科.网

点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线a、b交于点A

? A
?
A

A

A ??
b a

a b? A

图形

符号语言

?
?

a
a

a ??

文字语言(读法)

a ? ??

?

a

A

a ??A
? ? ?l

直线a在平面 ? 内 直线a与平面 ? 无公共点 直线a与平面 ? 交于点 平面 与 ? 相交于直线 l

?

公理1.如果一条直线上两点在一个平面 内,那么这条直线上的所有的点都在这 个平面内(即直线在平面内)。
图形表示: 符号表示:
α l B

A

A ? l , B ? l , 且A ?? , B ?? , ? l ? ?
作用:判定直线在平面内的依据,同时说明 了平面的无限延展性。

公理2.过不在同一直线上的三点, 有且只有一个平面.

图形表示:
符号表示:
α A

B C

A, B, C三点不共线? 有且只有一个平面 ? 使A ?? , B ?? , C ??
作用:(1)确定一个平面的依据和方法。

(2)证明点线共面的方法。

公理2:不共线的三点确定一个平面
思考:一条直线和直线外一点能点确定一个平面吗? 两条相交直线能确定一个平面吗?

两条平行直线能确定一个平面吗?
推论:1、一条直线和直线外 一点能确定一个平面; 2、两条相交直线能确定 一个平面; 3、两条平行直线能确定 一个平面。

B



. A . C

思考
思考1:如图,把三角板的一个角立在课桌 面上,三角板所在的平面与桌面所在的平 面是否只相交于一点B?为什么?

思考2:如果两条不重合 的直线有公共点,则其 公共点只有一个。如果两个不重合的 平面有公共点,其公共点有多少个? 这些公共点的位置关系如何?

?

B

思考3:根据上述分析可得什么结论?

?

?

P

l

公理3:如果两个不重合的平面有一个 公共点,那么它们有且只有一条过该点 的公共直线.

思考4:若两个平面有一条公共直线,则称这 两个平面相交,这条公共直线叫做这两个平 面的交线.平面α 与平面β 相交于直线l,可 记作 ? ? ? l ,那么公理3用符号语言可怎 样表述?

P ?? , 且P ? ? ? ?
如果两个不重合 的平面有一个公 共点,那么它们 有且只有一条过 该点的公共直线

? ? l , 且P ? l

思考5:公理3有哪些理论 作用吗?

确定两平面相交的依据, 判断多点共线的依据.

例1、(1)如图,用符号表示下列图形中点、 直线、平面之间的位置关系.

a
α
A

α a P l

l

B β

b

β


(2)根据下列描述作图:



a ? α ,b ? α ,c ?α 且a∩b=A,b∩c=B,c∩a=C

练习1
(1)两个平面的公共点的个数可能有 ( A.0 B.1 C.2 ) D.0或无数 )

(2)三个平面两两相交,则它们交线的条数 (

A.最多4条最少3条 C.最多3条最少2条

B.最多3条最少1条 D.最多2条最少1条

(3)已知空间四点中,无三点共线,则可确定 A.一个平面 C.一个或四个平面 B.四个平面 D.无法确定平面的个数

例2、求证:两两相交 且不过同一点的三条直 线必在同一个平面内.

B A

C

证明: 因为A,B,C三点不在一条直线上, 所以过A,B,C三点可以确定平面?.(公理2) 因为A∈?,B∈?,所以AB ? ?.(公理1) 同理BC ? ?,AC ? ?,

所以AB,BC,CA三直线共面.
要证多线共面,先确定一个平面, 再证明其他直线也在这个平面内.

练习2
已知 : A, B, C ? l , D ? l ,
求证:直线AD,BD,CD共面.
D

?
证明: D? l.

l

A

B

C

? l与D确定平面? .



A, B, C ? l ,

l ??

? A, B, C ? ? . 又 D ? ? , ? BD, CD, AD ? ? ,
即AD, BD, CD共面.

练习3
已知 : a b, a c ? M,b c ? N,
N c

求证:直线a,b,c共面.

b

α

M

a

例3、已知三角形ABC的 三条边AB、BC、AC与平 面α 分别交于P、Q、R. 求证:P、Q、R共线.

A B C R Q

P

证明: P ? AB ? 平面ABC ? P ? 平面ABC.



P ?? ? P ??

平面ABC.

同理Q、R也为公共点,所以P、Q、R共线. 要证明多点共线,只要证明他们 是两个平面的公共点.

小结:
1.平面的概念; 2.平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法; 3.三条公理 公理1.

A ? ? 且B ? ? ? 直线AB ? ?

公理2. A, B, C不共线 ? 有且只有一平面? , 使A ? ? , B ? ? , C ? ?
推论1、 A ? l ? 有唯一平面? , 使A ?? , l ?? 推论2、a 推论3、 a

b ? 有唯一平面? , 使a ?? , b ?? b ? 有唯一平面? , 使a ?? , b ??

公理3. P ? ? , 且P ? ? ? ?

? ? l , 且P ? l


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