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人教课标版高中数学必修3第一章 算法初步算法与程序框图课件8




标 阐 释



维 脉 络

1.理解辗转相除法与更相减损术的原理,会用 辗转相除法与更相减损术求最大公约数. 2.掌握秦九韶算法的原理,会用秦九韶算法求 多项式的值. 3.理解三种算法的框图及程序表示,进一步体 会算法的基本思想.

一、辗转相除法 【问题思考】 1.在小学时,我们利用找公约数的方法来求两个正整数的最大公 约数.你能利用这种方法求出36与60的最大公约数是多少吗? 提示首先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互 质数为止,然后把所有的除数连乘起来即为最大公约数.由于

,故 36 与 60 的最大公约数为 2×2×3=12.

2.如果两个正整数的公约数比较大,并且根据我们的观察又不能 一下子得到它们的公约数,我们又该如何求出它们的最大公约数? 比如,怎样求出8 251与6 105的最大公约数?观察等式8 251=6 105×1+2 146,你发现8 251与6 105这两个数的公约数和6 105与2 146的公约数有什么关系? 提示8 251的最大约数是2 146的约数,同样6 105与2 146的公约数 也是8 251的约数,故8 251与6 105的最大公约数也是6 105与2 146 的最大公约数.

3.又6 105=2 146×2+1 813,同理,6 105与2 146的公约数和2 146 与1 813的公约数相等.重复上述操作,你能得到8 251与6 105这两个 数的最大公约数吗? 提示8 251=6 105×1+2 146, 6 105=2 146×2+1 813, 2 146=1 813×1+333, 1 813=333×5+148, 333=148×2+37, 148=37×4+0. 最后的除数37是148和37的最大公约数,也是8 251与6 105的最大 公约数.

4.填空:上述这种求两个正整数的最大公约数的方法就是辗转相 除法,又叫欧几里得算法,是一种求两个正整数的最大公约数的古 老而有效的算法.其算法步骤如下: 第一步,给定两个正整数m,n. 第二步,计算m除以n所得的余数r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;否则,返回第二步. 5.做一做1:求667与928的最大公约数. 解:928=667×1+261,667=261×2+145, 261=145×1+116,145=116×1+29, 116=29×4, 所以667与928的最大公约数是29.

二、更相减损术 【问题思考】 1.设两个不都是偶数的正整数m,n(m>n),若m-n=k,则m与n的最大 公约数和n与k的最大公约数相等,反复利用这个原理,可求得98与 63的最大公约数是多少? 提示98-63=35,63-35=28,35-28=7,28-7=21,21-7=14,14-7=7,∴98 与63的最大公约数为7.

2.填空:上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术. 其算法步骤如下: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数.若是,用2 约简;若不是,执行第二步. 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数 比较,并以大数减小数.继续这个操作,直到所得的差与减数相等为 止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公 约数. 3.做一做2:342与589的最大公约数为 . 解析:589-342=247,342-247=95, 247-95=152,152-95=57, 95-57=38,57-38=19,38-19=19. 所以342与589的最大公约数为19. 答案:19

三、秦九韶算法 【问题思考】 1.已知多项式函数f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1,当x=5时 f(5)=55+54+53+52+5+1=3 906.这种计算求值的过程中乘法运算和 加法运算的次数分别是多少? 提示乘法运算10次,加法运算5次. 2.如果我们把上述多项式函数的解析式变形为 f(x)=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1,计算当x=5时f(5)的值,再统计一下这 种计算求值的过程中乘法运算和加法运算的次数分别是多少. 提示乘法运算4次,加法运算5次.

3.填空:问题2中的算法比问题1中的算法少了6次乘法运算,大大 简化了运算过程.问题2中的算法就叫秦九韶算法. 一般地, f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+an-2xn-3+…+a1)x+a0 =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =… =(…((anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1,然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an2,v3=v2x+an-3,…,vn=vn-1x+a0,这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求 n个一次多项式的值.

4.做一做3:用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3,当x=3时的值 v2= . 解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3, v0=2; v1=2×3+0=6; v2=6×3+1=19. 答案:19

思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的 打“×”. (1)辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.( ) (2)用更相减损术求294和84的最大公约数时,需做减法的次数是 3 .( ) (3)用秦九韶算法计算f(x)=3x6+4x5+5x4+6x3+7x2+8x+1当x=0.4 时的值,需要进行乘法运算和加法运算的次数均为6.( ) (4)利用秦九韶算法求f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+6x5当x=2时的值 时,先求6×2+5,第二步求2×(6×2+5)+4.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√

探究一

探究二

思维辨析

探究一 求两个正整数的最大公约数

【例1】 求下列两数的最大公约数: (1)228与2 223; (2)612与468. 分析228与2 223相差较大,用辗转相除法求最大公约数;612与468 相差较小,用更相减损术求最大公约数. 解:(1)用辗转相除法求228与2 223的最大公约数. 2 223=228×9+171, 228=171×1+57, 171=57×3. 所以228和2 223的最大公约数为57.

探究一

探究二

思维辨析

(2)首先612和468都是偶数,所以用2约简,得到306和234,还是偶数, 需要再用2约简,得到153和117,最后用更相减损术计算. 153-117=36, 117-36=81, 81-36=45, 45-36=9, 36-9=27, 27-9=18, 18-9=9. 所以612和468的最大公约数是9×2×2=36.

探究一

探究二

思维辨析

反思感悟1.利用辗转相除法求给定的两个数的最大公约数,即利 用带余除法,用数对中较大的数除以较小的数,若余数不为零,则将 余数和较小的数构成新的数对,再利用带余除法,直到大数被小数 除尽,这时的较小数就是原来两个数的最大公约数. 2.利用更相减损术求两个正整数的最大公约数时,首先判断两个 正整数是否都是偶数.若是,用2约简.也可以不除以2,直接求最大公 约数,这样不影响最后结果. 3.当两个整数的差较大时,利用辗转相除法计算的次数较少.

探究一

探究二

思维辨析

变式训练1分别用辗转相除法和更相减损术求779与209的最大 公约数. 解:辗转相除法: 779=209×3+152, 209=152×1+57, 152=57×2+38, 57=38×1+19, 38=19×2. 所以,779与209的最大公约数为19.

探究一

探究二

思维辨析

更相减损术: 779-209=570, 570-209=361, 361-209=152, 209-152=57, 152-57=95, 95-57=38, 57-38=19, 38-19=19. 所以779和209的最大公约数为19.

探究一

探究二

思维辨析

探究二

求多项式的值

【例2】 用秦九韶算法求多项式f(x)=7x7-6x6+4x4+3x3-2x2+x-5当 x=3时的值. 分析解答本题时首先要将原多项式化成f(x)=((((((7x6)x+0)x+4)x+3)x-2)x+1)x-5的形式,然后弄清v0,v1,v2,…,v7分别是多 少,最后进行计算.

探究一

探究二

思维辨析

解:f(x)=((((((7x-6)x+0)x+4)x+3)x-2)x+1)x-5, v0=7,v1=7×3-6=15; v2=15×3+0=45; v3=45×3+4=139; v4=139×3+3=420; v5=420×3-2=1 258; v6=1 258×3+1=3 775; v7=3 775×3-5=11 320. ∴当x=3时,多项式的值为11 320.

探究一

探究二

思维辨析

反思感悟利用秦九韶算法计算多项式的值的步骤

探究一

探究二

思维辨析

变式训练2用秦九韶算法求多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6在x=5时 的值. 解:由于f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6 =(((2x-6)x-5)x+4)x-6. 根据秦九韶算法,我们有 v0=2,v1=2x-6=2×5-6=4, v2=4x-5=4×5-5=15, v3=15x+4=15×5+4=79, v4=79x-6=79×5-6=389.

探究一

探究二

思维辨析

用秦九韶算法求多项式的值时忽略空项而致误 【典例】 已知f(x)=x5+x3+x2+x+1,用秦九韶算法求f(3)的值. 错解因为f(x)=(((x+1)x+1)x+1)x+1, 所以当x=3时, v0=1,v1=3+1=4, v2=4×3+1=13, v3=13×3+1=40, v4=40×3+1=120+1=121, 所以当x=3时,f(3)=121. 以上错解中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?你如 何防范? 错因分析忽视了函数f(x)中x4项的系数为0这一点,导致结果错误.

探究一

探究二

思维辨析

正解原多项式可化为 f(x)=((((x+0)x+1)x+1)x+1)x+1, 当x=3时, v0=1,v1=1×3+0=3,v2=3×3+1=10, v3=10×3+1=31,v4=31×3+1=94, v5=94×3+1=283, 所以,当x=3时,f(3)=283. 防范措施当多项式中间出现空项时,用秦九韶算法求函数值要补 上系数为0的相应项,即把这些项看成是0· xn.

探究一

探究二

思维辨析

变式训练用秦九韶算法求多项式f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04当 x=0.3时的值. 解:根据秦九韶算法,将f(x)改写为 f(x)=((((x+0)x+0.11)x+0)x-0.15)x-0.04. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=0.3时的值. v0=1, v1=v0×0.3+0=0.3, v2=v1×0.3+0.11=0.2, v3=v2×0.3+0=0.06, v4=v3×0.3-0.15=-0.132, v5=v4×0.3-0.04=-0.079 6. 即x=0.3时,f(x)=x5+0.11x3-0.15x-0.04的值为-0.079 6.

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1.用辗转相除法求56与264的最大公约数,需要做除法的次数是 ( ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:264=56×4+40,56=40×1+16,40=16×2+8,16=8×2.即最大 公约数为8,做了4次除法,故选B. 答案:B

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2.用更相减损术求123和48的最大公约数是( ) A.3 B.7 C.9 D.12 解析:123-48=75,75-48=27,48-27=21,27-21=6,21-6=15,15-6=9,96=3,6-3=3,所以123和48的最大公约数是3. 答案:A

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3.用秦九韶算法求多项式f(x)=12+35x-8x2+79x3+6x4+5x5+3x6当x=4时的值,v4的值为( ) A.-57 B.220 C.-845 D.3 392 解析:由秦九韶算法有v0=3,v1=v0x+5=-7,v2=7x+6=34,v3=34x+79=-57,v4=-57x-8=220. 答案:B

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4.(2017湖南娄底期中)用秦九韶算法求多项式f(x)=x68x5+60x4+16x3+96x2+240x+64当x=2时,v2的值为 . 解析:∵f(x)=x6-8x5+60x4+16x3+96x2+240x+64=(((((x8)x+60)x+16)x+96)x+240)x+64,当x=2时,v0=1,v1=1×2-8=-6,v2=6×2+60=48,∴v2的值为48. 答案:48


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