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【最新】2018-2019学年度高中北师大版数学选修4-4教学案:第二章4平摆线和渐开线

§ 4 平摆线和渐开线 [对应学生用书 P35] [自主学习] 1.平摆线 (1)平摆线的概念: 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时,我们把圆周上一定点的运动轨迹叫作 平摆线(或旋轮线). (2)摆线的参数方程: ①定点 M 在滚动过程中满足的几何条件: 在平面直角坐标系中, 设圆的半径为 r, 圆在 x 轴上滚动, 开始时点 M 在原点 O(如图). 设圆转动的角度为 α 时,圆和 x 轴的切点是 S,圆心是 N,M 的坐标为(x,y),取角度 α 为参数. 连接 NM,NS,过 M 作 x 轴的垂线 MP,垂足为点 P,过 M 作 NS 的垂线 MQ,垂足 为 Q. 因为∠MNQ=α,所以 OS= SM =rα.这就是圆周上的定点 M 在圆 N 沿直线滚动过程 中满足的几何条件. ②摆线的参数方程: 如图(1),由①分析可得:x=OP=OS-PS= SM -MQ=rα-rsin α=r(α-sin α),y= PM=SQ=SN-QN=r-rcos α=r(1-cos α). 图(1) ? ?x=r?α-sin α?, 所以摆线的参数方程是? (-∞<α<+∞). ?y=r?1-cos α? ? 2.渐开线 (1)渐开线的相关概念: 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上,将铅笔系在绳的外端,把绳拉紧 逐渐地展开,要求绳的拉直部分和圆保持相切,此时,我们把笔尖画出的曲线叫作圆的渐 开线,相应的定圆叫作渐开线的基圆. (2)渐开线的参数方程: ①动点(笔尖)所满足的几何条件: 如图(2),我们把圆盘抽象成一个圆,把铅笔尖抽象成一个动点 M,它的初始位置记作 A,绳子离开圆盘的位置记作 B,随着绳子逐渐展开,动点 B 从点 A 出发在圆周上运动, 动点 M 满足以下条件: (Ⅰ)MB 与圆相切于 B; (Ⅱ)MB 的长度与 B 在圆周上走过的弧长相等,即 MB= AB . 图(2) ②渐开线的参数方程: 图(3) 如图(3),以基圆圆心 O 为原点,直线 OA 为 x 轴,建立平面直角坐标系.设圆的半径 为 r,则动点 M 的初始位置 A 的坐标为(r,0),设动点 M 的坐标为(x,y),φ 是以 OA 为始边、 OB 为终边的正角,令 φ 为参数,此时 AB 的弧长为 rφ. 作 ME⊥Ox,BC⊥Ox,垂足分别为 E,C; 作 MD⊥BC,垂足为 D,则∠MBD=∠AOB=φ,由此可得圆的渐开线的参数方程是: ? ?x=r?cos φ+φsin φ?, ? (其中 φ 是参数). ?y=r?sin φ-φcos φ? ? [合作探究] 1.在摆线的参数方程中 α 的取值范围是什么? 提示:α 的取值范围为(-∞,+∞) 2.在图(1)中点 O,E 间的部分所成拱的宽度和高度各是多少? 提示: 这一个拱的宽度等于滚动圆的周长 2πr, 拱高等于圆的直径 2r.其中 r 为滚动圆的 半径. [对应学生用书 P35] 求圆的平摆线、渐开线的参数方程 [例 1] 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0),请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数 方程以及对应的圆的渐开线的参数方程. [思路点拨] 本题考查圆的平摆线和渐开线参数方程的求解,解答此题,根据圆的平摆 ? ? ?x=r?α-sin α?, ?x=r?cos φ+φsin φ?, 线的参数方程? (α 为参数)和渐开线的参数方程? ?y=r?1-cos α? ?y=r?sin φ-φcos φ? ? ? (φ 为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出 r 的表达式,根据表达式求出 r 的最大值,再 确定对应的平摆线和渐开线的参数方程即可. [精解详析] 令 y=0,可得 r(1-cos α)=0,由于 r>0,即得 cos α=1,所以 α=2kπ (k∈Z). 代入 x=r(φ-sin φ), 而 φ=α 得 x=r(2kπ-sin2kπ). 又因为 x=2, 所以 r(2kπ-sin2kπ) =2,即得 r= 1 (k∈Z). kπ 1 1 (k∈N+)易知,当 k=1 时,r 取最大值为 . kπ π 又由实际可知 r>0,所以 r= 代入即可得圆的平摆线的参数方程为 ?x=π?α-sin α?, ? 1 ?y=π?1-cos α? 1 (α 为参数). ?x=π?cos φ+φsin φ?, 圆的渐开线的参数方程为? 1 ?y=π?sin φ-φcos φ? (φ 为参数). 1 根据已知条件求圆的平摆线及渐开线的参数方程,关键记住推导圆的平摆线、渐开线 的参数方程的过程及得到的方程,确定出待定系数即可. 1.基圆直径为 10,求其渐开线的参数方程. 解:取 φ 为参数,φ 为基圆上点与原点的连线与 x 轴正方向的夹角. ∵直径为 10,∴半径 r=5. 代入圆的渐开线的参数方程得: ? ?x=5?cos φ+φsin φ?, ? (φ 为参数). y = 5 ? sin φ - φ cos φ ? ? ? 这就是所求的圆的渐开线的参数方程. 圆的平摆线、渐开线参数方程的应用 [例 2] 设圆的半径为 8,沿 x 轴正向滚动,开始时圆与 x 轴相切于原点 O,记圆上动 点为 M,它随圆的滚动而改变位置,写出圆滚动一周时 M 点的轨迹方程,画出相应曲线, 求此曲线上纵坐标 y 的最大值,说明该曲线的对称轴. [思路点拨] 本题考查圆的平摆线参数方程的应用,解答此题需要根据 ? ?x=r?α-sin α?, ? (α 为参数),确定出 r,α 的值,再求 y 的最值及对称轴即可. ?y=r?1-cos α? ? [精解详析] 轨迹曲线的参数方程为 ?x=8?α-sin α?, ? ? (0≤α≤2π), ?y=8?1-cos α? ? 即 α=π 时,即 x=8π 时,y 有最大值 16. 第一拱(0≤α≤2π)的对称轴为 x=8π. 1. 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程, 可知其