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2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习课时作业:第3章 第6节 简单的三角恒等变换]


课时作业
一、选择题 ?π ? 3 1.(2014· 山西诊断)已知 sin? +θ?=5,则 cos(π -2θ)= ?2 ? ( 12 A.25 7 C.-25 π 3 D [依题意得 sin(θ+ 2 )=cos θ=5, cos(π-2θ)=-cos 2θ=1-2cos2θ 3 7 =1-2×(5)2=25,故选 D.] sin(180°+2α) cos2α 2. · 等于 1+cos 2α cos(90°+α) ( A.-sin α C.sin α (-sin 2α)· cos2α D [原式= (1+cos 2α)· (-sin α) 2sin α·cos α·cos2α = =cos α.] 2cos2α·sin α 3.(2014· 深圳调研)已知直线 l: xtan α -y-3tan β =0 的斜率为 2,在 y 轴上的 截距为 1,则 tan(α+β)= ( 7 A.-3 5 C.7 7 B.3 D.1 ) B.-cos α D.cos α ) 12 B.-25 7 D.25 )

D [依题意得,tan α=2,-3tan β=1, tan α+tan β 1 即 tan β=-3,tan(α+β)= = 1-tan αtan β 1 2-3

2=1.] 1+3

π π 1 4.(2014· 北京东城一模)已知 α∈( 2 ,π ),tan(α+ 4 )=7,那么 sin α +cos α 的值为 ( 1 A.-5 7 C.-5 7 B.5 3 D.4 )

π 1+tan α 1 3 A [由 tan(α+ 4 )= =7.得 tan α=-4. 1-tan α π 3 4 又 α∈( 2 ,π),解得 sin α=5,cos α=-5, 1 所以 sin α+cos α=- .] 5 ?π ? ?π ? 5.(2014· 北京朝阳模拟)已知函数 f(x)=sin x+ 3cos x,设 a=f? ?,b=f? ?, ?7? ?6? ?π ? c=f? ?,则 a,b,c 的大小关系是 ?3? ( A.a<b<c C.b<a<c ? π? B [f(x)=sin x+ 3cos x=2sin?x+ ?, 3? ? π? ? 因为函数 f(x)在?0, ?上单调递增, 6? ? 2π π ?π? ?π? ?π? 所以 f? ?<f? ?,而 c=f? ?=2sin 3 =2sin 3 ?7? ?6? ?3? ?π? =f(0)<f? ?,所以 c<a<b.] ?7? 1 ?sin α ?a b? ?=ad-bc.若 cos α = , ? 6. 定义运算? 7 ?cos α ?c d ? 则 β 等于 ( π A.12 π B. 6 ) sin β ? 3 3 π ?= , 0<β<α< 2 , 14 cos β ? B.c<a<b D.b<c<a )

π C. 4

π D. 3

3 3 D [依题意有 sin αcos β-cos αsin β=sin(α-β)= 14 , π π 又 0<β<α< 2 ,∴0<α-β< 2 , 13 故 cos(α-β)= 1-sin2(α-β)=14, 1 4 3 而 cos α=7,∴sin α= 7 , 于是 sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) 4 3 13 1 3 3 3 = 7 ×14-7× 14 = 2 . π 故 β= 3 .] 二、填空题 cos 2θ ?π ? 7.若 tan? -θ?=3,则 =________. 1+sin 2θ ?4 ? 解析 1 ?π ? 1-tan θ ∵tan? -θ?= =3,∴tan θ=-2. ?4 ? 1+tan θ

cos 2θ cos2θ-sin2θ ∴ = 1+sin 2θ sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ 1-tan θ = =3. tan θ+2tan θ+1 1 4-1+1
2 2



1 1-4

答案

3

8.若锐角 α、β 满足(1+ 3tan α )(1+ 3tan β )=4,则 α+β =________. 解析 可得 由(1+ 3tan α)(1+ 3tan β)=4, tan α+tan β = 3,即 tan(α+β)= 3. 1-tan αtan β

π 又 α+β∈(0,π),所以 α+β= 3 . 答案 π 3

cos 10°+ 3sin 10° 9.计算: =________. 1-cos 80° 解析 = cos 10°+ 3sin 10° 2(sin 30°cos 10°+cos 30°sin 10°) = 1-cos 80° 2sin240°

2sin 40° = 2. 2sin 40° 2

答案 三、解答题

1 10.(2014· 合肥一模)函数 f(x)=sin ω x·cos ω x+cos2ω x- 存在相邻的两个零 2 π π 点分别为 a 和 2 +a(ω>0,0<a< 2 ). (1)求 ω 和 a; 2 ?x π ? ?3π ? ?的值. (2)若 f? - ?=- 3 ,x∈(0,π ),求 sin? - x ?2 40? ? 10 ? 解析 1 (1)f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx-2

cos 2ωx+1 1 1 = sin 2ωx+ - 2 2 2 2? 2 ? 2 = 2 ? sin 2ωx+ cos 2ωx? 2 ?2 ? π? 2 ? = 2 sin?2ωx+ ?. 4? ? π ∵a 和 a+ 2 是 f(x)相邻的两个零点, ∴f(x)的最小正周期为π, 2π ∴T= ,又 ω>0,∴ω=1. |2ω| π π? 2 ? ∴f(a)= 2 sin?2a+ ?=0,2a+ 4 =kπ, 4? ? π kπ ∴a=- 8 + 2 ,k∈R. π 3π 又 0<a< 2 ,∴a= 8 .

2 ? x π? (2)由 f? - ?=- 3 , 2 40 ? ? 2 ? π? ∴sin?x+ ?=-3, 5? ? π ?π 6π? 又 x∈(0,π),∴x+ 5 ∈? , ?, 5 ? ?5 5 ? π? ∴cos?x+ ?=- 3 , 5 ? ? 5 ?3π ? ? π? ?=cos?x+ ?=- . ∴sin? - x 3 5? ? 10 ? ? π α 1 2 11.已知 0<α< 2 <β <π ,tan 2 =2,cos(β-α)= 10 . (1)求 sin α 的值; (2)求 β 的值. 解析 α 1 (1)∵tan2=2, 2tan 2

α α


∴tan α=

1 2×2 ?1? 1-?2? ? ?

1-tan2 2

4 = 2 3,

sin α 4 ?cos = , α 3 由? ?sin2α+cos2α=1, 4 4? ? 解得 sin α=5?sin α=-5舍去?. ? ? (2)由(1)知 cos α= 1-sin2α= 又 0<α< ?4?2 3 1-?5? =5, ? ?

π <β<π,∴β-α∈(0,π), 2

2 而 cos(β-α)= 10 , ∴sin(β-α)= 1-cos2(β-α)= 于是 sin β=sin[α+(β-α)] =sin αcos(β-α)+cos αsin(β-α) ? 2?2 7 2 1-? ? = 10 , ? 10 ?

4 2 3 7 2 2 =5× 10 +5× 10 = 2 . 3π ?π ? 又 β∈? ,π?,∴β= 4 . ?2 ? 12.已知函数 f(x)=cos2ω x- 3sin ω x·cos ω x(ω>0)的最小正周期是π . (1)求函数 f(x)的单调递增区间和对称中心; (2)若 A 为锐角三角形 ABC 的内角,求 f(A)的取值范围. 解析 (1)依题意,得 f(x)= 1+cos 2ωx 3 - 2 sin 2ωx 2

π? 1 ? =cos?2ωx+ ?+2, 3? ? 2π ∵T= =π, 2ω ∴ω=1. π? 1 ? ∴f(x)=cos?2x+ ?+2, 3? ? π 由-π+2kπ≤2x+ 3 ≤2kπ,k∈Z,得 2π π - 3 +kπ≤x≤- 6 +kπ,k∈Z. ∴函数 f(x)的单调递增区间为 π ? 2π ? ?- +kπ,- +kπ?,k∈Z. 3 6 ? ? π π 令 2x+ 3 = 2 +kπ, π kπ ∴x=12+ 2 ,k∈Z. ?π kπ 1? ∴对称中心为? + , ?,k∈Z. ?12 2 2? π (2)依题意,得 0<A< 2 , π π 4π ∴ 3 <2A+ 3 < 3 , π? 1 ? ∴-1≤cos?2A+ ?<2, 3? ?

π? 1 1 ? ∴-2≤cos?2A+ ?+2<1, 3? ? ? 1 ? ∴f(A)的取值范围为?-2,1?. ? ?


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