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2016届贵州省铜仁思南中学高三上学期期中考试数学文科试题

2016 届贵州省铜仁思南中学高三上学期期中考试数学文科 试题
第 I 卷 (选择题, 共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1 . 已 知 i 为 虚 数 单 位 , 则 (1 ? i)2 的 模 为 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 4 2 . 若 集 合 A ? ? |x 2 x? 2 ? ? x 0, B ? ?x | x ? 1? , 则 A ? B 为 ( ) A. B. C. D. ?x | x ? 1? ?x | 0 ? x ? 2} ?x |1 ? x ? 2? ?x | x ? 2? 2 3 . 已 知 等 比 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 2 , 且 有 a4 a6? 4 a7 , 则 a3 ? ( ) A. 1
2

B. 1

C. 2
2

D. 1

4
3 2

4.已知 A 是三角形 ABC 的内角,则“ cos A ? 1 ”是“ sin A ? ( )

”的

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知 m , n , l 为三条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则下 列命题中正确的是( ) A. ? // ? , m ? ? , n ? ? ? m // n B. l ? ? , ? ? ? ? l ∥ ? C. m ? ? , m ? n ? n // ? D. ? ∥ ? , l ? ? ? l ? ? 6.某同学设计右面的程序框图用以计算和式
12 ? 22 ? 32 ? ? ? 202 的值,则在判断框中应填写(

)

A. i ? 19 C. i ? 20

B. i ? 19 D. i ? 21

?x ? y ? 3 ? 0 7.若变量 x,y 满足约束条件 ? ?x ? y ?1 ? 0 , ?y ?1 ?

则 z ? 2 x ? y 的最大值为 (

)

A. ?1

B. 0
??
?

C. 3

D. 4 ( )

8.已知函数 f ? x ? ? 2cos ? ? 2x ?

? ,下面四个结论中正确的是 6?

A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? B.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ? ? 对称 C.函数 个单位得到 D.函数 f ? ?x?
?

6 ? f ? x ? 的图象是由 y ? 2cos 2 x 的图象向左平移 6

??

? 是奇函数 6?

9.双曲线 mx2 ? y2 ? 1(m>0) 的右顶点为 A ,若该双曲线右支上存在两点 B, C 使 得 ?ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , 则 实 数 m 的 值 可 能 为 ( ) A. 1
2

B. 1

C. 2

D. 3

10 .已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,其最小正周期为 3 ,且
3 x ? (? ,0) 时, f ( x) ? log1 ?1 ? x ? ,则 f (2010 ) ? f (2011 )? 2 2

A. 1

B. 2

C. ? 1

D. ? 2

11 .已知二面角 ? ? l ? ? 的平面角为 ? ,点 P 在二面角内, PA ? ? ,
PB ? ?

, A, B 为垂足,且 PA ? 4, PB ? 5, 设 A, B 到棱 l 的距离分别为 变化时,点 ( x, y ) 的轨迹是 B. x 2 ? y 2 ? 9( x ? 0, y ? 0) D. y 2 ? x 2 ? 9( x ? 0, y ? 0)

x , y ,当 ?

A. x 2 ? y 2 ? 9( x ? 0) C. y 2 ? x 2 ? 9( y ? 0)

? y?x ? 12. 设不等式组 ? y ? ? x 表示的平面区域为 A , 不等式 y ? ax2 ? b ( b ? 0, b ? y ?1 ?
P ( x, y ) 为平面上任意一点,p : 为常数) 表示的平面区域为 B , 点 P ( x, y )

在区域 A 内, q :点 P( x, y ) 在区域 B 内,若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 a 的取值范围是

A.0 ? a ? 1 ? b

B.0 ? a ? 1 ? b

C.0 ? a ? 1 ? b

D.a ? 1 ? b

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在 题后的横线上. ) 13. 某市有三类医院,甲类医院有 4000 病人,乙类医院有 2000 病人, 丙类医院有 3000 人,为调查三类医院的服务态度,利用分层抽 样的方法抽取 900 人进行调查,则从乙类医院抽取的人数为
__________ ___ 人.

14. 如图, 一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正三角 形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面积 为___ ...

15. 已知不等式 x 2 ? 6x ? a(6 ? a) ? 0 的解集中恰有三个整数,则实数 a 的取值范围为 __________ _ . 16. 椭圆中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,A、B 是顶点,F 是左 焦点,当 BF⊥AB 时,此类椭圆称为“黄金椭圆”,其离心率为
5 ?1 , 2

类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率 e = .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证 明过程或演算步骤. ) 17. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (Ⅰ) 求函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ) 已知 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c , 若 f ( A) ? 0 ,
a ? 3, b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S .
3 3 3 sin x cos x ? sin 2 x ? . 2 2 4

18.(本小题满分 12 分) 在数列 ?an ?中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 2n (1)设 bn ?
an , 证明 ?bn ?是等差数列; 2 n ?1

2)求数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 。 19. (本小题满分 12 分) 如图,已知多面体 ABC-DEFG 中,AB、AC、AD 两两 互相垂直,平面 ABC∥平面 DEFG,平面 BEF∥平面 ADGC,
G

AB=AD=DG=2,AC=EF=1,
C

(1)试判断 CF 是否与平面 ABED 平行?并说明理由;
A D F E

(2)求多面体 ABC-DEFG 的体积。 20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? mx ?
m , g ( x) ? 2 ln x . x
B

(Ⅰ)当 m ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)若 x ? ?1, e? 时,不等式 f ( x) ? g ( x) ? 2 恒成立,求实数 m 的取值 范围. 21.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :
x2 y2 1 ? 2 ? 1 ,F1 , F2 分别为左,右焦点,离心率为 , 2 2 a b

点 A 在椭圆 C 上且满足: AF1 ? 2 , AF2 F1 A ? ?2 AF2 ? F1 A , 过右焦点 F2 与坐标轴不垂直的直线 l 交椭圆于 P, Q 两点. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 在线段 OF2 上是否存在点 M (m,0) 使得以线段 MP, MQ 为邻边

的四边形是菱形?若存在, 求出 m 的取值范围; 若不存在, 说明理由. 考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过⊙ O 上的点 C ,并且 OA ? OB, CA ? CB, ⊙ O 交直 线 OB 于 E , D ,连接 EC, CD . (Ⅰ)求证:直线 AB 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 tan ?CED ? , ⊙ O 的半径为 3 ,求 OA 的长. 2 A 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中, 圆锥曲线 C 的参数方程为 ?
1

E O D C
? x ? 2 cos? ? y ? 3 sin ?

B

( ? 为参数) ,定点 A(0,? 3) , F1 , F2 是圆锥曲线 C 的左,右焦点. (Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过 点 F1 且平行于直线 AF2 的直线 l 的极坐标方程; (Ⅱ)在(I)的条件下,设直线 l 与圆锥曲线 C 交于 E , F 两点, 求弦 EF 的长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集; (Ⅱ) ?x ? R ,使 f ( x) ? t 2 ?
11 t ,求实数 t 的取值范围. 2

高三文科数学参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 题 号 答 案 C B B A D C C B A A B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

二、填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 13. 200 三、解答题: 17. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) f ( x) ?
? 3 3 sin 2 x ? cos2 x 4 4

14.

? 2

15.

[1,2) ? (4,5]

16.

5 ?1 2

3 ? sin(2 x ? ) ?2 分 2 3


2k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, k ? Z ??????????????4 分
f ( x)























5? ?? ? k? ? , k? ? ?, k ? Z ??????6 分 ? 12 12? ?

(Ⅱ) 因为 f ( A) ? 0 ,所以 解得 A ?
?
3

3 ? sin(2 A ? ) ? 0 , 2 3

或A? ? ,

5 6

又故 A ? 由
S?

?
3

?????8 分 , ? ?

? ? a b ? , 得 s i Bn? 1 , 则 B ? , C? 2 6 sin A sin B

1 3 ???? abs iCn? 2 2

18. (本小题满分 12 分) (1)由已知 an?1 ? 2an ? 2n 得
bn ?1 an ?1 2an ? 2 n a ? n ? ? nn ? 1 ? bn ? 1, n 2 2 2 ?1

又 b1 ? a1 ? 1
? ?bn ?是首项为 1,公差为 1 的等差数列;

(2)由(1)知

an ? n,? a n ? n ? 2 n ?1 n ?1 2

Sn ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n?1 2S n ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 3 ? 2 3 ? ? ? n ? 2 n

两式相减得 ? Sn ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ? ?2n?1 ? n ? 2n
? Sn ? (n ? 1) ? 2n ? 1

19. (本小题满分 12 分) 解(1)CF∥平面 ABED.--------------------------------------------------------------1 分 ∵平面 ABC∥平面 DEFG, 面 ABC ? 面 ADGC =AC, 面 ADGC ? 面
GDEF =DG

∴ AC // DG ,同理
AC // EF ---------------------------------------3 分

∴ AC // EF ∵AC=EF,

∴AEFC 为平行四边形

∴平面 BEF∥平面 ADGC,

∴ CF // AE ,∵ AE ? 面 ABCD , CF ? 面 ABCD ∴CF∥平面 ABED--------------------------------------------------------------------6 分 (2)连结 BG,BD, ∵ AB ? AC, AB ? AD 且 AC ? AD ? A
ADGC

∴ AB ? 平面

同理可得 BE ? 面 DEFG-----------------------------------------------------------------8 分 ∵ VABC-DEFG ? VB? ADGC ? VB?EFGD
1 1 VB ? ADGC ? S ADGC AB ? 2 , VB ? EFGD ? S EFGD BE ? 2 3 3

?VABC-DEFG ? 4 .--------------------------------------------------------------------

-----12 分 20. (本小题满分 12 分)
m ? 2 时,f ? x ? ? 2 x ? ,f ' ? x ? ? 2 ? (Ⅰ)
? 切线方程为 y ? 4 x ? 4
2 x

2 , f ' ?1? ? 4 , 切点坐标为 ?1,0? , x2

(2) mx ?

m ? 2 ln x ? 2 恒成立, 即 m x 2 ? 1 ? 2 x ? 2 x ln x 恒成立, x 2 x ? 2 x ln x 又 x 2 ? 1 ? 0 ,则当 x ? ?1, e? 时, m ? 恒成立, x2 ?1 2 x ? 2 x ln x 令 G ?x ? ? ,只需 m 小于 G?x ? 的最小值, x2 ?1

?

?

G' ?x ? ?

? 2( x 2 ln x ? ln x ? 2)

?x

2

?1

?

2



? 1 ? x ? e ,? ln x ? 0 ,? 当 x ? ?1, e? 时 G' ?x? ? 0 ,

? G?x ? 在 ?1, e? 上 单 调 递 减 , ? G?x ? 在 ?1, e? 的 最 小 值 为
G ?e ? ? 4e , e ?1
2

则 m 的取值范围是 ? ? ? ?,
?

4e ? ? e ?1?
2



? 12 分

21. (本小题满分 12 分) 解: (1)由已知 e ? ,所以 2c ? a , AF1 ? 2 , AF2 ? 2a ? 2 又 因 为
AF2 F1 A ? ?2 AF2 ? F1 A
1 2







c

? o F1 AF s 2 ?

1 2



--------------------------------2 分 由 余 弦 定 理 a 2 ? 4 ? (2a ? 2) 2 ? 2 ? 2(2a ? 2) ? ? a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ? a ? 2 , ----4 分 所 以
c ?1
1 2



b2 ? a2 ? c2 ? 3

, 所 以 椭 圆 方 程 为

x2 y2 ? ? 1 -------------------------------5 分 4 3

(2)假设存在点 M (m,0) 满足条件,设 P( x1 , y1 ) , Q( x2 , y2 ) ,直线 l 的方 程为 y ? k ( x ? 1) , 联立: ?
? y ? k ( x ? 1) ? (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,则 2 2 3 x ? 4 y ? 12 ?
8k 2 x1 ? x 2 ? 3 ? 4k 2 4k 2 ? 12 x1 x 2 ? 3 ? 4k 2



----------------------------------------------------------------------------7 分
MP ? ( x1 ? m, y1 ), MQ ? ( x2 ? m, y2 ), PQ ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ),

MP ? MQ ? ( x2 ? x1 ? 2m, y2 ? y1 ),

由题知 (MP ? MQ) ? PQ ? ( x2 ? x1 ? 2m)(x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? 0 , 因为 x2 ? x1 ? 0 , 所以 x2 ? x1 ? 2m ? k ( y2 ? y1 ) ? 0 ,即 x2 ? x1 ? 2m ? k 2 ( x2 ? x1 ? 2) ? 0 , 则
8k 2 8k 2 2 ? 2 m ? k ( ? 2) ? 0 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2





m?

k2 3 ? 4k 2



---------------------------------------------------------------------10 分
3m 1 ?0?0?m? ,又 M (m,0) 在线段 OF2 上,则 0 ? m ? 1, 1 ? 4m 4 1 故存在 m ? (0, ) 满足题意.-----------------12 分 4 k2 ?

22. (本小题满分 10 分) 证明: (1)如图,连接 OC,? OA ? OB, CA ? CB,? OC ? AB
? OC 是圆的半径, ? AB 是圆的切线. -------------------------------3

分 (2) ED是直径,? ?ECD ? 90? ,? ?E ? ?EDC ? 90? 又 ?BCD ? ?OCD ? 90? , ?OCD ? ?ODC,? ?BCD ? ?E, 又?CBD ? ?EBC ,
? ?BCD ∽ ?BEC ,?
tan ?CED ?

BC BD ? ? BC 2 ? BD ? BE ,-----------5 分 BE BC

CD 1 ? , EC 2 BD CD 1 ?BCD ∽ ?BEC , ? ? -----------------------7 分 BC EC 2

设 BD ? x, 则BC ? 2x, ? BC2 ? BD ? BE ? (2x) 2 ? x( x ? 6) ? BD ? 2 --------9 分
? OA ? OB ? BD ? OD ? 2 ? 3 ? 5 ------------------------10 分

23. (本小题满分 10 分) 解: (1)圆锥曲线 C 的参数方程为 ? 所 以 普 通
? x ? 2 cos? ( ? 为参数) , ? y ? 3 sin ?







C



x2 y2 ? ? 1 ----------------------------------------------2 分 4 3

A(0,? 3), F2 (1,0), F1 (?1,0) ? k ? 3, l : y ? 3( x ? 1)
?



线

l















? ? sin ? ? 3? cos ? ? 3 ? 2 ? sin(? ? ) ? 3 ---5 分
3

x2 y2 ? (2) ? 4 ? 3 ? 1 ? 5 x 2 ? 8 x ? 0 , ? y ? 3 ( x ? 1)
MN ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 16 ----------------------------------------5

----------10 分 24. (本小题满分 10 分)
1 ? ? ? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? f ( x) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 2 ? x ? 3 , x?2 ? ? ?







1





----------------------------------------------------------2 分 当 x ? ? ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 当 ? ? x ? 2,3x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2 综上所述 ?x | x ? 1或x ? ?5? ----------------------5 分 (2)易得 f ( x) min ? ? ,若 ?x ? R , f ( x) ? t 2 ? 则只需 f ( x) min
1 2 11 t 恒成立, 2 5 11 1 ? ? ? t 2 ? t ? 2t 2 ? 11t ? 5 ? 0 ? ? t ? 5 , 2 2 2 5 2

1 2

1 2

综上所述 ? t ? 5 ------------------------------10 分


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