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第六届泛珠三角力学竞赛参考解答.doc


第六届泛珠三角力学竞赛参考解答

17、 (1)T=24×3600=86400s

Mm 2? 2 GMT 2 2? 3 G ? m( ) ( R ? h) ? h ? ? R ? 35897 km, v ? ( R ? h) ? 3.076km / s 2 2 T T ( R ? h) 4?
(2)如图,该卫星离地面高为 r,圆心在 O/,与轨道平面夹角θ ,则有

Mm sin 30 0 ?? (1) 2 r Mm 2? G 2 cos 30 0 ? f cos ? ? m( ) 2 r cos 30 0 ?? (2) T r 1 GMm 2 3 GMm 2? 2 2 ) m ? r ]2 消去①②中的θ 得: f ? ( 2 ) ? [ 2 ? ( 4 r 4 r T f sin ? ? G

?f ?

(GMm) 2 ? 3[GMm ? (2? / T ) 2 mr3 ]2 GMm 1 2? 2 r 3 2 ? ? 1 ? 3 [ 1 ? ( ) ] 2 T GM 4r 4 r2

由题设条件:当

r?3

1 ? 8(1 ? 1 / a) 2 ? 1 ?3 2b

1 ? 8(1 ? 1 / 3) 2 ? 1 2.9 ?3 ( R ? h) 3 ? 1.1318 ( R ? h) ? 47874502 .98m 2? 2 1 2 2( ) T GM
时 f 最小

即当 h? ? r ? R ? 41474 .5km

1 n ) 31 18、 (1) t ? 20 t [1 ? 1 ? ( 1 ) 2 ? ? ? ( 1 ) n ] ? 20 ? 4 ? ? 5.033s 1 31 31 31 31 31 1 1? 31 1? (

(2)5.5s ? t ,此时已相对 M 静止, 车厢速度即为质心速度,F ? t ? MvC ? vC ? 13.2m / s 质心位置初态处于车厢中点右侧 xC ? 质心在 5.5s 时间内的位移: sC ?

m?L/2 ? 0.4m ,末态处于中点左侧 0.4m M ?m

vC 13.2 ?t ? ? 5.5 ? 36.3m 2 2

? s ? sC ? 2xC ? 37.1m

19、 (1)当 q 移至 x 轴上 P 点时,A、B 对 q 的斥力 f1、f2,沿轴方向上的合力 如图 f x ? k

qQ qQ cos ? ? k cos ? 2 AP BP 2
2 2 2 2 2 2

由余弦定理: AP ? r ? x ? 2rx cos? , BP ? r ? x ? 2rx cos?

? cos? ?
fx ?

x ? r cos? r ? x ? 2rx cos?
2 2

cos ??

rc o? s ?x r ? x 2 ? 2rx c o ? s
2

代入 fx
x ? r cos ? r cos ? ? x ? ] 2x 2x 3/ 2 (1 ? cos ? ) (1 ? cos ? ) 3 / 2 r r

kqQ ( x ? r cos ? ) kqq (r cos ? ? x) kqQ ? (略去高阶小量 x 2 ) ? 3 [ (r 2 ? x 2 ? 2rx cos ? ) 3 / 2 (r 2 ? x 2 ? 2rx cos ? ) 3 / 2 r

kqQ 3x 3x 2kqQ [( x ? r cos ? )(1 ? cos ? ) ? (r cos ? ? x)(1 ? cos ? )] ? x(1 ? 3 cos 2 ? ) 3 3 r r r r 1 2 当 cos ? ? 时,fx<0 合力指向原点,处于稳定平衡 3 1 2 0 0 令 cos ? ? 得 ? 54.7 ? ? ? 54.7 3 2kqQ 2kqQ (3 cos 3 ? ? 1) x 得 k ? (3 cos 2 ? ? 1) (2)由 f x ? ? 3 r r3 ?

?? ?

k 2kqQ(3 c o 2 s? ? 1) ? 3 m mr

20、 (1)在轮心参照系中,轮缘切向加速度亦为 a 绳偏角θ ,沿绳方向加速度为 a 对 m 有: (ma ) 2 ? (mg ) 2 ? T ? ma
? T ? m a 2 ? g 2 ? ma ? ( 2 2 ? 10 2 ? 2) ? 1 ? 8.198 N

(2)对滚轮由转动定律: T ?R ? fR ? J ? ? ??(1) 由质心运动定律: f ? T sin ? ? Ma??(2) 又? ?

a a a 1 a 代入上式得: R[T ? (T , sin ? ? ? Ma)] ? R 2 M ? ? R 2 R a2 ? g 2 a2 ? g 2

M?

2 a T (1 ? ) ? 2.1967kg 2 3a a ? g2

(3)由②得 f ? Ma ? T sin ? ? 6 N 在竖直方向上: N ? Mg ? T cos? ? 30( N ) 不打滑: ? ?

f 6 ? ? 0.2 N 30


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