当前位置:首页 >> 数学 >>

《金版学案》2018-2019学年高中数学必修一(人教版)课件:第二章2.3幂函数_图文

第二章 基本初等函数(Ⅰ) 2.3 幂函数 [学习目标] 1.记住幂函数的定义, 会求幂函数的解 析式(重点). 2.熟悉幂函数 y=x,y=x2,y=x3,y=x- 1 1 ,y=x2的图象和性质,并能利用他们的单调性比较函数 值的大小(重点、难点). [知识提炼· 梳理] 1.幂函数的概念 一般地,函数 y=xα 叫作幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数. 温馨提示 (1)记住幂函数的解析式的结构特征:幂 函数的底数 x 是变量,指数 α 是常数,xα前面的系数为 1.(2)注意幂函数 y=xα与指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)的区 别. 2.五种常见幂函数的图象与性质 幂函 数 图象 (-∞,0)∪ R R R [0,+∞) (0,+∞) [0,+∞) y= x y= x 2 y= x 3 1 y=x2 y= x -1 定义 域 幂函数 值域 奇偶性 单调性 定点 y=x R 偶 增 y=x 奇 奇 2 y=x R 奇 增 3 1 y=x2 [0,+∞) 非奇非偶 减 y=x-1 {y|y∈R, 且 y≠0} 增 (0,+∞)减 (-∞,0)减 [0,+∞)减 (-∞,0]增 (1,1) [思考尝试· 夯基] 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y= x不是幂函数.( 2 3 ) ) (2)幂函数 y=x3是偶函数.( (3)若两个幂函数都是增函数,则这两个幂函数的和 构成的函数在公共定义域内也是增函数.( ) 解析:(1)错,y= x=x3,是幂函数. 2 2 2 3 1 (2)对,函数 y=x3的定义域为 R,因为(-x)3=x3,满 2 足偶函数的定义,所以幂函数 y=x3是偶函数. (3)对,根据函数单调性的定义可以证明结论正确. 答案:(1)× (2)√ (3)√ 1 1 3 2.在函数 y= 5,y=2x ,y=x-1,y=x0 中,幂函 x 数的个数是( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3 1 解析:y= 5和 y=x0 是幂函数,故选 C. x 答案:C 3.下列函数中,定义域为 R 的函数是( 3 ) A.y=x4 2 B.y=x - 1 3 C.y=x3 3 4 D.y=x -3 解析:y=x4= x3,定义域为[0,+∞); 1 1 y=x- = 3 ,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞); 3 x 2 y=x3= x2,定义域为 R; y=x-3= 3,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).故选 C. 答案:C 1 x 3 ?1? 4. 已知幂函数 f(x)图象过点(4, 2), 则 f?8?=________. ? ? 解析:设幂函数为 y=xα(α 为常数).因为 f(x)图象过 点(4,2),所以 1 2=4α,得 1 α= . 2 2 . 4 ?1? ?1?1 所以 y=x2,所以 f?8?=?8?2= ? ? ? ? 2 答案: 4 1 1 5 .若 (a + 1) 3 <(2a - 2) 3 ,则实数 a 的取值范围是 ________________. 1 1 解析:因为幂函数 y=x3在 R 上为增函数,且(a+1)3 1 <(2a-2)3,所以 a+1<2a-2,得 a>3. 答案:(3,+∞) 类型 1 幂函数的概念(自主研析) [典例 1] (1)下列几个函数中, 为幂函数的是______. ①y=4 ;②y= x2;③y=-x2;④y=x-2+x2;⑤y 2 1 =x;⑥y= . x x 3 1 (2)已知幂函数 f(x)=(m -2m-2)x 坐标轴没有交点,则 m=______. 2 m2 + m- 1 的图象与 1 1 解析:(1)因为 y= x =x3,y= =x-2,根据幂函 x 2 3 2 数的解析式结构知,只有②⑥是幂函数,其他都不是幂函 数. (2)依题意 m2-2m-2=1,即 m2-2m-3=0,解得 m=-1 或 m=3.当 m=3 时,f(x)=x11 经过原点,与坐标 轴有交点,不合题意,而 m=-1 时符合题意. 答案:(1)②⑥ (2)-1 归纳升华 判断一个函数是否为幂函数的方法: 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y =xα(α为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的形式, 且需满足:①指数为常数;②底数为自变量;③系数为 1.反之, 若一个函数为幂函数, 则该函数应具备这一形式, 这是我们解决某些问题时要注意的隐含条件. [变式训练] 已知函数 f(x)=(m -m-1)x 2 m 2 + m- 3 是 幂函数,且当 x∈(0,+∞)时,f(x)是增函数,则 f(x)= ________. 解析:根据幂函数的定义得 m2-m-1=1, 解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,f(x)=x3 在(0,+∞)上是增函数; 当 m=-1 时,f(x)=x-3 在(0,+∞)上是减函数,不 符合要求.故 f(x)=x3. 答案:x3 类型 2 幂函数的图象 [典例 2] 如图是幂函数 y=xm 与 y=xn 在第一象限内 的图象,则( ) A.-1<n<0<m<1 C.-1<n<0,m>1 B.n<-1,0<m<1 D.n<-1,m>1 解析:此类题有一简捷的解决办法,在(0,1)内取 x0, 作直线 x=x0,与各图象有交点,则“点低指数大”. 所以 0<m<1,n<-1. 答案:B 归纳升华 解决幂函数的图象问题,需把握两个原则:(1)依 据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上, 指数越大,幂函数图象越靠近 x 轴(简记为指大图低);在 (1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离 x 轴(简记为 指大图高). (2)由图象确定幂指数