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新版高中数学人教A版必修5课件:第三章不等式 3.3.1.2 _图文

第2课时 二元一次不等式(组)表示平面区域的应用
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1.复习巩固二元一次不等式(组)表示的平面区域. 2.掌握二元一次不等式(组)表示的平面区域在求最值和实际背景 中的应用.

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1.二元一次不等式及其表示的平面区域 (1)定义:含有两个未知数,并且未知数的次数是1的不等式叫做二 元一次不等式.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一 次不等式组.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对 (x,y),所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组) 的解集. (2)画二元一次不等式表示平面区域的步骤:
①画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线(如果原不等
式的不等号中带等号,则画成实线;否则,画成虚线).
②定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式,根
据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在 直线的哪一侧,常用的特殊点为(0,0),(1,0),(0,1).

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【做一做1】 画出二元一次不等式y≥3x表示的平面区域. 解画直线y=3x,且画成实线.当x=0,y=1时,y≥3x成立,则点(0,1)在 y≥3x表示的平面区域一侧,故所求作平面区域如图中的阴影部分 所示.

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2.二元一次不等式组表示的平面区域 二元一次不等式组表示的平面区域是各个二元一次不等式表示 的平面区域的交集,即各个不等式表示的平面区域的公共部分.注 意平面区域是否包括边界,包括边界时边界直线为实线,不包括边 界时边界直线为虚线.

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【做一做 2】

画出不等式组

--1 < 0, 2--3 ≥ 0

表示的平面区域.

解画出直线x-y-1=0(虚线),不等式x-y-1<0表示直线x-y-1=0左上

方的平面区域.

画出直线2x-y-3=0(实线),

不等式2x-y-3≥0表示直线2x-y-3=0上及右下方的平面区域.

所以不等式组

--1 < 0, 2--3 ≥ 0

表示的平面区域是如图所示的阴影

部分.

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判定二元一次不等式表示的平面区域

剖析(1)当

B>0

时,Ax+By+C>0

可转化为

y>?





?



,

表示直线Ax+By+C=0 上方的区域;当 B<0 时,Ax+By+C<0 可转化



y>?





?



,

表示直线Ax+By+C=0

上方的区域.

(2)当

B>0

时,Ax+By+C<0

可转化为

y<?





?



,

表示直线Ax+By+C=0 下方的区域;当 B<0 时,Ax+By+C>0 可转化



y<?





?



,

表示直线Ax+By+C=0

下方的区域.

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题型一 题型二 题型三

求不等式组表示的平面区域的面积 + 2-1 ≥ 0,
【例 1】 画出不等式组 2 + -5 ≤ 0, 所表示的平面区域, ≤ + 2

并求其面积.

解如图所示,其中的阴影部分就是不等式组表示的平面区域.



- + 2 = 0, 2 + -5 = 0,

得A(1,3).

同理得 B(-1,1),C(3,-1).

∴AC= 22 + 42 = 2 5,

而点 B 到直线 2x+y-5=0 的距离为

d=

|-2+1-5| 5

=

65,

∴S△ABC=

1 2

·d=

1 2

×

2



6 5

=

6.

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反思求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根 据平面区域的形状求面积,若画出的图形为规则的,则直接利用面 积公式求解;若图形为不规则图形,可采用分割的方法,将平面区域 分为几个规则图形后再求解.

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题型一 题型二 题型三
- + 6 ≥ 0, 【变式训练 1】 画出不等式组 + ≥ 0, 所表示的平面区域,
≤ 3 并求平面区域的面积.
- + 6 ≥ 0, 解不等式组 + ≥ 0, 所表示的平面区域如图所示,
≤ 3 因此其区域面积也就是△ABC的面积. 显然,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,AB=AC,B点的坐标为(3,-
3).
由点到直线的距离公式,

题型一 题型二 题型三

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|AB|=

|3+3+6| 2

=

12 2

,

故S△ABC=

1 2

×

12 2

×

12 2

=

36.

- + 6 ≥ 0,

故不等式组 + ≥ 0, 所表示的平面区域的面积等于36.

≤ 3

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最值问题

2 + -2 ≥ 0,

【例 2】 已知实数 x,y 满足 -2 + 4 ≥ 0, 求:

3--3 ≤ 0,

(1)(x+1)2+y2 的最大值和最小值;

(2)

+1 +2

的最大值和最小值.

分析将(x+1)2+y2和

+1 +2

赋予几何意义,画出不等式组表示的平面

区域,结合图形求出最值.

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题型一 题型二 题型三

解画出不等式组表示的平面区域,如图所示的阴影部分.设P(x,y). (1)设M(-1,0),则有(x+1)2+y2

=( ( + 1)2 + 2)2 = ||2.

由图知|PM|的最大值是|AM|,

又 A(2,3),则|AM|= (2 + 1)2 + 32 = 3 2.

又点

M 到直线

2x+y-2=0 的距离 d=

|-2-2| 4+1

=

4 5

5.

∴|PM|的最小值是

d=

4 5

5.

∴|PM|2 的最大值是(3

2)2 = 18, 最小值是

4 5

5 2 = 156,

即(x+1)2+y2 的最大值是 18,最小值是 156.

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(2)设

N(-2,-1),则有

+1 +2

=

-(-1) -(-2)

=

,

由图知 B(1,0),C(0,2),



kNB=

0+1 1+2

=

1 3

,



=

2+1 0+2

=

32.

∴kNB≤kNP≤kNC.

∴ 13≤kNP≤32,

+ 1

13

即 + 2 的取值范围是 3 , 2 .

+ 1

3

1

故 + 2 的最大值是 2 , 最小值是 3.

题型一 题型二 题型三

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反思当已知 x,y 满足二元一次不等式(组),求形如

(-

)2

+

(-)2,

- -

的最值时,通常利用数形结合来解决,其步骤

是:(1)画出二元一次不等式(组)表示的平面区域;(2)令 P(x,y)是平面

区域内任意一点,则

(-)2

+

(-)2

=

||,

其中M(a,b),

- -

=

, 其中N(m,n);(3)借助于平面区域求出|PM|,kPN 的最值.

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题型一 题型二 题型三

- + 2 ≥ 0,

【变式训练 2】 已知 + -4 ≥ 0, 求:

2--5 ≤ 0,

(1)x2+y2-10y+25 的最小值;

(2)

2+1 +1

的取值范围.

解作出不等式组表示的平面区域如图, 并求出顶点的坐标A(1,3),B(3,1),C(7,9).

(1)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2表示平面区域内任一点(x,y)到定点

M(0,5)的距离的平方,过M作直线AC的垂线,易知垂足N在线段AC上, 故所求的最小值是|MN|2= 92.

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(2)

2+1 +1

=

2

·--(--121)

表示平面区域内任一点(x,y)与定点

-1,-

1 2

连线的斜率的两倍.因为

kQA=

7 4

,



=

3 8

,



2+1 的取值范围为
+1

3 4

,

7 2

.

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实际应用问题 【例3】 某厂使用两种零件A,B装配甲,乙两种产品,该厂的生产 能力是每月最多生产甲产品2 500件,每月最多生产乙产品1 200件, 而且装一件甲产品需要4个A零件,6个B零件,装一件乙产品需要6个 A零件,8个B零件.某月,该厂能用的A零件最多有14 000个,B零件最 多有12 000个,用不等式组将甲,乙两种产品产量之间的关系表示出 来,并画出相应的平面区域. 分析分别设出两种产品的产量,由题目中的条件列出不等式组.

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题型一 题型二 题型三

解设每月生产甲产品x件,每月生产乙产品y件,

0 ≤ ≤ 2 500,∈N, 0 ≤ ≤ 2 500,∈N,

则 x,y 满足 0 ≤ ≤ 1 200,∈N, 即 0 ≤ ≤ 1 200,∈N,

4 + 6 ≤ 14 000,

2 + 3 ≤ 7 000,

6 + 8 ≤ 12 000,

3 + 4 ≤ 6 000.

在平面直角坐标系中,画出上述不等式组表示的平面区域,如下

图阴影部分中的整数点所示.

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反思解决此类题目的关键是列出不等式组,用字母表示变量,找出

表示不等关系的关键词,列出不等式组即可.本题中表示不等关系

的关键词是“每月最多生产甲产品2 500件,每月最多生产乙产品1

200件”“A零件最多有14 000个,B零件最多有12 000个”.

≤ 2 500,

本题易错写为不等式组

≤ 1 200, 4 + 6 ≤ 14 000,

6 + 8 ≤ 12 000,

其原因是忽视了变量的实际意义,其避免方法是实际问题中要优

先考虑实际意义.

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【变式训练3】 一工厂生产甲、乙两种产品,每生产1 t产品的资 源需求如下表:

品种 甲 乙

电力/kW·h 2 8

煤/t

工人/人

3

5

5

2

该厂有工人200人,每天只能保证160 kW·h的用电额度,每天用煤 不得超过150 t,请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的 产量的范围.

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题型一 题型二 题型三

解设每天分别生产甲、乙两种产品x t和y t,生产x t甲产品和y t乙

产品的用电量是(2x+8y) kW·h,根据条件有2x+8y≤160;用煤量为

(3x+5y) t,根据条件有3x+5y≤150;用工人数为5x+2y≤200;另外,还

有x≥0,y≥0.

2 + 8 ≤ 160,

综上所述,x,y 应满足不等式组

3 + 5 ≤ 150, 5 + 2 ≤ 200,

≥ 0, ≥ 0.

甲、乙两种产品允许的产量范围是这组不等式表示的平面区域,

即如图所示的阴影部分(含边界).

编后语

? 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好,直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课,同学们可以参考如下建议:
? 一、听要点。
? 一般来说,一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家,同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时,老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了,这节课就基本掌握了。
? 二、听思路。
? 思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时,首先思考应该从什么地方下手,然后在思考用什么方法,通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
? 三、听问题。
? 对于自己预习中不懂的内容,上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过,并没有详细解答, 大家要及时地把它们记下来,下课再向老师请教。
? 四、听方法。
? 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字,一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向;分析小说,一般都是从人物、环境、情节三个要素入手;写记叙文,则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法,如解数学题时,会用到反正法;换元法;待定系数法;配方法;消元法; 因式分解法等,掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
? 优等生经验谈:听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程,那么后面的结论自然就出现了,学习起来才能够举 一反三,事半功倍。

2019/7/9

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