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高中数学人教b版必修5学案:1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理探究学案(含答案)

1.1.2 余弦定理 课堂探究 一、三角形中的四类基本问题 剖析:解三角形的问题可以分为以下四类: (1)已知三角形的两边和其中一边的对角,解三角形. 此种情况的基本解法是先由正弦定理求出另一条边所对的角, 用三角形的内 角和定理求出第三个角,再用正弦定理求出第三边,注意判断解的个数. (2)已知三角形的两角和任一边,解三角形. 此种情况的基本解法是若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一 边,再由三角形内角和定理求出第三个角,再由正弦定理求第三边.若所给边不 是已知角的对边时, 先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两 边. (3)已知两边和它们的夹角,解三角形. 此种情况的基本解法是先用余弦定理求第三边, 再用正弦定理或余弦定理求 另一角,最后用三角形内角和定理求第三个角. (4)已知三角形的三边,解三角形. 此种情况的基本解法是先用余弦定理求出一个角, 再用正弦定理或余弦定理 求出另一个角,最后用三角形内角和定理求出第三个角. 二、教材中的“?” 在△ABC 中,令 AB =c, AC =b, BC =a,你能通过计算|a|2=a·a 证明 余弦定理吗? 剖析:如图所示,|a|2=a·a=a2= BC · BC =( AC - AB )·( AC - AB ) = AC -2 AC · AB + AB = AC -2| AC || AB |cos A+ AB =b2+c2-2bccos A,即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可证 b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 知识拓展: 除了向量法和几何法来证明余弦定理外,我们还可以用坐标法或正弦 定理来解决. (1)(坐标法)如图所示,以 A 为坐标原点,AC 所在直线为 x 轴建立如图所示 的平面直角坐标系, 2 2 2 2 则点 A,B,C 的坐标分别为 A(0,0),B(ccos A,csin A),C(b,0),根据 两点间的距离公式,得 a=|BC|= ? c cos A ? b ? ? ? c sin A ? 0? 2 2 , ∴a2=c2cos2A-2bccos A+b2+c2sin2A, 即 a2=b2+c2-2bccos A. 同理可得 b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. (2)(用正弦定理证明)∵a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, ∴b2+c2-2bccos A =4R2(sin2B+sin2C-2sin Bsin Ccos A) =4R2[sin2B+sin2C+2sin Bsin Ccos(B+C)] =4R2(sin2B+sin2C-2sin2Bsin2C+2sin Bsin Ccos Bcos C) =4R2[sin2B(1-sin2C)+sin2C(1-sin2B)+2sin B sin Ccos Bcos C] =4R2(sin2Bcos2C+2sin Bsin Ccos Bcos C+sin2Ccos2B) =4R2sin2(B+C)=4R2sin2A=a2. 同理可证 b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. 题型一 用余弦定理解三角形 【例 1】 在△ABC 中: (1)a=1,b=1,∠C=120°,求 c; (2)a=3,b=4,c= (3)a∶b∶c=1∶ 37,求最大角; 3∶2,求∠A,∠B,∠C. 分析:(1)直接利用余弦定理即可; (2)在三角形中,大边对大角; (3)可设三边为 x, 解:(1)由余弦定理,得 ? 1? ? ? c2=a2+b2-2abcos C=12+12-2×1×1×?- ?=3, ? 2? ∴c= 3. 3x,2x. (2)显然∠C 最大. a2+b2-c2 32+42-37 1 ∵cos C= = =- , 2ab 2×3×4 2 ∴∠C=120°. (3)由于 a∶b∶c=1∶ 由余弦定理,得 b2+c2-a2 3x2+4x2-x2 3 cos A= = = ,∴∠A=30°. 2bc 2 2· 3x·2x 1 同理 cos B= ,cos C=0, 2 ∴∠B=60°,∠C=90°. 反思:(1)本例为余弦定理的最基本应用,要在此基础上熟练地掌握余弦定 理的结构特征. (2)对于第(3)小题,根据已知条件,设出三边长,由余弦定理求出∠A, 进而求出其余两角.另外也可由边长关系,判断出∠C 为直角,再求角. 题型二 判断三角形的形状 3∶2,可设 a=x,b= 3x,c=2x. 【例 2】在△ABC 中, 已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc, 且 sin A=2sin B·cos C, 试确定△ABC 的形状. 分析:利用余弦定理先求出∠A=60°,再根据三角变换公式求得∠B= ∠C. 解:∵(a+b+c)(b+c-a)=3bc,∴a2=b2+c2-bc. 1 而 a2=b2+c2-2bccos A,∴2cos A=1.∴cos A= . 2 ∴∠A=60°.又 sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos B sin C,sin A =2sin B·cos C, ∴sin Bcos C-cos Bsin C=0, 即 sin(∠B-∠C)=0,∴∠B=∠C. 又∵∠B+∠C=120°,∴∠A=∠B=∠C=60°. 故△ABC 为等边三角形. 反思:(1)判断三角形的形状是看该三角形是否为某特殊的三角形(如锐角、 直角、钝角、等腰、等边三角形等). (2)对于给出条件是边角关系混合在一起的问题,一般地,应运用正弦定 理和余弦定理,要么统一为边的关系,要么统一为角的关系.再利用三角形 的有关知识、三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简,从而 得出结论. (3)常见结论:设 a,b,c 分别是△ABC 的角 A,B,C 的对边, ①若 a2+b2=c2,则

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