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高中数学函数定义域的求法


函数定义域、值域的求法
求函数的定义域的基本方法有以下几种: 1.已知函数的解析式,若未加特殊说明,则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。 一般有以下几种情况: ? 整式表达式是任意实数; ? 分式中的分母不为零; ? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ? 奇次方根下的数(或式)是任意实数; ? 零指数幂的底数不等于零; ? 指数式的底数大于零且不等于一; ? 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范 围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 例 1 函数 y ? log 2

2x ? 1 的定义域为 3? x

2、求函数f ( x) ?

x 2 ? 5x ? 6 的定义域 x?2

3、 求函数 y= 3 x ? 2 + 2、抽象函数的定义域的求法。

0 (x ? 3) 3

2x ? 3

的定义域

已知 y ? f ( x) 的定义域为 ?m, n? ,求 y ? f ?g ( x)? 的定义域,可由 m ? g ( x) ? n 解出 x 的范围,即为 y ? f ?g ( x)? 的定义域。 例 2 (1)已知 f(x)的定义域为[-1,1],求 f(2x-1)的定义域。 (2)已知 f(2x-1)的定义域为(-1,5] ,求函数 f(x)的定义域。 (3)已知 f(2x-5 )的定义域为(-1,5] ,求函数 f(2-5x)的定义域。

三、逆向型 例 3、已知函数 y ?

mx 2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

练习:已知函数 f ( x) ?

kx ? 7 的定义域是 R ,求实数 k 的取值范围。 kx ? 4kx ? 3
2

1

巩固练习 1.若函数 f ( x) ? A. ( ?

1 ,则 f ( x) 的定义域为 log 2 (2 x ? 1)
B.

(

) D.

1 ,0 ) 2

1 (? ,??) 2

C.

1 (? ,0) ? (0,??) 2
( )

1 ( ? , 2) 2

2. 函数 f ( x) ?

1 ? lg( x ? 1) 的定义域是 1? x
B.(1,+∞)
2

A.(-∞,-1) 3. 函数 f ( x) ?

C.(-1,1)∪(1,+∞) ( )

D.R

? lg(3 x ? 1) 的定义域是 1? x 1 1 1 ? ? A. ( ? ?, 3 ) B.( 3 , 3 )

3x

1 C.( 3 ,1) ?
( ) D. ( ( )

1 D.( 3 , ? ? ) ?

4 函数 y ? A.(

1 的定义域为 log 0.5 (4 x ? 3)
B(

3 ,1) 4

3 ,∞) 4

C(1,+∞)

3 ,1)∪(1,+∞) 4

5. 已知 f ( x) = A. {x | x ? ?1}

1 ,则函数 f ( f ( x)) 的定义域是 x ?1
B. {x | x ? ?2}
2

C. {x | x ? ?1且x ? ?2}

D. {x | x ? ?1或x ? ?2}

6. 函数= y ? kx ? 6 x ? k ? 8 的定义域为 R,则 k 的取值范围是 ( ) A. k ? 0或k ? ?9 B. k ? 1 C. ?9 ? k ? 1 D. 0 ? k ? 1 7.函数 f ( x) ? 3 x ? x 2 的定义域为 ( ) 3 A.[0,2 ] B.[0,3] C.[ ? 3,0] D. (0,3) 8 .若函数 f ( x) 的定义域为 [a , b ] ,且 b ? ?a ? 0 ,则函数 g ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域是 ( ) A. [a, b] B. [?b, ?a] C. [?b, b] D. [a, ?a] 9.设 I=R,已知 f ( x) ? lg( x 2 ? 3x ? 2) 的定义域为 F,函数 g ( x) ? lg( x ? 1) ? lg( x ? 2) 的定 义域为 G, 那么 GU C I F 等于 ( ) A.(2,+∞) B.(-∞,2) C.(1,+ ∞) D.(1,2)U(2,+∞) 1? x 10.已知函数 f ( x) ? lg 的定义域为 A,函数 g ( x) ? lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 B, 1? x 则下述关于 A、B 的关系中,不正确的为 ( ) A.A?B B.A∪B=B C.A∩B=B D.B? ≠A 11.若函数 f ( x) 的定义域为[-2,2],则函数 f ( x ) 的定义域是 ( ) A.[-4,4] B.[-2,2] C. [0,2] D. [0,4] 12.已知函数 f ( x) 的定义域为[0,4],求函数 y ? f ( x ? 3) ? f ( x 2 ) 的定义域为 ( ) A. [?2, ?1] B. [1, 2] C. [?2, 1] D. [?1, 2] -x -3x+4 13. 函数 y= 的定义域为 x A.[-4,1] B.[-4,0)
2

( C.(0,1]

) D.[-4,0)∪(0,1]

14. 若函数 f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1 的定义域和值域都为 R,则 a 的取值范围是
2

(

) A.a=-1 或 3 B.a=-1 C.a > 3 或 a <-1 D.-1 < a < 3 ( D. (0,1) )

15. 若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= A. [0,1] B. [0,1)

f ?2x? 的定义域是 x ?1

C. [0,1)∪(1,4]
2

16. ( 2009 江西 卷理)设 函数 f ( x) ?

ax ? bx ? c (a ? 0) 的定 义域为 D , 若所 有点 ( ) ( s, f (t ))( s, t ? D) 构成一个正方形区域,则 a 的值为 A. ?2 B. ?4 C. ?8 D.不能确定 2? x 17 . 已 知 函 数 y ? 2 的 定 义 域 是 R , 则 实 数 a 的 范 围 是 ax ? (a ? 3) x ? 1
_________________ . 1 18.若函数 f(x)的定义域是[0,1],则 f(x+a)· f(x-a) (0<a< )的定义域是__ 2 21、函数 y ? ______.

1 3 ? 2x ? x 2
2

的定义域为



22、函数 y= log 1 (x ?1) 的定义域是____。 23、若函数 y ? f (2 x) 的定义域为 ?1,2? ,则 f ( x) 的定义域为 。

24 、 若 函 数 y ? f ( x) 的 定 义 域 为 ?0,1? , 则 f ( x ? a) ? f ( x ? a) (其中a ? 0) 的 定 义 域 为 25. 函数 y ? 。

1 的定义域是 6 ? x ? x2

.

值域部分
知识点及方法: 二次函数法;换元法;配方法;判别式法;函数单调性法;反函数法;数 形结合法;均值不等式法;用导数知识等 1. 二次函数法(用换元法化为二次函数) 求下列函数的值域 (1)

y ? 2 ? 4x ? x2

(2)

(3) y ? x ? 1 ? x (4) 2 (5) 设关于 x 的函数 y=2cos x-2acosx-(2a+1)的最小值为 f(a). ① 用 a 写出的 f(a)表达式. ② 试确定能使 f(a)=
2

1 x ? 2x ? 4 y ? 2cos 2 x ? sin x ? 3 y?
2

1 的 a, 并对这个 a, 求 y 的最小值. 2
2

(6) 已知函数 y=x -2x, x∈[t,t+1],求函数在[t,t+1]上取最小值. (7) 已知点 P(a,0)(a∈R),M 是双曲线 x ?
2

1 2 y ? 1 上的动点, 求|PM|的最小值. 4

(8) 已知点 P 是抛物线 y =4px(p>0)上动点,Q(1, 0), 求|PQ|的最小值.

2. 函数单调性法 求下列函数的值域

3

(1)

y ? x2 ? 2x

x ? ? 2, 4?

(2) 已知二次函数 f ( x) ? (3)

1 ( x ? 1)2 ? 1 的定义域和值域都为 [1 , b] (b>1) ,求 b 的值. 2 1 a (4) y ? x ? , (a ? 0), x ? [0,1] y ? x ? , x ? [2, 4] x x

3.反函数法 求下列函数的值域 (1) (3)

y?

1? x 2x ? 5

(2) (4)

y?

1? x 2x ? 5

(1 ? x ? 2)

x2 ?1 y? 2 x ?1

y?

cos x 2 ? sin x

4. 数形结合法 求下列函数的值域 (1) (3) (4) 已知 (2)

x2 y?2 的最大值和最小值. ? y 2 ? 1 ,求 4 x?3
是 与 x 中较小者,求 的最大值.

(5) 对于任意实数 x ,设函数

5.函数的值域与均值不等式 求下列函数的值域或最值 (1) y ? x ?

1 x

( x ? 0)

(2) y ?

x 2 ? 3x ? 1 , ( x ? 1 ? 0) x ?1

4


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