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2013年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)文科数学试题答案

2013 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数学试题(文科)参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 D 9 B 10 A A C D C C D B 答案 二、填空题:本大共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 2 12. 2? (2 分) , 3 (3 分) 13.

1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 5 2 6 12 20 30
15. 1 : 4

14. 2 ? sin(? ?

?

) ? 1 (或 2 ? cos(? ? ) ? 1 、 ? cos? ? 3? sin ? ? 1 ) 6 3

?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 解析: (1)∵ cos 2? ? 2 cos ? ? 1 ? ?
2

∵ ? ? (0,

?
2

7 9 2 ,∴ cos ? ? , 25 25
-----------------5 分
2

) ,∴ cos ? ?

3 . 5 4 , 5

(2)方法一、由(1)得 sin ? ? 1 ? cos ? ? ∵ ?CAD ? ?ADB ? ?C ? ? ? 45 ,





-----------------9 分



中,由正弦定理得:







-----------------11 分

A

则高



-----------------12 分

C

D

B

第 16 题图

H

文科试题参考答案

第 1 页 共 7 页

方法二、如图,作

边上的高为

在直角△

中,由(1)可得



则不妨设



-----------------8 分

注意到

,则

为等腰直角三角形,所以

, -----------------10 分 -----------------12 分

则 1 ? 3m ? 4m 所以 m ? 1 ,即 AH ? 4 17. (本题满分 12 分) 解析:

1 1 (2.5 ? 2 ? 7.5 ? 6 ? 12.5 ? 4 ? 17.5 ? 2 ? 22.5 ? 1) ? ? 157.5=10.5 min.-----------------3 分 15 15 3? 6 8 ? , (2)候车时间少于 10 分钟的概率为 -----------------4 分 15 15 8 ? 32 人. 所以候车时间少于 10 分钟的人数为 60 ? -----------------6 分 15
(1) (3) 将第三组乘客编号为 a1 , a2 , a3 , a4 , 第四组乘客编号为 b1 , b2 . 从 6 人中任选两人有包含以下基本事件:

(a1, a2 ),(a1, a3 ),(a1 , a4 ),(a1 , b1 ),(a1, b2 ) , (a2 , a3 ),(a2 , a4 ),(a2 , b1 ),(a2 , b2 ) , (a3 , a4 ),(a3 , b1 ),(a3 , b2 ) , (a4 , b1 ),(a4 , b2 ) ,

(b1 , b2 ) ,
其中两人恰好来自不同组包含 8 个基本事件,所以,所求概率为
文科试题参考答案

----------------10 分

8 . 15

-----------------12 分 P

第 2 页 共 7 页

18. (本题满分 14 分) 解析: (Ⅰ)法 1:连接 CO ,由 3 AD ? DB 知,点 D 为 AO 的中点, 又∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 由 3 AC ? BC 知, ?CAB ? 60 , ∴?ACO 为等边三角形,从而 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD

AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分

(注:证明 CD ? 平面 PAB 时,也可以由平面 PAB ? 平面 ACB 得到,酌情给分. ) 法 2:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , ∵ 在 Rt?ABC 中, AB ? 4 , ∴ 由 3 AD ? DB , 3 AC ? BC 得, DB ? 3 , AB ? 4 , BC ? 2 3 ,



BD BC 3 ,则 ?BDC ∽ ?BCA , ? ? BC AB 2

∴?BCA ? ?BDC ,即 CD ? AO .-----------------3 分 ∵ 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD

AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分

法 3:∵ AB 为圆 O 的直径,∴AC ? CB , 在 Rt?ABC 中由 3 AC ? BC 得, ?ABC ? 30 , ∵ AB ? 4 ,由 3 AD ? DB 得, DB ? 3 , BC ? 2 3 , 由余弦定理得, CD ? DB ? BC ? 2DB ? BC cos30 ? 3 ,
2 2 2 2 2 2 ∴CD ? DB ? BC ,即 CD ? AO .-----------------3 分

∵ 点 P 在圆 O 所在平面上的正投影为点 D , ∴PD ? 平面 ABC ,又 CD ? 平面 ABC , ∴PD ? CD ,-----------------5 分 由 PD

AO ? D 得, CD ? 平面 PAB .-----------------6 分

(Ⅱ)法 1:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,--------7 分
文科试题参考答案 第 3 页 共 7 页

(注:在第(Ⅰ)问中使用方法 1 时,此处需要求出线段的长度,酌情给分. ) ∴VP ? BDC ? 又 PB ?

1 1 1 1 1 3 3 .--------10 分 S?BDC ? PD ? ? DB ? DC ? PD ? ? ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 3 2 3 2 2

PD2 ? DB2 ? 3 2 , PC ? PD2 ? DC 2 ? 2 3 , BC ? DB2 ? DC 2 ? 2 3 ,
1 9 3 15 .--------12 分 ? 3 2 ? 12 ? ? 2 2 2

∴?PBC 为等腰三角形,则 S?PBC ? 设点 D 到平面 PBC 的距离为 d , 由 VP? BDC ? VD?PBC 得, S?PBC ? d ?

1 3

3 3 3 5 ,解得 d ? .--------14 分 2 5
P

法 2:由(Ⅰ)可知 CD ? 3 , PD ? DB ? 3 ,

过点 D 作 DE ? CB ,垂足为 E ,连接 PE ,再过点 D 作 DF ? PE ,垂足为 F .-----------------8 分 ∵PD ? 平面 ABC ,又 CB ? 平面 ABC , ∴PD ? CB ,又 PD DE ? D , ∴CB ? 平面 PDE ,又 DF ? 平面 PDE , ∴CB ? DF ,又 CB PE ? E , ∴DF ? 平面 PBC ,故 DF 为点 D 到平面 PBC 的距离.--------10 分 A D F O C E B

3 3 5 2 2 在 Rt?DEB 中, DE ? DB ? sin 30 ? , PE ? PD ? DE ? , 2 2

3 PD ? DE 2 ? 3 5 ,即点 D 到平面 PBC 的距离为 3 5 .-------14 分 在 Rt?PDE 中, DF ? ? 5 PE 5 3 5 2 3?
19. (本题满分 14 分) 解析: (1)∵ Sn ? 2an ? 2 , ∴当 n ? 1 时, a1 ? 2a1 ? 2 ,解得 a1 ? 2 ;当 n ? 2 时, S2 ? a1 ? a2 ? 2a2 ? 2 ,解得 a2 ? 4 ; 当 n ? 3 时, S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 2a3 ? 2 ,解得 a3 ? 8 . -----------------3 分 -----------------5 分

(2)当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2an ? 2) ? (2an?1 ? 2) ? 2an ? 2an?1 ,

得 an ? 2an?1 又 a1 ? S1 ? 2a1 ? 2 , a1 ? 2 ,∴数列{ an }是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列, 所以数列{ an }的通项公式为 an ? 2n . -----------------7 分

b1 ? a1 ? 2 ,设公差为 d ,则由 b1 , b3 , b11 成等比数列,
得 (2 ? 2d ) ? 2 ? (2 ? 10d ) ,
2

-----------------8 分 ----------------9 分
文科试题参考答案 第 4 页 共 7 页

解得 d ? 0 (舍去)或 d ? 3 ,

所以数列 {bn } 的通项公式为 bn ? 3n ? 1 .-----------------10 分 (3)令 Tn ?

b1 b2 b3 ? ? ? a1 a2 a3

?

2 5 8 bn ? 1? 2? 3? an 2 2 2 2Tn ? 2 ? 5 8 ? ? 21 22

? ?

3n ?1 , 2n

3n ? 1 ,-----------------11 分 2n ?1

两式式相减得

3 3 3 3n ? 1 ? 2 ? ? n ?1 ? n , 1 2 2 2 2 3 1 (1 ? n?1 ) 3n ? 1 3n ? 5 2 ∴ Tn ? 2 ? 2 ? n ? 5 ? n ,-----------------13 分 1 2 2 1? 2 3n ? 5 ? 0 ,故 Tn ? 5 .-----------------14 分 又 2n Tn ? 2 ?
20. (本题满分 14 分) 解析: (1)法 1:设所求圆的方程为 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ,

? 4 ? 2D ? F ? 0 ? 由题意可得 ? 4 ? 2 D ? F ? 0 ,解得 D ? E ? 0, F ? ?4 , ? ?1 ? 3 ? D ? 3E ? F ? 0
∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 ? 0 ,即 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 法 2:线段 AC 的中点为 (? ,

1 3 3 , ) ,直线 AC 的斜率为 k1 ? 2 2 3 3 1 ? ? 3( x ? ) , 2 2

∴线段 AC 的中垂线的方程为 y ? 线段 AB 的中垂线方程为 x ? 0 ,

∴ ?ABC 的外接圆圆心为 (0, 0) ,半径为 r ? 2 , ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2

法 3: | OC |?

(1 ? 0) 2 ? ( 3 ? 0) 2 ? 2 ,而 | OA |?| OB |? 2 ,

∴ ?ABC 的外接圆是以 O 为圆心, 2 为半径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x ? y ? 4 .-----------------6 分
2 2

法 4:直线 AC 的斜率为 k1 ?

3 ,直线 BC 的斜率为 k2 ? ? 3 , 3

∴ k1 ? k2 ? ?1 ,即 AC ? BC ,
文科试题参考答案 第 5 页 共 7 页

∴ ?ABC 的外接圆是以线段 AB 为直径的圆, ∴ ?ABC 的外接圆方程为 x2 ? y 2 ? 4 .-----------------6 分 (2)由题意可知以线段 AB 为直径的圆的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,设点 R 的坐标为 (2, t ) , ∵ A, C , R 三点共线,∴ AC // AR ,----------------8 分 而 AC ? (m ? 2, n) , AR ? (4, t ) ,则 4n ? t (m ? 2) , ∴t ?

4n , m?2 4n 2n ) ,点 D 的坐标为 (2, ) ,-----------------10 分 m?2 m?2

∴点 R 的坐标为 (2,

∴直线 CD 的斜率为 k ?

n?

2n m ? 2 ? (m ? 2)n ? 2n ? mn , m?2 m2 ? 4 m2 ? 4

而 m2 ? n2 ? 4 ,∴ m2 ? 4 ? ?n2 , ∴k ?

mn m ? ? ,-----------------12 分 2 ?n n
m ( x ? m) ,化简得 mx ? ny ? 4 ? 0 , n

∴直线 CD 的方程为 y ? n ? ?

∴圆心 O 到直线 CD 的距离 d ? 所以直线 CD 与圆 O 相切. 21. (本题满分 14 分) 解析: (1) f ?( x) ?
x

4 m2 ? n 2

?

4 ?2?r, 4
-----------------14 分

xe x ? (e x ? 1) ( x ? 1)e x ? 1 ? , x2 x2
x x x

-----------------2 分

令 h( x) ? ( x ?1)e ? 1 ,则 h?( x) ? e ? e ( x ?1) ? xe , 当 x ? 0 时, h?( x) ? xe ? 0 ,∴ h( x) 是 ? 0, ??? 上的增函数,
x

∴ h( x) ? h(0) ? 0 , 故 f ?( x) ?

h( x ) ? 0 ,即函数 f ( x) 是 ? 0, ??? 上的增函数. x2

-----------------6 分

(2) f ( x) ? 1 ?

ex ?1 ex ? x ?1 , ?1 ? x x
x x

当 x ? 0 时,令 g ( x) ? e ? x ? 1,则 g ?( x) ? e ?1 ? 0 ,
文科试题参考答案 第 6 页 共 7 页

-----------------8 分

ex ? x ?1 故 g ( x) ? g (0) ? 0 ,∴ f ( x) ? 1 ? , x
原不等式化为

ex ? x ?1 ? a ,即 ex ? (1 ? a) x ?1 ? 0 ,-----------------10 分 x

令 ? ( x) ? ex ? (1 ? a) x ?1 ,则 ??( x) ? ex ? (1 ? a) , 由 ? ?( x) ? 0 得: e ? 1 ? a ,解得 x ? ln(1 ? a) ,
x

当 0 ? x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 ;当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ?( x) ? 0 . 故当 x ? ln(1 ? a) 时, ? ( x) 取最小值 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ,-----------------12 分 令 s(a) ?

a 1 1 a ? ln(1 ? a ), a ? 0 ,则 s?(a) ? ? ?? ? 0. 2 1? a (1 ? a) 1 ? a (1 ? a) 2

故 s(a) ? s(0) ? 0 ,即 ?[ln(1 ? a)] ? a ? (1 ? a) ln(1 ? a) ? 0 . 因此,存在正数 x ? ln(1 ? a) ,使原不等式成立.----------------14 分

文科试题参考答案

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