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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念课件

第三章——

3.1
3.1.1
[学习目标]

数系的扩充和复数的概念
数系的扩充和复数的概念

1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.

3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件.

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

[知识链接]
为解决方程x2=2,数系从有理数扩充到实数;数的概念扩充 到实数集后,人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决, 如从解方程的角度看,x2=-1这个方程在实数范围内就无解, 那么怎样解决方程x2=-1在实数系中无根的问题呢? 答 设想引入新数i,使i是方程x2=-1的根,即i· i=-1,方 程x2=-1有解,同时得到一些新数.

[预习导引] 1.复数的有关概念 (1)复数的概念:形如a+bi的数叫做复数,其中a,b∈R,i叫做 虚数单位 .a叫做复数的 实部 ,b叫做复数的 虚部 .

(2)复数的表示方法:复数通常用字母 z 表示,即 z=a+bi .
(3)复数集定义: 全体复数 所构成的集合叫做复数集.通常用大

写字母C表示.

2.复数的分类及包含关系

?实数?b=0? ? ? ? (1)复数(a+bi,a,b∈R) ? ?纯虚数?a=0? ?虚数?b≠0?? ? ? ?非纯虚数?a≠0? ?

(2)集合表示:

3.复数相等的充要条件
设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di? a=c且b=d .

要点一 复数的概念

例1

请说出下列复数的实部和虚部,并判断它们是实数,

虚数,还是纯虚数.
1 ①2+3i;②-3+2i;③ 2+i;④π;⑤- 3i;⑥0.

解 ①的实部为 2,虚部为 3,是虚数;②的实部为-3, 1 虚部为2,是虚数;③的实部为 2,虚部为 1,是虚数;④ 的实部为 π, 虚部为 0, 是实数; ⑤的实部为 0, 虚部为- 3, 是纯虚数;⑥的实部为 0,虚部为 0,是实数.

规律方法

复数a+bi中,实数a和b分别叫做复数的实

部和虚部.特别注意,b为复数的虚部而不是虚部的系数,
b连同它的符号叫做复数的虚部.

跟踪演练1 已知下列命题: ①复数a+bi不是实数;

②当z∈C时,z2≥0;
③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2;

④若复数z=a+bi,则当且仅当b≠0时,z为虚数;
⑤若a、b、c、d∈C时,有a+bi=c+di,则a=c且b=d. 其中真命题的个数是________.

解析

根据复数的有关概念判断命题的真假 .①是假命题,因为

当a∈R且b=0时,a+bi是实数.②是假命题,如当z=i时,则z2 2 ? x ? -4=0, =-1<0,③是假命题,因为由纯虚数的条件得 ? 2 , ? ?x +3x+2≠0 解得x=2,当x=-2时,对应复数为实数.④是假命题,因为没 有强调a,b∈R.⑤是假命题,只有当a、b、c、d∈R时,结论才

成立.
答案 0

要点二 复数的分类 m2-m-6 例 2 求当实数 m 为何值时,z= +(m2+5m+6)i m +3 分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.
解 由已知得复数 z 的实部为 m2-m-6 m+3 ,虚部为 m2+5m+6.

(1)复数 z 是实数的充要条件是
2 ? ? m ? +5m+6=0, ?m=-2或m=-3, ? ?? ? ? ?m+3≠0 ?m≠-3

?m=-2.

∴当m=-2时复数z是实数.

(2)复数 z 是虚数的充要条件是
2 ? m ? +5m+6≠0, ? ?m≠-3 且 m≠-2. ? ?m+3≠0

∴当m≠-3且m≠-2时复数z是虚数.

(3)复数 z 是纯虚数的充要条件是
2 ? m ? -m-6 =0 , ? ? m+3 ? 2 ? m ? +5m+6≠0

?m=3.

∴当m=3时,复数z是纯虚数.

规律方法

利用复数的概念对复数分类时,主要

依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等式 求参数.

跟踪演练 2

实数 k 为何值时,复数 (1 + i)k2 - (3 + 5i)k - 2(2

+3i)分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零. 解 由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-

5k-6)i.
(1)当k2-5k-6=0时,z∈R,即k=6或k=-1. (2)当k2-5k-6≠0时,z是虚数,即k≠6且k≠-1.

2 ? k ? -3k-4=0, (3)当? 2 时,z 是纯虚数,解得 k=4. ? ?k -5k-6≠0
2 ? k ? -3k-4=0, (4)当? 2 时,z=0,解得 k=-1. ? ?k -5k-6=0

要点三 两个复数相等 例3 (1)已知x2-y2+2xyi=2i,求实数x、y的值. 解 ∵x2-y2+2xyi=2i,
2 2 ? ? ? x - y =0, ? ?x=1, ?x=-1, ∴? 解得? 或? ? ? ? ?2xy=2, ?y=1, ?y=-1.

a (2)关于 x 的方程 3x -2x-1=(10-x-2x2)i 有实根,求实数
2

a 的值.
解 设方程的实数根为 x=m,则原方程可变为 a 3m -2m-1=(10-m-2m2)i,
2

? 2 a ?3m - m-1=0, 2 ∴? ?10-m-2m2=0, ?

71 解得 a=11 或 a=- 5 .

规律方法

两个复数相等,首先要分清两复数的实

部与虚部,然后利用两个复数相等的充要条件可得 到两个方程,从而可以确定两个独立参数.

跟踪演练 3

已知 M = {1 , (m2 - 2m) + (m2 + m - 2)i} , P =

{-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
解 ∵M∪P=P,∴M?P,

∴(m2 - 2m) + (m2 + m - 2)i =- 1 或 (m2 - 2m) + (m2 + m - 2)i
=4i. 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得
2 ? m ? -2m=-1, ? 解得 m=1; 2 ? ?m +m-2=0,

由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i 得
2 ? m ? -2m=0, ? 解得 m=2. 2 ? ?m +m-2=4,

综上可知m=1或m=2.

1 2 3 4

1.已知复数 z=a2-(2-b)i 的实部和虚部分别是 2 和 3,则 实数 a,b 的值分别是( C ) A. 2,1 C.± 2,5
解析

B. 2,5 D.± 2,1

2 ? a ? =2 令? ,得 a=± 2,b=5. ? ?-2+b=3

1 2 3 4

2.下列复数中,满足方程x2+2=0的是( C ) A.±1 C.± 2 i B.±i D.±2i

1 2 3 4

3.下列命题正确的是(

)

A.若a∈R,则(a+1)i是纯虚数 B.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i

C.若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1
D.两个虚数不能比较大小

1 2 3 4

解析 对于复数a+bi(a,b∈R),

当a=0且b≠0时为纯虚数.
在A中,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故A错误;

在B中,两个虚数不能比较大小,故B错误;
在C中,若x=-1,不成立,故C错误;D正确. 答案 D

1 2 3 4

4.在下列几个命题中,正确命题的个数为(

)

①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等;

②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等;
③1-ai(a∈R)是一个复数; ④虚数的平方不小于0; ⑤-1的平方根只有一个,即为-i;

1 2 3 4

⑥i是方程x4-1=0的一个根; ⑦ 2 i是一个无理数.

A.3个
C.5个 答案 B

B.4个
D.6个

解析 命题①②③⑥正确,④⑤⑦错误.

课堂小结

1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),可以限制a,b的值得到复
数z的不同情况. 2.两个复数相等,要先确定两个复数的实、虚部,再利用 两个复数相等的条件进行判断.


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