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《优化探究》2016届高三数学人教A版文科一轮复习课件 第三章 三角函数、解三角形 3-8_图文

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第八节
最新考纲展示

正弦定理和余弦定理的应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几

何计算有关的实际问题.

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实际应用中的常用术语

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1.仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对于正北方向

而言的.
2.利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点 的位置.

3.解三角形应用题的两种情形:
(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角 形中,可用正弦定理或余弦定理求解. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上
的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步 求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),

解方程(组)得出所要求的解.
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1.为了在一条河上建一座桥,施工前在河两岸打上两个桥位桩A,

B( 如图) ,要测算 A,B 两点的距离,测量人员在岸边定出基线 BC,测
得BC=50 m,∠ABC=105°,∠BCA=45°,就可以计算出A,B两 点的距离为( )

A.50 2 m C.25 2 m
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B.50 3 m 25 2 D. 2 m

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BC AB 解析:在△ABC 中,由正弦定理sin 30° =sin 45° ,AB=50 2.

答案:A

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2. 如图所示,已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站 C的南偏东40°,

则灯塔A与灯塔B的距离为(

)

A.a km C. 2a km

B. 3a km D.2a km

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解析:在△ABC 中,AC=BC=a,∠ACB=120° ,∴AB2=a2+a2- 2a2cos 120° =3a2,AB= 3a.
答案:B 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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3 .在 200 米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为
30°,60°,则塔高为________米.
200 解析: 如图所示, 山的高度 MN=200 米, 塔高为 AB, CN=MB= , 3 NC 200 200 200 400 AC= = = 3 .所以塔高 AB=200- 3 = 3 米. 3 3· 3

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400 答案: 3
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测量距离问题(师生共研)

例1

某观测站C在目标A的南偏西25°方向,从A出发有一条南偏

东35°走向的公路,在 C处测得与 C相距31 千米的公路上B处有一人正 沿此公路向A处走,走20千米到达D,此时测得CD为21千米,求此人在

D处距A还有多少千米?
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解析 如题图所示, 易知∠CAD=25° +35° =60° ,在△BCD 中,cos 312+202-212 23 B= =31, 2×31×20 12 3 所以 sin B= 31 . BCsin B 在△ABC 中,AC= sin A =24, 由 BC2=AC2+AB2-2AC· ABcos A, 得 AB2-24AB-385=0,解得 AB=35, 所以 AD=AB-BD=15. 故此人在 D 处距 A 有 15 千米.

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规律方法 求距离问题时要注意:
(1)选定或确定要创建的三角形,要首先确定所求量所在的三角形, 若其他量已知则直接解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角

形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计 算的定理.

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1.某高速公路旁边 B处有一栋楼房,某人在距地面100 米的32 楼阳 台A处,用望远镜观测路上的车辆,上午11时测得一客车位于楼房北偏

东15°方向上,且俯角为30°的C处,10秒后测得该客车位于楼房北偏
西75°方向上,且俯角为45°的D处.(假设客车匀速行驶)

(1)如果此高速路段限速80千米/小时,试问该客车是否超速? (2) 又经过一段时间后,客车到达楼房的正西方向 E处,问此时客 车距离楼房多远?
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解析: (1)在 Rt△ABC 中, ∠BAC=60° ,AB=100 米, 则 BC=100 3 米, 在 Rt△ABD 中,∠BAD=45° ,AB=100 米,则 BD=100 米, 在△BCD 中,∠DBC=75° +15° =90° ,

山 东 CD 所以客车的速度 v= 10 =1 200 米/分=72 千米/小时, 所以该客车没 金 太 60 阳 书 有超速. 业 有 限 公 司
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则 DC= BD2+BC2=200 米,

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(2)在 Rt△BCD 中,∠BCD=30° , 又因为∠DBE=15° ,所以∠CBE=105° , 所以∠CEB=45° . EB BC 在△BCE 中,由正弦定理可知sin 30° =sin 45° , BCsin 30° 所以 EB= sin 45° =50 6米,即此时客车距楼房 50 6米.

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高度问题(师生共研) 例2 (2014年高考新课标全国卷Ⅰ)如图,为测量山高MN,选择A

和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从 A 点测得 M 点的仰角∠ MAN =

60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA
=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=________m. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司
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解析 设 MN=x m,则 MA=

2x m.△ABC 中,BC=100 m,则 3

AC=100 2 m,在△MAC 中,∠AMC=180° -75° -60° =45° ,由正弦 AC MA 定理得 = , sin∠AMC sin∠MCA 2x 3 100 2 则sin 45° =sin 60° . 解得 x=150.

答案 150

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规律方法

(1)在测量高度时,要准确理解仰角、俯角的概念,仰

角和俯角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角. (2)分清已知条件与所求,画出示意图;明确在哪个三角形内运用 正、余弦定理,有序地解相关的三角形. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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2.(2015 年宁波模拟)某大学的大门蔚为壮观,有个学生想搞清楚门 洞拱顶 D 到其正上方 A 点的距离,他站在地面 C 处,利用皮尺量得 BC =9 米,利用测角仪测得仰角∠ACB=45° ,测得仰角∠BCD 后通过计算 26 得到 sin∠ACD= 26 ,则 AD 的距离为________米.

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解析:设 AD=x,则 BD=9-x,CD= 92+?9-x?2,在△ACD 中 92+?9-x?2 CD AD x 应用正弦定理得 = ,即 = , sin∠DAC sin∠ACD 2 26 2 26 所以 2[92+(9-x)2]=26x2,即 81+81-18x+x2=13x2,所以 2x2+ 3x-27=0, 即(2x+9)(x-3)=0,所以 x=3 米.

答案:3

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方位角问题(师生共研)
例 3 (2014 年福建质检)如图,我国的海监船在 D 岛海域例行维权 巡航,某时刻航行至 A 处,此时测得其东北方向与它相距 16 海里的 B 处有一外国船只,且 D 岛位于海监船正东 14 2海里处. (1)求此时该外国船只与 D 岛的距离; (2)观测中发现,此外国船只正以每小时 4 海里的速度沿正南方向航 行.为了将该船拦截在离 D 岛 12 海里处,不让其进入 D 岛 12 海里内的 山 东 金 海域,试确定海监船的航向,并求其速度的最小值. 太 阳 (参考数据:sin 36° 52′≈0.6,sin 53° 08′≈0.8) 书 业 有 限 公 司
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解析 (1)依题意,在△ABD 中,∠DAB=45° ,由余弦定理得,DB2 =AD2+AB2-2AD· AB· cos∠DAB 2 =(14 2)2+162-2×14 2×16× 2 =200, 所以 DB=10 2. 即此时该外国船只与 D 岛的距离为 10 2海里.
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(2)过点 B 作 BC⊥AD 于点 C. 2 因为在 Rt△BAC 中, AC=AB· cos∠BAD=16× 2 =8 2, BC=AB· sin 2 ∠BAD=16× 2 =8 2,所以 CD=AD-AC=14 2-8 2=6 2. 以 D 为圆心,12 为半径作圆交 BC 于点 E,连接 AE,DE. 在 Rt△CED 中,CE= ED2-CD2=6 2, 则 BE=8 2-6 2=2 2. 在 Rt△AEC 中,AE= AC2+CE2=10 2, CE 3 sin∠EAC=AE=5, 所以∠EAC≈36° 52′.
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BE 2 2 2 又外国船只到达点 E 的时间 t= 4 = 4 = 2 小时, AE 10 2 所以海监船速度 v≥ t = =20 海里/小时. 2 2

山 东 故海监船的航向为北偏东约 90° -36° 52′=53° 08′, 速度的最小值 金 太 为每小时 20 海里. 阳 书 业 有 限 公 司
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规律方法 解决测量角度问题的注意事项: (1)明确方位角的含义. (2)分析题意,分清已知与所求,再根据题意正确画出示意图,这 是最关键、最重要的一步. (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后,注意正、余弦 定理的“联袂”使用. 山 东 金 太 阳 书 业 有 限 公 司

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3.沿一条小路前进,从 A 到 B,方位角(从正北方向顺时针转到 AB 方向所成的角)是 50° ,距离是 3 km,从 B 到 C,方位角是 110° ,距离是 3 km,从 C 到 D,方位角是 140° ,距离是(9+3 3)km.试画出示意图, 并计算出从 A 到 D 的方位角和距离(结果保留根号).
解析:示意图如图所示,

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连接 AC,在△ABC 中, ∠ABC=50° +(180° -110° )=120° , 又 AB=BC=3, ∴∠BAC=∠BCA=30° . 由余弦定理可得 AC= AB2+BC2-2AB· BCcos 120°

9.

山 东 ? 1? ? ? 金 = 9+9-2×3×3×?-2?= 27=3 3 km. ? ? 太 在△ACD 中,∠ACD=360° -140° -(70° +30° )=120° ,CD=3 3+ 阳 书 业 有 限 9? 2+ 6? 2 2 由余弦定理得 AD= AC +CD -2AC· CDcos 120° = km. 公 2 司
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CD· sin∠ACD 由正弦定理得 sin∠CAD= AD 3 ?3 3+9?× 2 2 = =2. 9? 2+ 6? 2 ∴∠CAD=45° , 于是 AD 的方位角为 50° +30° +45° =125° , 9? 2+ 6? 所以,从 A 到 D 的方位角是 125° ,距离为 km. 2

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