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2007中国西部数学奥林匹克_论文

维普资讯 http://www.cqvip.com 20 年第 4期  O8 20 07中国西部数学奥林 匹克  第 一 天  一 、 (5分 ) 1 已知 T={, , , }对 于  12 … 8 . ,   , A≠ 定义 S A) A 中所有 元素 之  ( 为 和.  有 多少个非空子集 A, 问: 使得 s A 是  () 3的倍 数 , 不是 5的倍 数 ? 但   ( 陈永 高 提供 )   二 、1 ) 图 1o0 、 0 (5分 如 ,   o :交 于 点  A   图 l   C D, D的一条直线分别与o0 、 : 、 过   o0 交  于 点 A、 点 P在 o 0 B,  的A D上 , D与 线 段  P A C的 延 长 线 交 于 点  , Q 在 o :的 B   点 0 D 上 , o 与 线段 B Q C的延 长 线 交 于 点 N, 是  0 △ A C 的外 心 . 证 : D上 MN 的充 要 条 件  B 求 O 为 P、 M、 四点共 圆 . Q、 N   三 、1 ) 实数 口 b C满足 口+b+C (5分 设 、、   =3 求证 : .   1 — — + + — 5 2-4 a — a+1  —b — 1 5 2-4 十— b+1  —c — 1 5 2-4 十— c+1  —   1 4. —  — — 1 1 ≤一 1 ( 王建伟 提供 )     丁 锄: 四 、1 ) 0是 △ A C 内部 一 点 .   (5分 设 B 证 明: 存在正整数 P q r使得  、、, 丁   。 。 ( 边红平 2 = 提供 )   I   A + qOB + r C l   pO     O < ?   士锄咖   2   = 2 := (  )  +   (2 ) X-   ,I n- _   (3   X- ,I n- _去) 老  老  熹  故 10 4 .   > 5  0 0 又 当 r=10时 , i 0 由式 ①得  >   +2× 1 0=2 5= 1  . 0 2 5   则  。 = 。  。 +l 丁  X9  96 ’+ ’   l+  l+      1   X0 1   1   +   ” +  1   +   1   1   ” +   1   +   舡( 去2 + +   ) 去2   ,   (+)  +   去2 + 2 。 = X. ,  0 = <   + -¥ -    20 5  2   <  ̄ 0 90 1‘ 5 10 0 +  +2 0 5=4+4+2 0 5  2  2  上述 1 1 , 个式子相加得  2   .  1 1   1   1   1   <4 2+9<4 2+ 2×4 5 5 5×0 1+ 0.2 1  . 2 +  2 +    2 +2 . n  一+V +‰ + - -     i 1 ①  (5+0 1 =4 . . 4 .) 5 1     故 10 5 1   <4 .. 0 0   = .   当 r=1 0 i   0时 , 0 由式① 得  >   +2×10 0: +2 0 0=20 5.  0    0  2   综上 ,5  1o 4 . . 4 <   < 51 0 0   ( 李延林 提供)   维普资讯 http://www.cqvip.com 中 等 数 学  ( 李伟 固 提供 )   数 为  第 二 天  五 、1 ) 否 存 在 三 边 长 都 为 整 数  (5分 是 的三角形 , 足 以下条件 : 短边 长为 207  满 最  0 , 2( 2  + q +q  +qq +aa +     ) =8 . 一1 7  若 3 5 A , l ( )则 1 l ( ) l ( )5 5 A , 5 S A .           由 5 T =3 , ( ) 6 知满 足 3  A) 5l A) l 5( 、   5(   的 5 A) ( 的可 能值 为 1、O 而  53 . 1 5=8+7=8+6+ 1 =8+5+2   = 8+ 4 + 3= 8+ 4+ 2 + 1= 7+ 6+ 2   : 7+ 5 + 3=7 + 5+ 2 + 1= 7+ 4+ 3 + l   : 6+ 5+ 4 = 6+ 5+ 3 + 1= 6+ 4+ 3 +2   = 5+ 4+ 3 +2 + 1  . 且最大 的角 等于最 小角 的两 倍 ?   ( 继源 赵 在非零 整数 。 , , , , 足  , …   y满   f + +… + =0   1  2   , 提供 )   六 、1 ) 所 有 的正 整 数 1 使 得 存  (5分 求 7 , , 【 +2    2 +… + =n    y.   ( 熊 斌 提供 )   3 6—3 0=6=5+ 1=4+2=3+2+ 1   . 七 、 1 ) 尸是 锐 角△ A C 内一点 , (5分 设 B   A B C 分 别 与 边 B 、C A 交 于 点  P、 P、 P C A、 B D、 F,已知△ D  c △ A C. 证 : 是  E、 . j 3 B 求 P △ A C的重 心 . B   ( 冯志 刚 提供 )   八 、 1 ) 1枚 白子 与 1枚 黑子 任 意  (5分 将 7 , 7 , 故满足 3 5 A 、 l ( )A≠ 的 A的  l ( )5 5 A 、       个数为 1. 7  因此 , 求 的 A的个 数 为 8 7=7 . 所 7—1 0  二 、 △ A C 的 外 接 圆 o D 的 半 径 为  设 B 尺, 点 Ⅳ到 o D 的切线 记为 N 则  从 X. N   X +R =N N O =N

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