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高一数学-高一数学第四章(第18课时)两角和差的正弦余弦正切(7) 精品

课 题:4 6 王新敞 奎屯 新疆 两角和与差的正弦、余弦、正切(7) 教学目的: 引导学生综合运用复角的正弦、余弦公式. 教学重点:复角公式的运用和技能的提高 教学难点:灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1.两角和与差的正、余弦公式 王新敞 奎屯 新疆 cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? cos(? ? ? ) ? cos? cos? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? sin ? cos ? tan( ? ? ?) ? 2 王新敞 奎屯 新疆 tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? tan( ? ? ?) ? tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ? a sin ? ? b cos? ? a 2 ? b 2 ( a a ?b 2 2 a a ?b 2 2 sin ? ? b a ? b2 2 cos? ) 由于 ( 2 2 )2 ? ( b a ?b 2 2 )2 ? 1 sin θ +cos θ =1 (1)若令 a a2 ? b2 =sinθ ,则 b a2 ? b2 =cosθ ∴ asin α + bcos α = a 2 ? b 2 ( sin θ sin α + cos θ cos α ) = a 2 ? b 2 cos(θ -α 或= a 2 ? b 2 cos(α -θ (2)若令 a a ?b 2 2 =cos ? ,则 b a ? b2 2 =sin ? ∴ a sin α + bcos α = a 2 ? b 2 ( sin α cos ? + cos α sin ? ) = a 2 ? b 2 sin(α + ? ) 例如:2sinθ +cosθ = 2 ? 1 ( 2 2 2 5 5 sin ? ? cos? ) 5 5 若令 cos ? = 2 5 5 ,则 sin ? = 5 5 ∴2sinθ +cosθ = 5 (sinθ cos ? +cosθ sin ? )= 5 sin(θ + ? ) 若令 2 5 5 =sinβ ,则 =cosβ 5 5 ∴2sinθ +cosθ = 5 (cosθ cosβ +sinθ sinβ )= 5 cos(θ -β ) 或 = 5 cos(β -θ ) 看来, a sinθ +bcosθ 均可化为某一个角的三角函数形式,且有两种形式 王新敞 奎屯 新疆 二、讲解范例: 例 1(辅助角)函数 y ? 解: y ? ? 3 sin( ? 2 x) ? cos 2 x 的最小值 3 王新敞 奎屯 新疆 3( 3 1 1 3 cos2 x ? sin 2 x) ? cos2 x ? cos2 x ? sin 2 x 2 2 2 2 ? ? sin( ? 2 x) ? ?1 6 例 2(角变换)已知 sin( x ? 解: sin 2 x ? cos( ? 4 )?? ? ? 2 x) ? cos[ 2( x ? )] 2 4 5 ,求 sin 2 x的值。 13 ? ? 5 119 ? 1 ? 2 sin 2 ( x ? ) ? 1 ? 2(? ) 2 ? 4 13 169 例 3(公式逆用)计算:(1 + 3 )tan15?? 3 解:原式= (tan45?+ tan60?)tan15?? 3 =tan105?(1?tan45?tan60?)tan15? ? 3 = (1 ? 3 ) tan105? tan15? ? 3 = (1 ? 3 )×(? 1)? 3 = ? 1 例 4(角变换)已知 sin(45? ? ?) = ? 解:∵45? < ? < 90? 2 ,且 45? < ? < 90?,求 sin? 3 ∴cos(45???) = 5 3 ∴?45? < 45??? < 0? cos2? = sin(90??2?) = sin[2(45???)] = 2sin(45???)cos(45???) = ? 即 1 ? sin2? = ? 4 5 9 2 2 ? 10 4 5 , 解之得:sin? = 6 9 例 5 已知?是三角形中的一个最小的内角, ? ? ? ? ? sin 2 ? cos 2 ? a sin 2 ? a ? 1 ,求 a 的取值范围 2 2 2 2 ? ? ? 2 ? ? sin 2 ) ? (cos 2 ? sin 2 ) ? a ? 1 解:原式变形: a(cos 2 2 2 2 且 a cos 2 即 (a ? 1) cos? ? a ? 1 ,显然 a ? 1 (若 a ? 1 ,则 0 = 2) a ?1 a ?1 ? 1 又∵ 0 ? ? ? ,∴ ? cos ? ? 1 3 2 1 a ?1 ? ? 1 解之得: a ? ?3 即 2 a ?1 ∴ cos ? ? x ? 2 s i nx c o s x?2 的最大值和最小值 若 例 6 试 求 函 数 y ? s i nx ? c o s 王新敞 奎屯 新疆 ? x ? [0, ] 呢? 2 解:1.设 t ? sin x ? cos x ? 则 t ? 1 ? 2 sin x cos x 2 ? 2 sin( x ? ) ? [? 2 , 2 ] 4 2 ∴ 2 sin x cos x ? t ? 1 ∴ y ? t ? t ? 1 ? (t ? 2 ∴ y max ? 3 ? 2, ? 2 1 2 1 3 ) ? ? [ ,3 ? 2 ] 2 4 4 3 y min ? 4 2.若 x ? [

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