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2018高考数学第5讲函数的单调性与最值(苏教版)


第 5 讲 函数的单调性与最值
考试要求 1.函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义,B 级要求;2.运用 函数图象研究函数的单调性,B 级要求.

知 识 梳 理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数

一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2 定义 当 x1<x2 时,都有 当 x1<x2 时,都有

f(x1)<f(x2),那么就说函数 f(x1)>f(x2),那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 f(x)在区间 D 上是减函数

图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做函数 y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值 前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 (1)对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M; (2)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最大值 (3)对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M; (4)存在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最小值

诊 断 自 测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数 f(x),x∈D,若对任意 x1,x2∈D,且 x1≠x2 有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 则函数 f(x)在区间 D 上是增函数.( )
1

1 (2)函数 y= x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( (3)对于函数 y=f(x),若 f(1)<f(3),则 f(x)为增函数.( )

)

(4)函数 y=f(x)在[1, +∞)上是增函数, 则函数的单调递增区间是[1, +∞). (

)

2.(必修 1P44 习题 2 改编)如果二次函数 f(x)=3x2+2(a-1)x+b 在区间(-∞, 1)上是减函数,则实数 a 的取值范围为________. 3.(2017· 盐城调研)下列函数: 1 ①y=x -x;②y=x2-x;③y=ln x-x;④y=ex-x. 其中在区间(0,+∞)内单调递减的是________(填序号). 4.函数 f(x)=lg x2 的单调递减区间是________. 5.(2016· 北京卷)函数 f(x)= x (x≥2)的最大值为________. x-1

考点一 确定函数的单调性(区间) 【例 1】 (1)函数 f(x)= (2)试讨论函数 f(x)= (x2-4)的单调递增区间为________.

ax (a≠0)在(-1,1)上的单调性. x-1

规律方法 例 1(1).

(1)求函数的单调区间,应先求定义域,在定义域内求单调区间,如

(2)函数单调性的判断方法有:①定义法;②图象法;③利用已知函数的单调性; ④导数法. (3)函数 y=f(g(x))的单调性应根据外层函数 y=f(t)和内层函数 t=g(x)的单调性判 断,遵循“同增异减”的原则. a 【训练 1】 判断函数 f(x)=x+x (a>0)在(0,+∞)上的单调性,并给出证明.

2

考点二 确定函数的最值 【例 2】 (1)(2017· 南京、盐城一模)已知函数 f(x)= =________,函数 f(x)的最大值是________. x2+2x+a (2)已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞)且 a≤1. x 1 ①当 a=2时,求函数 f(x)的最小值; ②若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取值范围. 则 f(f(3))

规律方法

(1)求函数最值的常用方法:①单调性法;②基本不等式法;③配方

法;④图象法;⑤导数法. (2)利用单调性求最值,应先确定函数的单调性,然后根据性质求解.若函数 f(x) 在闭区间[a,b]上是增函数,则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(b),最小值为 f(a).若

3

函数 f(x)在闭区间[a,b]上是减函数,则 f(x)在[a,b]上的最大值为 f(a),最小值 为 f(b). 1 【训练 2】 如果函数 f(x)对任意的实数 x, 都有 f(1+x)=f(-x), 且当 x≥2时, f(x) =log2(3x-1),那么函数 f(x)在[-2,0]上的最大值与最小值之和为________.

考点三 函数单调性的应用(典例迁移) ??2-a?x+1,x<1, 【例 3 】 (1) 如果函数 f(x) = ? x 满足对任意 x1≠x2 ,都有 ?a ,x≥1 f?x1?-f?x2? >0 成立,那么 a 的取值范围是________. x1-x2 ?1? (2)(2017· 南通中学模拟)定义在 R 上的奇函数 y=f(x)在(0, +∞)上递增, 且 f?2?= ? ? 1 0,则不等式 f(log9x)>0 的解集为________.

1 【迁移探究 1】 在例题第(1)题中,条件不变,若设 m=f(-2),n=f(a),t=f(2), 试比较 m,n,t 的大小.

【迁移探究 2】 在例题第(2)题中,若条件改为:“定义在 R 上的偶函数 y=f(x) ?1? 在[0, +∞)上单调递减”, 且 f?2?=0, 则不等式 ? ? >0 的解集是________.

【训练 3】 (2016· 天津卷)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且在区间(-∞,0) 上单调递增.若实数 a 满足 f(2|a-1|)>f(- 2),则 a 的取值范围是________.

[思想方法]

4

1.利用定义证明或判断函数单调性的步骤: (1)取值 ;(2)作差;(3)定号;(4)判断. 2.确定函数单调性有四种常用方法:定义法、导数法、复合函数法、图象法, 也可利用单调函数的和差确定单调性. 3.求函数最值的常用求法:单调性法、图象法、换元法、利用基本不等式.闭 区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时,最值一 定在端点处取到. [易错防范] 1.区分两个概念:“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”,前者指函 数具备单调性的“最大”的区间,后者是前者“最大”区间的子集. 2.函数在两个不同的区间上单调性相同,一般要分开写,用“,”或“和”连 接,不要用“∪”.例如,函数 f(x)在区间(-1,0)上是减函数,在(0 ,1)上是减函 1 数,但在(-1,0)∪(0,1)上却不一定是减函数,如函数 f(x)= x.

基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、填空题 1.若函数 f(x)=|2x+a|的单调递增区间是[3,+∞),则 a 的值为________. 2.(2016· 北京卷改编)下列四个函数: ①y= 1 ;②y=cos x;③y=ln(x+1);④y=2-x. 1-x

其中在区间(-1,1)上为减函数的是________(填序号). 3.定义新运算“⊕”:当 a≥b 时,a⊕b=a2;当 a<b 时,a⊕b=b2,则函数 f(x) =(1⊕x)x-(2⊕x),在区间[-2,2]上的最大值为________.

?1? 4.(2017· 南京、盐城模拟)函数 f ( x) ? ? ? ? log2 ( x ? 2) 在区间[-1,1]上的最大值 ? 3?
为________. 5.函数 f ( x) ? log 1 ( x 2 ? 4) 的单调递增区间为________.
2

x

5

6.f(x)是定义在(0,+∞)上的单调增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当 f(x)+f(x-8)≤2 时,x 的取值范围是________.
2 ?-x +4x,x≤4, 7.(2017· 无锡期末)设函数 f(x)=? 若函数 y=f(x)在区间 ? log2x,x>4.

(a,a+1)上单调递增,则实数 a 的取值范围是________.

8.(2017· 郑州模拟)设函数

?1,x>0, f(x)=?0,x=0, ?-1,x<0,

g(x)=x2f(x-1),则函数 g(x)的

递减区间是________.

二、解答题 1 1 9.已知函数 f(x)=a- x(a>0,x>0). (1)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数; ?1 ? ?1 ? (2)若 f(x)在?2,2?上的值域是?2,2?,求 a 的值. ? ? ? ?

a 10.已知函数 f(x)=2x-x 的定义域为(0,1](a 为实数). (1)当 a=1 时,求函数 y=f(x)的值域; (2)求函数 y=f(x)在区间(0,1]上的最大值及最小值,并求出当函数 f(x)取得最值时 x 的值.

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能力提升题组 (建议用时:20 分钟) 11.(2017· 泰州一检)若函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在[-1,2]上的最大值为 4,最小 值为 m,且函数 g(x)=(1-4m) x在[0,+∞)上是增函数,则 a=________. 12.(2017· 南京一中模拟)已知函数 f(x)=ex-1,g(x)=-x2+4x-3,若存在 f(a) =g(b),则实数 b 的取值范围为________.

?a,a≤b, 13.对于任意实数 a,b,定义 min{a,b}=? 设函数 f(x)=-x+3, ?b,a>b. g(x)=log2x,则函数 h(x)=min{f(x),g(x)}的最大值是________.

a 14.已知函数 f (x)=lg(x+ -2),其中 a 是大于 0 的常数. x

(1)求函数 f (x)的定义域; (2)当 a∈(1,4)时,求函数 f (x)在[2,+∞)上的最小值; (3)若对任意 x∈[2,+∞)恒有 f (x) > 0,试确定 a 的取值范围.

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