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新版高中数学人教A版必修5课件:第三章不等式 3.3.2.2 _图文

第2课时 线性规划的实际应用
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1.复习巩固线性规划问题. 2.能利用线性规划解决实际应用问题.

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解决线性规划问题的一般步骤
(1)画:在直角坐标平面上画出可行域和直线ax+by=0(目标函数 为z=ax+by);
(2)移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小 值的点;
(3)求:求出取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及最大值 和最小值;
(4)答:给出正确答案. 归纳总结一般地,对目标函数z=ax+by,若b>0,则纵截距与z同号, 因此,纵截距最大时,z也最大;若b<0,则纵截距与z异号,因此,纵截距 最大时,z反而最小.

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【做一做】 有5辆载重6 t的汽车,4辆载重4 t的汽车,要运送一批 货物,设需载重6 t的汽车x辆,载重4 t的汽车y辆,则完成这项运输任 务的线性目标函数为( ).
A.z=6x+4y B.z=5x+4y C.z=x+y D.z=4x+5y 答案:A

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解答线性规划应用题应注意的问题 剖析(1)在线性规划问题的应用中,通常题中的条件较多,因此认 真审题非常重要; (2)线性约束条件中有无等号要依据条件加以判断; (3)结合实际问题,分析未知数x,y等是否有限制,如x,y为正整数、 非负数等; (4)分清线性约束条件和线性目标函数,线性约束条件一般是不等 式,而线性目标函数却是一个等式; (5)作图对解决线性规划问题至关重要,其关键步骤基本上都是在 图上完成的,所以作图应尽可能地准确,图上操作尽可能规范.但作 图中必然会有误差,假如图上的最优点不容易看出时,需将几个有 可能是最优点的坐标都求出来,然后逐一检查,以确定最优解.

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线性规划应用题 【例1】 某工厂有甲、乙两种产品,计划每天各产品生产量不少 于15 t.已知生产甲产品1 t需煤9 t,电力4 kW·h,劳力3个;生产乙产品 1 t需煤4 t,电力5 kW·h,劳力10个;甲产品每1 t利润7万元,乙产品每1 t利润12万元;但每天用煤不超过300 t,电力不超过200 kW·h,劳力只 有300个.问每天各生产甲、乙两种产品多少,能使利润总额达到最 大?

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分析将已知数据列成表,如下表所示:

消耗量产品资源 煤/t 电力/kW·h 劳力/个

甲产品/t 9 4 3

乙产品/t 4 5 10

利润/万元

7

12

资源限额 300 200 300

设出未知量,根据已知条件和资源限额建立约束条件,由利润关 系建立目标函数.

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解设每天生产甲、乙两种产品分别为x t,y t, 利润总额为z万元,那么
9 + 4 ≤ 300, 4 + 5 ≤ 200, 3 + 10 ≤ 300, 目标函数为z=7x+12y. ≥ 15, ≥ 15,
作出以上不等式组的可行域,如图中的阴影部分所示.

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目标函数为 z=7x+12y,

整理得

y=?

7 12



+

12,

得到斜率为

?

7 12

,

在y

轴上截距为

12,

且随z 变化的一组平行直线.

由图可以得到,当直线经过可行域上点

A

时,截距

12

最大,

即 z 最大,解方程组

4 + 5 = 200, 3 + 10 = 300,

得点A的坐标为(20,24),

所以zmax=7×20+12×24=428(万元),
即生产甲、乙两种产品分别为20 t,24 t时,利润总额最大.

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反思解答线性规划应用题的一般步骤: (1)审题——仔细阅读,对关键部分进行“精读”,准确理解题意,明 确有哪些限制条件,起关键作用的变量有哪些.由于线性规划应用 题中的量较多,为了理顺题目中量与量之间的关系,有时可借助表 格来理顺. (2)转化——设元.写出约束条件和目标函数,从而将实际问题转 化为数学上的线性规划问题. (3)求解——解这个线性规划问题. (4)作答——就应用题提出的问题作出回答.

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【变式训练1】 某公司计划2016年在甲、乙两个电视台做总时

间不超过300分钟的广告,广告总费用不超过9万元,甲、乙电视台

的广告收费标准分别为500元/分和200元/分,假定甲、乙两个电视

台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元

和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间,才

能使公司的收益最大?最大收益是多少万元?

解设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y

分钟,收益为z元,

+ ≤ 300,

+ ≤ 300,

由题意得 500 + 200 ≤ 90 000, 即 5 + 2 ≤ 900,

≥ 0, ≥ 0,

≥ 0, ≥ 0.

目标函数z=3 000x+2 000y,

作二元一次不等式组所表示的可行域,如图阴影部分所示.

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作直线l:3 000x+2 000y=0,

即3x+2y=0.

平移直线l,从图中可知,当直线l过M点时,目标函数取得最大值.

联立

+ = 5 + 2

300, = 900,

解得

= 100, = 200.

∴点M的坐标为(100,200).

∴zmax=3 000x+2 000y=700 000(元).
答:该公司在甲电视台做100分钟广告,在乙电视台做200分钟广

告,公司的收益最大,最大收益是70万元.

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最优解为整数解的线性规划问题

【例2】 两类药片有效成分如表:

成分 药品 A/片 B/片

阿司匹 林/mg 2 1

小苏打/ mg 5 7

可卡因/ mg 1 6

每片价 格/元 0.1 0.2

若要求至少提供12 mg阿司匹林,70 mg小苏打,28 mg可卡因,两类 药的最小总数是多少?怎样搭配价格最低?
分析通过题目中的表格,分清各量之间的关系,找出线性约束条 件.特别注意线性约束条件中的x,y∈N.

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解设需用A和B两种药品分别为x片和y片,药品总数为z片,价格为

L元. 2 + ≥ 12, 5 + 7 ≥ 70,
由题意,得约束条件 + 6 ≥ 28, ≥ 0, ≥ 0,

∈N,∈N.

线性目标函数为:药品总数z=x+y.

价格L=0.1x+0.2y.

由不等式组作可行域如图(阴影部分中的整数点),

作直线l0:x+y=0,平移直线l0到l位置,l经过点A时z有最小值.



2 + -12 = 0, 5 + 7-70 = 0,

解得点 A 坐标为

14 9

,

80 9

.

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而点A不是整数点,故不能作为最优解.

此时,过点

A

的直线为

lA:x+y=

94 9

,

可行域内与直线lA

距离最近的

整点有(1,10),(2,9),(3,8),使 zmin=11,即药品总数为 11 片,而相应价格



L1=0.1×1+0.2×10=2.1, L2=0.1×2+0.2×9=2.0, L3=0.1×3+0.2×8=1.9,其中的L3最小,
所以Lmin=1.9(元). 所以药品最小总数为11片,其中3片A种药、8片B种药搭配的价

格最低.

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【变式训练2】 有一批同规格的钢条,每根钢条有两种切割方式, 可截成长度为a的钢条2根,长度为b的钢条1根;或截成长度为a的钢 条1根,长度为b的钢条3根.现长度为a的钢条至少需要15根,长度为b 的钢条至少需要27根.问:如何切割可使钢条用量最省?
解设按第一种切割方式需钢条x根,按第二种切割方式需钢条y根, 根据题意,
2 + ≥ 15, + 3 ≥ 27, 得约束条件 > 0,∈N, > 0,∈N,
目标函数是z=x+y. 画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分中的整数点所示.

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2 + + 3

= =

15, 27,

解得

= 3.6, = 7.8.

此时z=11.4,因为x,y,z都应当为正整数,

所以点(3.6,7.8)不是最优解.

经过可行域内的整点,且使z最小的直线是y=-x+12,即z=12,此时

满足该约束条件的(x,y)有两个:(4,8)或(3,9),它们都是最优解.即满足

条件的切割方式有两种,按第一种方式切割钢条4根,按第二种方式

切割钢条8根;或按第一种方式切割钢条3根,按第二种方式切割钢

条9根,均可满足要求.

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易错辨析
易错点:约束条件不完整致错 【例3】 某实验室需购某种化工原料106 kg,现在市场上该原料 有两种包装:一种是每袋35 kg,价格为140元;另一种是每袋24 kg,价 格为120元.在满足需要的条件下,最少要花费多少元? 错解设分别购买两种原料x袋、y袋,
35 + 24 ≥ 106, 由题意可得 ≥ 0,
≥ 0,
花费z=140x+120y,画出可行域如图所示.

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画出直线 140x+120y=0 并平移可得点 A 为最优解.

解得

106 35

,0

,

故当x=

106 35

,



=

0

时,

zmin=140×

106 35

+

120

×

0

=

424(元).

错因分析由于所求为购买物品的袋数,则x,y均为整数,故上述解

法不正确.

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正解设分别购买两种原料x袋、y袋, 35 + 24 ≥ 106,
由题意得 ≥ 0,∈N, ≥ 0,∈N,
花费z=140x+120y,画出可行域如图阴影部分中的整数点所示.

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画出直线 140x+120y=0 并平移,先经过可行域内

106 35

,0

.

由于 x,y 均为整数,则

106 35

,0

不是最优解.

在可行域内,点A附近的整数点有B(4,0),C(3,1),D(2,2),E(1,3),将其

分别代入线性目标函数z=140x+120y,可得

zB=560,zC=540,zD=520,zE=500, 故当x=1,y=3时,zmin=500. 因此购买35 kg包装的1袋,24 kg包装的3袋,可使花费最少,最少花
费为500元.

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反思当求到的最优解不是整点最优解时,就需要对最优解进行调 整,调整的基本思路就是:先求非整点最优解,再借助不定方程的知 识调整最优解,最后筛选出整点最优解.确定整点最优解的方法有 三种:平移直线法、特值验证法、调整优值法.
(1)平移直线法:先在可行域内打网格,描整点,平移直线l,最先经过 或最后经过的整点坐标便是整点最优解.
(2)特值验证法:当可行域内整点个数较少时,也可将整点坐标逐 一代入目标函数求值,经比较得到最优解.
(3)调整优值法:先求非整点最优解及最优值,再借助不定方程的 知识调整最优值,最后筛选出最优解.
一般地,先考虑平移直线法和特值验证法,如果这两种方法都有 困难时,再用调整优值法.

编后语

? 听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好,直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课,同学们可以参考如下建议:
? 一、听要点。
? 一般来说,一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家,同学们对此要格外注意。例如在学习物理 课“力的三要素”这一节时,老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了,这节课就基本掌握了。
? 二、听思路。
? 思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时,首先思考应该从什么地方下手,然后在思考用什么方法,通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
? 三、听问题。
? 对于自己预习中不懂的内容,上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过,并没有详细解答, 大家要及时地把它们记下来,下课再向老师请教。
? 四、听方法。
? 在课堂上不仅要听老师讲课的结论而且要认真关注老师分析、解决问题的方法。比如上语文课学习汉字,一般都是遵循着“形”、“音”、“义”的 研究方向;分析小说,一般都是从人物、环境、情节三个要素入手;写记叙文,则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进行 叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法,如解数学题时,会用到反正法;换元法;待定系数法;配方法;消元法; 因式分解法等,掌握各个科目的方法是大家应该学习的核心所在。
? 优等生经验谈:听课时应注意学习老师解决问题的思考方法。同学们如果理解了老师的思路和过程,那么后面的结论自然就出现了,学习起来才能够举 一反三,事半功倍。

2019/7/9

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