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山西省康杰中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文_图文

康杰中学 2015—2016 学年度第一学期期中考试 高二数学(文)试题
2015.11 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1. 直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角是 A.

3 ? 4

B.

1 ? 4

C. ?

1 ? 4

D.

5 ? 4

2. 截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是 A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台 3.用与球心距离为 1 的平面去截球所得的截面面积为 ? ,则球的表面积为 A. 2? B. 4? C. 8? D. ?

8 3

4. 已知两条直线 ax ? y ? 2 ? 0 和 3x ? (a ? 2) y ? 1 ? 0 互相平行,则实数 a 等于 A.1 或-3 B.-1 或 3 C.1 或 3 D.-1 或-3 5. 已知两条直线 a , b ,两个平面 ? , ? ,下面四个命题中不正确的是 A. a ? ? , ? / / ? , b ? ? ? a ? b B. ? / / ? , a / /b, a ? ? ? b ? ? C. a / / b, b ? ? ? a ? ? D. a / /b, a / /? ? b / /? 6.某一空间几何体的三视图,如图所示,则该几何体的体积为 A. 2? ? 2 3 C. 2? ? B. 4? ? 2 3 D. 4? ?

2 3 3

2 3 3

7. 以 A(1,3), B(?5,1) 为端点的线段的垂直平分线的方程是 A. 3x ? y ? 8 ? 0 面有( ) B.3 对 D.5 对
3

B. 3x ? y ? 4 ? 0

C. 3x ? y ? 6 ? 0

D. 3x ? y ? 2 ? 0 P A C D

8.如图 PA 垂直于矩形 ABCD 所在的平面,则图中互相垂直的平 A. 2 对 C. 4 对

B

9.如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为 9 m , 则其表面积的值为( A. 18 3cm
2

) B. 18cm
2
2

C. 12 3cm
2

2

D. 12cm

2

10.从动点 P ( a, 2) 向圆 C : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 1 作切线,则切线长的最小值为(

)

1

A. 2

B.3

C. 10

D. 2 2 )

11.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 2 有公共点,则 b 的取值范围是( A. [?1 ? 2 2,1 ? 2 2] C. [?1 ? 2 2,3] B. [?3,1 ? 2 2] D. [1 ? 2 2,3]

12. 在 ?ABC 中, ?C ? 900 , ?B ? 300 , AC ? 1 ,M 为 AB 的中点,将 ?ACM 沿 CM 折起, 使 A, B 间的距离为 2 ,则 M 到平面 ABC 的距离为 A.

1 2

B.

3 2

C. 1

D.

3 2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.过原点且倾斜角为 60 的直线被圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 所截得弦长为__________.
0

14.已知直线 l 过点 (?2, 0) ,当直线 l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范
2 2

围是__________. 15.如图所示,在长方体中 D1 A1
1

C1 B1
1

AB ? 4cm , AD ? 2cm, AA1 ? 3cm, 则在长方体
表面上连接 AC1 两点的所有曲线长度最小值为 __________.

D A B

C

16.已知球的直径 SC=4,A,B 是该球面上的两点, AB ? 2, ?ASC ? ?BSC ? 45 ,则三
0

棱锥 S-ABC 的体积为________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)求斜率为

3 且与坐标轴围成的三角形面积是 6 的直线方程. 4

2

18. (本小题满分 12 分)如图矩形 ABCD 所在的平面与三角形 CDE 所在的平面交于 CD, AE ? 平面 CDE. 求证: (1)AB//平面 CDE; (2)CD ? 平面 ADE.

19. (本小题满分 12 分)已知圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 12 , 直线 l : kx ? y ? 1 ? 0 (1)求证:对 k ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点; (2)若直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时,求直线 l 的方程.

20. (本小题满分 12 分)如图 1 矩形 APCD 中,AD=2AP,B 为 PC 的中点,将三角形 APB 折沿 AB 折起,使得 PD=PC, 如图 2. (1)若 E 为 PD 中点,证明 CE//平面 APB; (2)证明:平面 APB ? 平面 ABCD.

P

B

C

A 图1

D

图2

3

21. (本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,

?ABC 是等边三角形.
(1)在棱 AC 上是否存在一点 M, 使直线 AB1//平面 BMC1,请证明你的结论. (2)设 D 为 AC 的中点,P 为 AB1 上的动点, 且 AB=2,AA1= 2 3 .求三棱锥 P-BC1D 的体积. C1

A1

A

B1

B C

22. (本小题满分 12 分)已知一个动点 M 在圆 x2 ? y 2 ? 36 上移动,它与定点 Q(4,0)所连 线段的中点为 P. (1)求点 P 的轨迹方程. (2)过定点(0,-3)的直线 l 与点 P 的轨迹交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 且 满足 x1 ? x2 ?
2 2

21 x1 x2 ,求直线 l 的方程. 2

4

高二数学(文)答案 一、选择题 1-5 二、填空题 13. 2 3 三、解答题 17 解:设直线方程为 y ? 14. (? BCCAD 6-10 CBDAD 11-12 DA

2 2 , ) 4 4
3 x?b 4

15.

41

16 .

4 3 3

..........2 分

4 令y ? 0, x ? ? b 3

令x ? 0, y ? b
?s ? 1 4 2 b ? b ? b2 ? 6 2 3 3

...........6 分 ..........8 分

解得b2 ? 9, b ? ?3

?y?
直线的方程为.

3 3 x ? 3或y ? x ? 3. 4 4 ..........10 分

18. 证明: (1)在矩形 ABCD 中,AB//CD 因为 AB ? 平面 CDE,CD ? 平面 CDE 所以 AB//平面 CDE ……………………6 分

(2)因为 AE ? 平面 CDE,且 CD ? 平面 CDE,所以 AE ? CD, 在矩形 ABCD 中,CD ? AD 且 AE ? AD=A,所以 CD ? 平面 ADE ……12 分

19.(1)证明:直线 kx ? y ? 1 ? 0 恒过定点 A(0,1),又(0-1) +(1+1) =5<12
2 2

? 点 A(0,1)在圆 C: ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 12 的内部 ? 直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点.
.............6 分

(2)当直线 l 被圆 C 截得的弦长最小时,直线 l 垂直于点 C 与定点 A(0,1)的连线,

? k AC ? ?2, ? kl ?

1 2

.............10 分 ............12 分

1 ? 所求直线的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ,即: x ? 2 y ? 2 ? 0 . 2

5

21. 证明: (1)存在一点 M 且 M 为 AC 中点,连接 B1 , C 交 BC1 于点 O

MO / / AB1 , MO ? 面 BMC1 , AB ? 面 BMC1

? AB1 // 面BMC1
分 (2)由(1)得 VP ? BC1D ? VA? BC1D ? VC1 ? ABD ?

........................6

1 1 VC1 ? ABC ? VABC ? A1B1C1 2 6

1 3 ?VABC ? A1B1C1 ? ? 2 ? 2 ? ?2 3 ? 6 2 2

?VP? BC1D ? 1
分 22. 解(1)设 P ( x, y ) ,动点 M ( x1 , y1) ,

.........................12

6

x1 ? 4 ? ?x ? 2 ? x1 ? 2 x ? 4 由中点的坐标公式得 ? ,解得 ? , y1 y ? 2 y 1 ? ? y? 2 ?
由 x1 ? y1 ? 36 ,得 (2x ? 4)2 ? (2 y)2 ? 36 ,
2 2

? 点 P 的轨迹方程是 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9

………………4 分

7


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