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高三理科数学复习资料-命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


高三理科数学复习资料

命题及其关系、充要条件和简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一.基础知识 1.命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语 句叫真命题,判断为假的语句叫假命题. 2.四种命题及其关系 (1)四种命题 命 题 表述形式 若 p,则 q 若 q,则 p 若綈 p,则綈 q 若綈 q,则綈 p

原命题 逆命题 否命题 逆否命题

(2)四种命题间的逆否关系

(3)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; ②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果 p?q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件; (2)如果 p?q,q?p,则 p 是 q 的充要条件. 4. 简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”“或”“非”叫做逻辑联结词.

(2)简单复合命题的真值表:

p 真 假 真 假 5.全称量词与存在量词

q 真 真 假 假

p∧q 真 假 假 假

p∨q 真 真 真 假

? p 假 真 假 真

(1)常见的全称量词有:“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有 的”等. (3)全称量词用符号“?”表示;存在量词用符号“?”表示. 6.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 7.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p 或 q 的否定为:非 p 且非 q;p 且 q 的否定为:非 p 或非 q. 二.题型分析 题型 1. 命题正误的判断 题 1.(1)给出如下三个命题: ①四个非零实数 a,b,c,d 依次成等比数列的充要条件是 ad=bc; a b ②设 a,b∈R,且 ab≠0,若 <1,则 >1; b a ③若 f(x)=log2x,则 f(|x|)是偶函数. 其中不正确命题的序号是( A.①②③ C.②③ ). B.①② D.①③

解析 对于①,可举反例:如 a,b,c,d 依次取值为 1,4,2,8,故①错;对于②,可举反例: a b 如 a、b 异号,虽然 <1,但 <0,故②错;对于③,y=f(|x|)=log2|x|,显然为偶函数,故 b a 选 B 答案 B (2)下列命题中,假命题为( )

A.存在四边相等的四边形不是正方形 . B. z1 , z2 ? C, z1 ? z2 为实数的充分必要条件是 z1 , z2 为共轭复数 C.若 x, y ? R,且 x ? y ? 2, 则 x, y 至少有一个大于 1

0 1 n D.对于任意 n ? N , Cn ? Cn ? ?? Cn 都是偶数

【解析】只要 z1 , z2 的虚部相反,则 z1 ? z2 ,就为实数,比如 z1 ? 1 ? i, z2 ? 2 ? i ,则有

z1 ? z2 ? 1 ? i ? 2 ? i ? 3 为实数,所以 B 错误,选 B.
题型 2.四种命题的真假判断 题 2.(1)已知命题“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数,则 m≤1”,则下列结 论正确的是( ).

A.否命题是“若函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数,则 m>1”,是真命题 B.逆命题是“若 m≤1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是增函数”,是假命题 C.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上是减函数”,是真命题 D.逆否命题是“若 m>1,则函数 f(x)=ex-mx 在(0,+∞)上不是增函数”,是真命题 [审题视点] 分清命题的条件和结论,理解四种命题间的关系是解题关键. 解析 f′(x)=ex-m≥0 在(0,+∞)上恒成立,即 m≤ex 在(0,+∞)上恒成立,故 m≤1, 这说明原命题正确,反之若 m≤1,则 f′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,故逆命题正确,但对 增函数的否定不是减函数,而是“不是增函数”,故选 D. 答案 D (2)给出下列四个命题: ①命题“若 ? ? ,则 tan ? ? 1 ”的逆否命题为假命题; 4 ②命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 .则 ?p : ?x0 ? R ,使 sin x0 ? 1 ; ③“ ? ?

?

?
2

? k? (k ? Z ) ”是“函数 y ? sin(2 x ? ? ) 为偶函数”的充要条件;

o ④命题 p : “ ?x0 ? R , sn x 0 ? cs x 0 ? 使i
那么 (?p) ? q 为真命题. 其中正确的个数是( ) A .1 B .2 【答案】B

3 ”; 命题 q : “若 sin ? ? sin ? , ? ? ? ”, 则 2

C .3

D .4

【解析】①中的原命题为真,所以逆否命题也为真,所以①错误.②根据全称命题的否定式 特称命题知, ②为真.③当函数为偶函数时, ? ? 有 ④因为 sin x ? cos x ?

?
2

? k? ,所以为充要条件, 所以③正确.

? 3 2 sin( x ? ) 的最大值为 2 ? , 所以命题 p 为假命题,? p 为真, 4 2

三角函数在定义域上不单调,所以 q 为假命题,所以 (?p) ? q 为假命题,所以④错误.所以 正确的个数为 2 个,选 B. 题型 3. 充要条件的判断

题 3.(1)已知函数 f ( x) ? x ? b cos x ,其中 b 为常数.那么“ b ? 0 ”是“ f ( x) 为奇函

数”的(



(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 【答案】C 【解析】若 b ? 0 ,则 f (x) ? x ?b cos x ? x 为奇函数。若 f ( x ) 为奇函数,则有 f (0) ? 0 , 即 b ? 0 ,所以 b ? 0 是 f ( x ) 为奇函数的充分必要条件,选 C. (D)既不充分也不必要条件

(2) 已知条件 p:函数 g ( x) ? log (x ? 1) 为减函数,条件 q:关于 x 的二次方程 m
x 2 ? 2 x ? m ? 0 有解,则 p 是 q 的
A.充分而不必要条件 C.充要条件 【答案】A B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】函数 g ( x) ? logm ( x ? 1) 为减函数,则有 0 ? m ? 1 ,即 p :0 ? m ?1 。关于 x 的二 次方程 x 2 ? 2 x ? m ? 0 有解,则判别式 ? ? 4 ? 4m ? 0 ,解得 m ? 1 ,即 q : m ? 1 。所 以 p 是 q 的充分而不必要条件,选 A.

(3)“ 2a ? 2b ”是 log2 a ? log2 b ”的
A.充分不必要条件 C.充要条件 【答案】B
a b a b 【解析】若 2 ? 2 ,则有 a ? b 。若 log2 a ? log 2 b ,则有 a ? b ? 0 。所以“ 2 ? 2 ”是

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

log2 a ? log2 b ”的必要不充分条件,选 B.
题型 4. 含有逻辑联结词命题真假的判断 题 4.(1)(2010· 新课标全国)已知命题 p1:函数 y=2x-2-x 在 R 上为增函数,p2: 函数 y=2x+2-x 在 R 上为减函数,则在命题 q1:p1∨p2,q2:p1∧p2,q3:(? 1) p ∨p2 和 q4:p1∧(? 2)中,真命题是( p A.q1,q3 C.q1,q4 ). B.q2,q3 D.q2,q4

[审题视点] 根据复合函数的单调性判断 p1,p2 的真假. 解析 可判断 p1 为真,p2 为假;则 q1 为真,q2 为假,q3 为假,q4 为真.

答案 C “p∨q”、“p∧q”、“? q”形式命题真假的判断步骤:(1)确定命题 的构成形式; (2)判断其中命题 p、 的真假; q (3)确定“p∨q”、 “p∧q”、 q” “? 形式命题的真假. 5 (2)已知命题 p:?x0∈R,使 sin x0= 2 ;命题 q:?x∈R,都有 x2+x+1> 0.给出下列结论 ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“? p∨? q”是假命题; ③命题“? p∨q”是真命题; ④命题“p∨? q”是假命题. 其中正确的是( A.②③ C.③④ ). B.②④ D.①②③

解析 命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,故③④正确. 答案 C 题型 5. 全称命题与特称命题 题 5.(1)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为
A.所有实数的平方都不是正数 C.至少有一个实数的平方不是正数 【答案】C 【解析】全称命题的否定是特称命题.,所以“所有实数的平方都是正数”的否定是“至少有 一个实数的平方不是正数”选 C. B.有的实数的平方是正数 D.至少有一个实数的平方是正数

(2)以下命题正确的个数为
① 命题“若 x ? 1, 则x ? 1 ”的否命题为“若 x ? 1, 则x ? 1”;
2 2

② 命题“若 ? ? ? , 则 tan ? ? tan ? ”的逆命题为真命题; ③ 命题“ ?x ? R, 使得x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, 都有x ? x ? 1 ? 0 ”;
2 2
2 ④ x ? 1 ”是“ x ? x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 “

A.1 答案:C

B.2

C.3

D.4

解析:否命题是将原命题的条件和结论都否,所以① 正确;当α =60°,β =210°时,有

tan ? ? tan ? 成立,但 ? ? ? , 不成立,故② 不正确;命题的否定是将全称量词与特称量词
对换,再否定结论,所以③ 正确; x ? x ? 2 ? 0 的解集是 x>1 或 x<-2,所以④ 正确,选
2

C。

题型 6.根据命题的真假,求参数的取值范围
题 6.已知“命题 p: ?x ∈R,使得 ax ? 2x ? 1 ? 0 成立”为真命题,则实数 a 满足( )
2

A.[0,1) 【答案】B

B. (??,1)

C.[1,+∞)

D. (??,1]

2 【解析】若 a ? 0 时,不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 等价为 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ?

1 ,结论成 2

2 立.当 a ? 0 时,令 f ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1 ,因为 f (0) ? 1 ? 0 ,要使 ax ? 2x ? 1 ? 0 成立,

? ?a ? 0 ? ?a ? 0 则满足 ? ? ? 0 或? ,解得 0 ? a ? 1 或 a ? 0 ,综上 a ? 1 ,选 B. ? f (0) ? 0 ? 2 ?? ?0 ? 2a
1.有下面四个判断:其中正确的个数是( )

①命题: “设 a 、 b ? R ,若 a ? b ? 6 ,则 a ? 3或b ? 3 ”是一个真命题 ②若“p 或 q”为真命题,则 p、q 均为真命题 ③命题 ?a 、 ? R, a2 ? b2 ? 2(a ? b ? 1) ” “ 的否定是: ?a 、 ? R, a2 ? b2 ? 2(a ? b ? 1) ” “ b b A.0 【答案】B 【解析】命题①的逆否命题为设 a 、 b ? R ,若 a ? 3且b=3 ,则 a ? b=6 ,命题成立.命 题②若“p 或 q”为真命题,则 p, q 至少有一个为真,所以②错误.命题③错误,所以选 B. B.1 C.2 D.3

2. 下列说法中,正确的是
(A)命题“若 a ? b ,则

1 1 ? ”的逆命题是真命题 a b
2

2 (B)命题“ ?x0 ? R , x0 ? x0 )0 ”的否命题是“ ?x ? R , x ? x ? 0 ”

(C)命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p 和命题 q 均为真命题 (D) a ? 2 ”是“ a ? 5 ”的充分不必要条件 “

【答案】B

1 1 1 1 ? ”的逆命题是“若 ? ,则 a ? b ” a ? ?1, b ? 1 ,当 a b a b 不成立,所以 A 错误。命题“ p ? q ”为真命题,则命题 p 和命题 q 至少有一个为真命题, 所以 C 错误。 a ? 2 ”是“ a ? 5 ”的必要不充分条件,所以 D 错误,答案选 B. “
【解析】命题“若 a ? b ,则

3. 已知命题 p: ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0,则 ? p 是
(A) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (B) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≤0 (C) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 (D) ? x1,x2 ? R,(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0 【答案】C 【解析】命题 p 为全称命题,所以其否定 ? p 应是特称命题,又(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)≥0 否定 为(f(x2) ? f(x1))(x2 ? x1)<0,故选 C

4.已知命题 p : ?? ,1 “ x 2 ][ (A) a ? ?2或a ? 1 【答案】A

2 x ?0? a

” ,命题 q : ?x ? R , x ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ” “ 。若
2

命题: p 且 q ”是真命题,则实数 a 的取值范围是 “ (B) a ? ?2或1 ? a ? 2 (C) a ? 1 (D) ?2 ? a ? 1

【 解 析 】 ?x ? [1,2], x 2 ? a ? 0 , 即 ?x ? [1,2], x 2 ? a , 所 以 a ? 1 。 ?x ? R , 有

x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ,则说明方程有解,即判别式 ? ? 4a 2 ? 4(2 ? a) ? 0 ,解得 a ? 1 或
a ? ?2 ,因为命题 p且q 为真,所以 p,q 同为真命题,所以 a ? ?2 或 a ? 1 ,选 A.
5. “ a ? 4 ”是“对任意的实数 x , 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? a 成立”的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 【答案】B 【解析】因为 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? a ,所以 x ? B.充分不必要条件 D.既非充分也非必要条件

1 3 a ? x ? ? ,根据不等式的几何意义可 2 2 2

知,在数轴上点 x 到点

1 3 1 3 和 ? 的距离之和,则 x ? ? x ? ? 2 ,所以当 a ? 4 时,有 2 2 2 2

a 1 3 a ? 2 ,所以不等式 x ? ? x ? ? 成立,此时为充分条件,要使 2x ? 1 ? 2x ? 3 ? a 2 2 2 2

恒成立,即 x?

a 1 3 a ? x? ? 恒成立,则有 ? 2 ,即 a ? 4 ,综上, a ? 4 是 2 2 2 2

2x ? 1 ? 2x ? 3 ? a 成立的充分不必要条件,选 B.
6.已知直线 l ? 平面? ,直线 m ? 平面? ,则“ ? // ? ”是“ l ? m ”的 (A)充要条件 (C)充分不必要条件 答案:C (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

解析:? ? // ? , l ? 平面? ,?l ? 平面? ,又直线

m ? 平面?,不能得出 ? 平面?,又直线l ? 平面?,故得不出 //? .选C. l ?
7.下列命题正确的是
2 A. ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ? 3 ? 0

B. ?x ? N, x3 >x2 D.若 a>b,则 a2>b2

C.x>1 是 x2>1 的充分不必要条件 答案:C

m ? 平面?, l ? m;又l ? m, 直线 ?

解析:对于 A,△=4-12<0,方程无解,故错误;对于 B,当 x=1 时,不等式不成立, 故错;对于 C,x>1 时有 x2>1,但 x2>1 时,有 x>1 或 x<-1,故是充分不必要条件; 对于 D,只有当 a>b>0 时,才有 a2>b2,所以,选 C。

? ,则 tanα =1”的逆否命题是 4 ? ? A.若α ≠ ,则 tanα ≠1 B. 若α = ,则 tanα ≠1 4 4 ? ? C. 若 tanα ≠1,则α ≠ D. 若 tanα ≠1,则α = 4 4
8. 命题“若α =
【答案】C 【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ” ,所以 “若α = α =1”的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则α ≠

? ”. 4

? ,则 tan 4

【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问 题的能力.

9.设 p:方程 x2+2mx+1=0 有两个不相等的正根;q:方程 x2+2(m-2)x-3m +10=0 无实根.求使 p∨q 为真,p∧q 为假的实数 m 的取值范围.

[尝试解答]

2 ?Δ1=4m -4>0, ? 由 得 m<-1. ?x1+x2=-2m>0,

∴p:m<-1; 由 Δ2=4(m-2)2-4(-3m+10)<0, 知-2<m<3,∴q:-2<m<3. 由 p∨q 为真,p∧q 为假可知,命题 p,q 一真一假, ?m<-1, 当 p 真 q 假时,? 此时 m≤-2; ?m≥3或m≤-2, ?m≥-1, 当 p 假 q 真时,? 此时-1≤m<3. ?-2<m<3, ∴m 的取值范围是{m|m≤-2,或-1≤m<3}.
10. 【2012 高考真题陕西理 18】 (本小题满分 12 分) (1)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) , c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真。 (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明)

【答案】


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