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数学选修2-1圆锥曲线(3)

(数学选修 2-1)第二章

圆锥曲线(三) )

1.若抛物线 y 2 ? x 上一点 P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点 P 的坐标为( A. ( , ?

1 4

2 ) 4

B. ( , ?

1 8

2 ) 4

C. ( ,

1 2 ) 4 4

D. ( ,

1 2 ) 8 4


2.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 与椭圆的两个焦点 F1 、 F2 的连线互相垂直,则△ PF1 F2 的面积为( 49 24
B. 22 C. 28 D. 24

A. 20

3.若点 A 的坐标为 (3, 2) , F 是抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使 MF ? MA 取得最小值的 M )A. ?0,0? B. ? ,1?

的坐标为(

?1 ? ?2 ?

C. 1, 2

?

?

D. ?2,2?

4.与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 共焦点且过点 Q(2,1) 的双曲线方程是( 4



A.

x2 x2 x2 y2 y2 ? y 2 ? 1 B. ? y 2 ? 1 C. ?1 ? ? 1 D. x 2 ? 2 4 2 3 3


2 2 5.若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是(

A. (?

15 15 ) , 3 3

B. ( 0,

15 15 15 ) C. (? (? ,0 ) D. ,?1 ) 3 3 3

6.抛物线 y ? 2 x 2 上两点 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y 2 ) 关于直线 A.

y ? x ? m 对称,且 x1 ? x 2 ? ? 1 ,则 m 等于(
2



3 2

B. 2

C.

5 2

D. 3

x2 y2 ? ? 1 的焦点 F1 、 F2 ,点 P 为其上的动点,当∠ F1 P F2 为钝角时,点 P 横坐标的取值范围是 7.椭圆 9 4
8.双曲线 tx ? y ? 1 的一条渐近线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,则这双曲线的离心率为___。
2 2



9.若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8x 交于 A 、 B 两点,若线段 AB 的中点的横坐标是 2 ,则 AB ? ______。
2

4.若直线 y ? kx ? 1 与双曲线 x ? y ? 4 始终有公共点,则 k 取值范围是
2 2 2



10.已知 A(0, ?4), B(3, 2) ,抛物线 y ? 8x 上的点到直线 AB 的最段距离为__________。

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且 ?F1PF2 ? 600 ,求△ F1PF2 的面积。 11.设 F1 , F2 是双曲线 9 16

180 变化时,曲线 x2 ? y 2 cos ? ? 1怎样变化? 12.当 ?从0 到
0 0

x2 y2 13.已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) , A 、 B 是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直 a b
平分线与 x 轴相交于点 P( x0 ,0) .证明: ?

a2 ? b2 a2 ? b2 ? x0 ? . a a

14.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ,试确定 m 的值,使得在此椭圆上存在不同两点关于直线 y ? 4 x ? m 对称。 4 3

15.如图,椭圆 C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离为 两点,且线段 AB 被直线 OP 平分.

.不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A,B

(1)求椭圆 C 的方程; (2)求△ABP 面积取最大值时直线 l 的方程.

(数学选修 2-1) 第二章 圆锥曲线 一、选择题 1.B

[提高训练 C 组]

点 P 到准线的距离即点 P 到焦点的距离,得 PO ? PF ,过点 P 所作的高也是中线

1 2 1 2 ? Px ? ,代入到 y 2 ? x 得 Py ? ? ,? P( , ? ) 8 4 8 4
2.D

PF1 ? PF2 ? 14,(PF1 ? PF2 )2 ? 196, PF12 ? PF22 ? (2c)2 ? 100 ,相减得
2 PF1 ? PF2 ? 96, S ? 1 PF1 ? PF2 ? 24 2

3.D

MF 可以看做是点 M 到准线的距离,当点 M 运动到和点 A 一样高时, MF ? MA 取得最小值,即 M y ? 2 ,代
入 y 2 ? 2x 得 M x ? 2

4.A

且焦点在 x 轴上,可设双曲线方程为 c2 ? 4 ? 1 ,c ? 3,

x2 y2 ? ? 1过点 Q(2,1) a2 3 ? a2

4 1 x2 2 ? 1 ? a ? 2, ? y 2 ? 1 得 2? 2 a 3? a 2
5.D

? x2 ? y 2 ? 6 2 , x ? (kx ? 2)2 ? 6, (1 ? k 2 ) x 2 ? 4kx ? 10 ? 0 有两个不同的正根 ? y ? kx ? 2 ?
? 2 ?? ? 40 ? 24k ? 0 ? 15 4k 2 ? 则 ? x1 ? x2 ? ? k ? ?1 ? 0, 得 ? 2 3 1 ? k ? ?10 ? x1 x2 ? ?0 ? 1? k 2 ?

6.A

k AB ?

x ?x y ?y y2 ? y1 1 ? ?1, 而y2 ? y1 ? 2( x2 2 ? x12 ), 得x2 ? x1 ? ? ,且( 2 1 , 2 1 ) 2 2 x2 ? x1 2 y2 ? y1 x2 ? x1 ? ? m, y2 ? y1 ? x2 ? x1 ? 2m 2 2 3 2

在直线 y ? x ? m 上,即

2( x2 2 ? x12 ) ? x2 ? x1 ? 2m, 2[( x2 ? x1 ) 2 ? 2 x2 x1 ] ? x2 ? x1 ? 2m, 2m ? 3, m ?
二、填空题 7. (?

3 5 3 5 , ) 可以证明 PF1 ? a ? ex, PF2 ? a ? ex, 且 PF12 ? PF22 ? F1F22 5 5 5 2 2 2 2 2 2 2 2 ,则 (a ? ex) ? (a ? ex) ? (2c) , 2a ? 2e x ? 20, e x ? 1 3

而 a ? 3, b ? 2, c ? 5, e ?

x2 ?

1 1 1 3 5 3 5 ,? ? x ? ,即? ?e? 2 e e e 5 5

8.

5 2

渐近线为 y ? ? t x ,其中一条与与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 垂直,得 t ?

1 1 ,t ? 2 4

x2 5 ? y 2 ? 1, a ? 2, c ? 5, e ? 4 2
9. 2 15

? y 2 ? 8x 4k ? 8 , k 2 x 2 ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0, x1 ? x2 ? ?4 ? k2 ? y ? kx ? 2
2 得 k ? ?1, 或2 ,当 k ? ?1 时, x ? 4 x ? 4 ? 0 有两个相等的实数根,不合题意

当 k ? 2 时, AB ? 1 ? k 10. ?1, ?

2

x1 ? x2 ? 5 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 5 16 ? 4 ? 2 15

5 2
2

? x2 ? y 2 ? 4 2 , x ? (kx ? 1)2 ? 4,(1 ? k 2 ) x ? 2kx ? 5 ? 0 ? y ? kx ? 1 ?

当 1 ? k ? 0, k ? ?1 时,显然符合条件;
2 当 1 ? k ? 0 时,则 ? ? 20 ? 16k ? 0, k ? ?
2

5 2

11.

3 5 5

直线 AB 为 2 x ? y ? 4 ? 0 ,设抛物线 y 2 ? 8x 上的点 P(t , t 2 )

d?
三、解答题

2t ? t 2 ? 4 5

?

t 2 ? 2t ? 4 (t ? 1)2 ? 3 3 3 5 ? ? ? 5 5 5 5

12.解:双曲线

x2 y2 ? ? 1 的 a ? 3, c ? 5, 不妨设 PF1 ? PF2 ,则 PF1 ? PF2 ? 2a ? 6 9 16

F1F22 ? PF12 ? PF22 ? 2PF1 ? PF2 cos600 ,而 F1F2 ? 2c ? 10
2 2 2 得 PF 1 ? PF 2 ? PF 1 ? PF 2 ? ( PF 1 ? PF 2 ) ? PF 1 ? PF 2 ? 100

PF1 ? PF2 ? 64, S ?

1 PF1 ? PF2 sin 600 ? 16 3 1.解:当 ? ? 00 时, cos 00 ? 1 ,曲线 x2 ? y 2 ? 1为一个单位圆; 2

0 0 当 0 ? ? ? 90 时, 0 ? cos ? ? 1,曲线

y2 x2 ? ? 1 为焦点在 y 轴上的椭圆; 1 1 cos ?

当 ? ? 90 时, cos90 ? 0 ,曲线 x ? 1 为两条平行的垂直于 x 轴的直线;
0
0 2 0 0 当 90 ? ? ? 180 时, ?1 ? cos ? ? 0 ,曲线

x2 y2 ? ? 1 为焦点在 x 轴上的双曲线; 1 ? 1 cos ?

2 2 当 ? ? 180 时, cos180 ? ?1 ,曲线 x ? y ? 1为焦点在 x 轴上的等轴双曲线。
0 0

13.证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 y ?y , ) ,得 k AB ? 2 1 , 2 2 x2 ? x1

b2 x12 ? a2 y12 ? a2b2 , b2 x22 ? a2 y22 ? a2b2 , 得 b2 ( x22 ? x12 ) ? a2 ( y22 ? y12 ) ? 0,
x ?x y2 2 ? y12 b2 即 2 ? ? 2 , AB 的垂直平分线的斜率 k ? ? 2 1 , 2 y2 ? y1 x2 ? x1 a
AB 的垂直平分线方程为 y ?

y1 ? y2 x ?x x ?x y 2 ? y12 ? x22 ? x12 b2 x ? x ? ? 2 1 ( x ? 1 2 ), 当 y ? 0 时, x0 ? 2 ? (1 ? 2 ) 2 1 而 2 y2 ? y1 2 2( x2 ? x1 ) a 2

?2a ? x2 ? x1 ? 2a ,??

a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? x0 ? . a a

14.解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , AB 的中点 M ( x0 , y0 ) , k AB ?

y2 ? y1 1 ? ? , 而 3x12 ? 4 y12 ? 12, 3x22 ? 4 y22 ? 12, 相减 x2 ? x1 4

得 3( x22 ? x12 ) ? 4( y22 ? y12 ) ? 0, 即 y1 ? y2 ? 3( x1 ? x2 ),? y0 ? 3x0 , 3x0 ? 4x0 ? m, x0 ? ?m, y0 ? ?3m 而 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,则

m 2 9m 2 2 3 2 3 ? ? 1, 即 ? 。 ?m? 4 3 13 13
得 所以椭圆 C 的方程为 + =1.

15.解:(1)设椭圆左焦点为 F(-c,0),则由题意得

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原点的条件不符,舍去,故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0), 由 消去 y,整理得(3+4k )x +8kmx+4m -12=0.①
2 2 2

则Δ =64k m -4(3+4k )(4m -12)>0,

2 2

2

2

所以线段 AB 的中点 M(-

,

).

因为 M 在直线 OP 上,所以

=

,得 m=0(舍去)或 k=- .此时方程①为 3x -3mx+m -3=0,

2

2

则Δ =3(12-m )>0,

2

所以|AB|=

·|x1-x2|=

·

.

设点 P 到直线 AB 距离为 d,则 d=

=

.设△ABP 的面积为 S,则 S= |AB|·d= ·

.

其中 m∈(-2

,0)∪(0,2
2

).令 u(m)=(12-m )(m-4) ,m∈[-2 )(m-1+ ),

2

2

,2

].

u'(m)=-4(m-4)(m -2m-6)=-4(m-4)(m-1所以当且仅当 m=1-

,u(m)取到最大值,故当且仅当 m=1-

,S 取到最大值,综上,所求直线 l 方程为 3x+2y+2

-2=0.


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