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第二章 2.3 幂函数_图文

说出下列函数的名称 正比例函数 y ? kx (k ? 0) k y ? (k ? 0, x ? 0) 反比例函数 x y ? kx ? b (k ? 0) 一次函数 2 y ? ax ? bx ? c (a ? 0) 二次函数 y ? c (c为常数) 常数函数 x y ? a (a ? 0且a ? 1) 指数函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 对数函数 ? y ? x (?为常数) 我们见过这样形式的函数吗?

1.幂函数的概念

[新知初探]

α y = x 函数 叫做幂函数,其中 x 是自变量, α 是常数.

[点睛] 幂函数中底数是自变量,而指数函数中指数为自变量. 2.常见幂函数的图象与性质
解析式 图象 定义域 值域 R R R R R y=x y=x
2

y=x

3

1 y= x

y=x

1 2

{x|x≠0} [0,+∞) {y|y≠0}
[0,+∞)

[0,+∞)

奇偶性 奇函数

偶 函数 奇 函数 奇 函数 非奇非偶 函数

(-2,4)

4

y=x3

(2,4) y=x2 y=x (4,2)
1

3

y=x 2
2

1

(-1,1)
-6 -4 -2

(1,1)
2

y=x-1
4 6

-1

(-1,-1)
-2

幂函数的图象都通过点(1,1) α为奇数时,幂函数为奇函数, α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内,

-3

-4

a >0,在(0,+∞)上为增函数; a <0,在(0,+∞)上为减函数.

解 析 式

y=x

y=x

2

y=x

3

1 y= x

y=x

1 2

在(-∞,0]上

单 调 上单调 递增 性

在(-∞, +∞) 单调 递减 , 在(0,+∞)上 单调 递增

在 ( -∞, + ∞) 上 单 调 递增

在 (-∞, 0)上 单调 递减 , 在 [0 , + ∞) 在 (0,+∞)上 上单调 递增 单调 递减

定 点

(1,1)
[点睛]幂函数在区间(0,+∞)上,当 α>0 时,y=xα 是 增函数;当 α<0 时,y=xα 是减函数.

[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数 y=x0(x≠0)是幂函数. (2)幂函数的图象必过点(0,0)(1,1). (3)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( √) ( ×) (× )

2.下列函数中不是幂函数的是( A.y= x C.y=2x
答案:C

)

B.y=x3 D.y=x-1

3.已知 f(x)=(m-1)x A.2 C.3

m 2+2 m

是幂函数,则 m=( B.1 D.0

)

答案:A
4 .已知幂函数 f(x) = x ________.
1 答案: 2
α

? 图象过点 ? ?2, ?

2? ? ,则 f(4) = ? 2?

幂函数的概念
[例 1] 已知幂函数 y=(m2-m-1)xm2-2m-3,求此幂函

数的解析式,并指出定义域.

[解] ∵y=(m2-m-1)xm2-2m-3 为幂函数, ∴m2-m-1=1,解得 m=2 或 m=-1. 当 m=2 时,m2-2m-3=-3,则 y=x-3,且有 x≠0; 当 m=-1 时,m2-2m-3=0,则 y=x0,且有 x≠0. 故所求幂函数的解析式为 y=x-3, 定义域为{x|x≠0}或 y=x0, 定义域为{x|x≠0}.

判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y =xα(α 为常数)的形式,即函数的解析式为一个幂的 形式, 且需满足: (1)指数为常数; (2)底数为自变量; (3)系数为 1.

[活学活用] 1.下列函数中不是幂函数的是( A.y= x C.y=22x ) B.y=x
3

D.y=x-1

解析:选 C 显然 C 中 y=22x=4x,不是 y=xα 的形式, 1 所以不是幂函数,而 A、B、D 中的 α 分别为 , 3,-1,符 2 合幂函数的结构特征.

答案:C

比较幂值的大小
[例 2] 比较下列各组数中两个数的大小.
?2? ?1? ? 2? - ? 3? - ?2? 3 ? 0.5 ? ? 0.5 ? ? 1 ? ? 1 ? ?4 - - (1)? 与 ; (2) 与 ; (3) ?5? ?3? ? 3? ? 5? ?3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3? 2 ?3 与? ?4? ? ?

.

[解] (1)∵幂函数 y=x0.5 在(0, +∞)上是单调递 增的,
?2? 2 1 ? 又 > ,∴? ?5? 5 3 ? ?
0.5

>

?1? ? ? 0.5 . ?3? ? ?

(2)∵幂函数 y=x-1 在(-∞,0)上是单调递减的,
? 2? ? ? 2 3 ? ? -1 ? 3 ? -1 又- <- ,∴?- ? >?- ? . 3 5 ? 3? ? 5?

(3)∵函数
?2? 2 ?3 ∴? ?3? ? ?

?2? ?x y1=? ?3? 为 ? ?

3 2 R 上的减函数,又 > , 4 3

?2? 3 ?4 >? ?3? ? ?

.
2 3

3 2 又∵函数 y2=x 在(0,+∞)上是增函数,且 > , 4 3
?3? 2 ?3 ∴? ?4? ? ? ?2? 2 ?3 >? ?3? ? ? ?3? 2 ?3 ,∴? ?4? ? ? ?2 ? 3 ?4 >? ?3 ? ? ?

.

比较幂值大小的方法 (1)若指数相同,底数不同,则考虑幂函数; (2)若指数不同,底数相同,则考虑指数函数; (3)若指数与底数都不同,则考虑插入中间数, 使这个数的底数与所比较数的一个底数相同,指数 与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较 的两数之间,进而比较大小.

[活学活用] 2.比较下列各组值的大小: (1)(-0.31) ,0.35
6 5

6 5

6 5

(2)1.2 ,1.4 ,1.42;
6 5 6 5

1 2

1 2

解:(1)∵y=x 为 R 上的偶函数,∴(-0.31) =0.31 . 又函数 y=x 为[0,+∞)上的增函数,且 0.31<0.35, ∴0.31 <0.35 ,即(-0.31) <0.35 .
6 5 6 5 6 5 6 5
1 2

6 5

(2)∵y=x 在[0,+∞)上是增函数,且 1.2<1.4, ∴1.2 <1.4 .
1 1 又∵y=1.4 为增函数,且 <2,∴1.4 2 <1.42, 2 1 2 1 2

x

∴1.2 <1.4 <1.4 .

1 2

1 2

2

幂函数的图象与性质
[例 3] 已知幂函数 f(x)=x 的图象过点 P
α

? 1? ? ? 2 , ,试 ? ? 4? ?

画出 f(x)的图象并指出该函数的定义域与单调区间.
[解] 因为 f(x)=x 的图象过点 P
α

? 1? ? ? 2 , , 所以 f(2) ? 4? ? ?

1 1 α = ,即 2 = ,得 α=-2,即 f(x)=x-2,f(x)的 4 4 图象如图所示,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),单 调减区间为(0,+∞),单调增区间为(-∞,0).

[一题多变] 1.[变设问]本例条件不变,试判断 f(x)的奇偶性.

解:由本例知,f(x)=x-2,则 f(-x)=(-x)-2=f(x), ∴f(x)为偶函数.
2.[变条件]本例中点 P
? 1? 变为?8,2?, ? ?

(1)判断函数 f(x)的奇偶性; (2)判断函数 f(x)的单调性,

解:∵f(x)的图象过点 P

? 1? 1 ? ? α ?8,2?,∴8 =2,即 ? ?

23α=2-1,

1 ∴3α=-1,即 α=- , 3 1 ∴函数 f(x)的解析式为 f(x)=x- (x≠0). 3 1 1 1 (1)∵f(-x)=(-x)- = 3 =-3 =-f(x), 3 -x x 又 f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, ∴f(x)是奇函数.

1 1 (2)∵- <0,∴f(x)=x- 在(0,+∞)上是减函数. 3 3 由(1),知 f(x)是奇函数, 1 ∴f(x)=x- 在(-∞,0)上也是减函数. 3 1 ∴f(x)=x- 在(0,+∞)和(-∞,0)上都是减函数. 3

幂函数图象的画法 (1)确定幂函数在第一象限内的图象:先 根据 α 的取值,确定幂函数 y=xα 在第一象限内 的图象. (2)确定幂函数在其他象限内的图象:根 据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数 f(x)在其 他象限内的图象.





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