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一道向量数量积考题解法的多角度探究_论文

?  4 6   ?   中学数 学月 刊  2 0 1 3年第 1 2期  一 通 向 量 数 量积 考题 触 法 昀萋 角 度 搽 穷  潘成 银  ( 江 苏省 南京 实验 学校 2 1 0 0 1 9 )   波 利 亚 曾说 : “ 一 个 专 心 认 真 备 课 的 老 师 能 够 拿 出 ~  个有意义但又 不太 复杂 的题 目, 去 帮 助 学 生 发 掘 问 题 的  底.   探究 1   逆 向思维, 反 向代 入 消 元 , 将 代 数 法 进 行 到  各个 方 面, 使 得通过 这道题 , 就 好像一 道 门, 把 学 生 引 入  一 设 2 一 z+ y= t , 得  — t + x一 2 .   个 完整 的理论 领域. ” 在浩瀚 无垠 的数学题 海里 , 教 师  代 入 圆 C: z   +y 。一 4 , 整 理 得  2 x 。+ 2 ( t 一2 ) z+ ( t  一 4 t )一 0 .   要 寻 找这 样 的题 目 , 学习和借鉴 当然少 不了 , 但 用 心 去 研  题是关键. 教师不仅要研究和发掘 教材 中例题 、 习 题 的 教  学价值 , 更 要 分 析 和 研 究 学 生 在 作 业 和 考 试 中 的 解 题 思  维活动 , 特别是解题的切人点和 思维受 阻原 因, 并 在 评 讲  和订 正 时 通 过 一题 多解 探 究 、 变式拓展 训练 , 培 养 和 提 高  学 生 的解 题 能 力 . 下 面 通 过 对 一 道高 三 模 拟 试 题 解 法 的  多角度探 究 , 抛砖 引玉 , 希望 能引起 更多 的同仁 关注 , 展  示 更 多 优 秀 的 探究 案 例 .   考 题  ( 2 0 1 3年 江 苏省  L   此方程有解 , △一 4 (   一2 )  一 8 ( t 。 一4 t ) ≥0 .   解得 2 —2   ≤t ≤2 +2   , 当且仅当 z一 一√  , 即  P的坐标为( 一   ,  ) 时, 葡 . 一 P N 有最大值 4 +4  .   评 注  将 数 量 积 转 化 为 函数 最 值 后 , 由 于 条 件 中 圆  方程 为二 次 , 不 能 代 入 目标 函 数 的 一 次 式 进 行 继 续 消 元 .   此 时 采用 逆 向代 人 , 把 目标 函 数 的一 次 式 代 人 圆 方 程 , 使  得求 函数 最 值 问题 转 化 为 方 程 有 解 问 题 , 利 用 一 元 二 次  方 程 有解 条 件 建 立 不 等 式 , 解不 等式 求 得 函数 最 值 .   探究2   借 助 直线 与 圆位 置 关 系 , 呼 应 条 件  设 2 一 z+ y— t , 则直线 2 一  + y= t 与 圆 C: z  +   常 州 市 高三 第 一 次 模 拟 ) 在 平  面直角坐标 系 x O y 中, 圆 c:   +  一 4 分 别交 _ z轴 正 半  轴及 Y 轴 负半 轴 于 M , N 两  点, 点 P为圆 C上 任意一 点 ,   \ \ j   N  0  Y  一 4有公 共 点 P, 于是 d一 —   42   ≤2 , 化 简得 2 —2   ≤f ≤ 2+2  ̄ /  , 所以   . P 一 N 的最大值为 4 +4   .   则P M ?P N 的 最 大 值 为  图 1   评 注  通 过 坐 标 法 将 数 量 积 的最 值 转 化 为 关 于 变 量  z,   的二 元 一 次 函 数 最 值 , 利用二元一 次方程表示直 线 ,   大多数学生的解法 : 设 P( x,  ) , 由题 意 z   +y  一 4 ,   所 以P M ?PN 一 ( 2一 z, 一  )?( - z, 一 2一  )一 z 。+  y 。 一 2 x+ 2 y 一 4— 2 z+ 2  .   且 这 条 直 线 与 题设 中 的 圆有 公 共 点 , 与题设 条件呼应 , 有  “ 回家 ”的感 觉 .   探究 3   数 形 反 复 转化 , 构 造 出一 片新 天地  面对二元最值 , 因不 能 进 一 步 消元 , 解 题受阻.   其实本题 的切人 点较 多 , 并 且 同 一 个 切 入 点 之 后 的  进一步化简方法也不唯一. 经 过探究 , 发 现 本 题 是 一 道 典  设 P( x,  ) ,则 P M ?P N : ( 2 一 z,一   )?   ( - X, 一 2一  )   1)  一 2 .   z  + y 。 一 2 x+ 2 y一 ( z一 1 )  + (   +  型 的 关 于 向量 数 量 积 的 好 题 , 作 为 习题 教 学 , 是 一 个 十 分  优秀的案例.   师: 平 面向量本 身具有 “ 数” 、 “ 形 ”二 重 性 , 利 用 向量  的坐 标 形 式 是 解 决 向 量 问 题 的 基 本 策 略 之 一 . 本题 在 已   经 给 出坐 标 系 的前 提 下 , 向 量 的代 数 运 算 更 易 让 人 接 受 ,   所 以 以坐 标 法 为 切 入 点 方 向 正 确 . 请 同学们思 考 , 能 否 从  代数式的特征 出发 , 多角度 分析 , 充 分联想 , 找 到 进 一 步  设点 C ( 1 , 一1 ) , 则( z一 1 ) 。 +( y +1 )  的几 何 意 义 为  P, c两 点 间距 离 的平 方 .   因为 P( x ,  ) 在圆 C : z 。 +y 。 一 4上 , 所以 I   P C{ …  r +J ∞   2 l +   .   评 注  通 过 坐 标 法 将 平 面 向量 数 量 积 转 化 为 代 数 中   的

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