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不可忽视直线方程x=my+a的特殊功能


2000 年第 7 期           中学数学月刊                 29

不 可 忽 视 直 线 方 程 x = my + a 的 特 殊 功 能
闻 杰  ( 浙江省杭州市长征中学 310005)   在解解析几何综合题时经常要碰到直线过 x 轴上定点 ( a , 0) 的问题, 且在高考中也频频 出现 , 如 1983 年压轴题、 1993 年压轴题、 1996 年压轴题等都涉及到这个问题 , 而在客观题中几 乎年年有这样的考题 . 但在解题时一般同学都用常规的点斜式法设直线方程为 y = k ( x - a ) , 有些情况由于设直线不恰当 , 从而使运算繁琐, 有时还会使问题陷入僵局 . 2 例 1  已知过定点 P (2, 0) 的直线 l 交抛物线 y = 4x 于 A , B 两点, 求三角形 AO B (O 为坐 标原点) 面积的最小值 . 解 设直线 l 的方程为 y = k ( x - 2 ) , 与抛物线方程 y 2 = 4x 联 立, 消去 y 得 k 2x 2 - 4 ( k 2+ 1) x + 4k 2 = 0, 因为 S △A OB = 1 ?O C ?? A B ?, 2 4 2k 2+ 1
k
2

2 而? AB ?= ?x 1 - x 2 ? k + 1=

k + 1,

2

? O C ?=

?2k ? , ( 这里运算量很大, 中间过程已省略) 2 k + 1 4 2k 2+ 1
k
2

图1

?2k ? = 4 2+ 1 > 4 2. 2 2 k k + 1 我们发现最小值达不到 , 原因何在 ? 问题出在由于在设点斜式直线方程 y = k (x - 2) 时, 已 经把过 P 点垂直于 x 轴 ( 斜率不存在) 的直线给漏掉了 , 而这漏掉的直线恰巧是使得三角形面
k + 1
2

所以 S △A OB = 1 2

积达最小值的情形 , 所以要补上后才可得 (S AOB ) m in = 4 2. 假如我们注意到点 P ( 2, 0) 在 x 轴上的特性 , 而设直线 l 的方程为: x = my + 2, 则与抛物 线方程联立后消去 x 后得
y - 4my - 8= 0 ( 此式很简单 ) , 且容易算得 ?y 1 - y 2 ? = 4
2

m + 2, 而此时的面积表达式可

2

简化为 S △AOB =
m + 2 ≥4
2

1 1 1 ? ?? 1 - y 2 ?( “化斜为直” ) , 所以 S △A OB = ? ?? 1 - y 2 ?= 2 OP y 2 OP y 2 2 , 在 m = 0 时三角形面积达最小值 4 2.

2

4

因此 , 要广义地理解直线斜截式方程 y = k x + b 的本质 , 此方程简洁的特点是因为直线所 过的定点 (0, b ) 正好在 y 轴上 . 如果直线所过的点是 x 轴上的定点 ( a , 0) , 就应该把直线方程改 设成 x = my + a 的形式, 这不仅使方程具有对偶性 ( 与 y = kx + b 比较) , 也使方程达到最简. 所以根据题设条件特点 , 选用恰当的直线方程是强化求简意识的重要手段 . 一旦灵活选用 恰当的方程, 就会大大简化求解过程, 丰富解题思想和方法. 通过两种解法的比较 , 很容易发现两种解法在观念上完全不同 . 前者是常规法 , 设线常规 ( 一般的点斜式 ) , 求三角形面积常规, 带来的结果是参数 k 出现多、 运算繁琐且不完备 ( 出现最 小值达不到的情形 ) ; 改进后的解法是超脱常规 , 抓住点斜式的本质 . 由于已知定点 P ( 2, 0) 在
x 轴上, 把直线设成 x = m y + 2 , 这样不仅简单 , 而且在假设直线方程时已经把所有与抛物线有

两个交点的直线全部包括进去 , 做到了 “设线” 的完备性. 同时, 使得接下来的每步运算都相当 简洁. 因此 , 对解几中的各种基本方程要弄清内涵、 挖掘本质、 灵活运用 .

30                中学数学月刊          2000 年第 7 期 为更好地显示 x = my + a 的优越性 , 下面再举一例直线和椭圆的相交问题 , 以加深印象.
2 2 AF? 例 2 已知直线 l 过椭圆 x + y = 1 的左焦点 F , 与椭圆相交于 A , B 两点 , 且满足 ? 4 3 ? BF ? = 2, 求直线 l 的方程 .

为便于比较, 用对称的形式列出两种解法如下:
常规法 设 y = k (x + 1) ,
3x 2 + 4y 2 = 12, 3x 2 + 4[ k (x + 1) ]2 = 12, ( 3+ 4k 2 ) x 2 + 8k2 x + 4k2 - 12= 0, 8k2 , x 1+ x 2= 3+ 4k2 4k 2 - 12 x 1x 2 = . 3+ 4k2 (3) (4) (5 )
2 k 出现多处

特点
(1) (2)

优化改进后 设  x = my - 1,
3x 2 + 4y 2 = 12, 3 (my - 1 ) 2 + 4y 2 = 12, (3m 2 + 4) y 2 - 6my - 9= 0, 6m y 1 + y 2 = 3m 2 + 4 , y 1y 2= - 9 . 3m 2 + 4 (3) (4) (5 ) (1) (2)

特点 无括号, 简

有括号, 繁

2 m 出现一处

繁 繁 繁

简 简 简

由 ( 4) , (5) 问题集中在 x 1 , x 2 上, 故 ?A F ? = 2 需用定比分点式变换成 ? BF ? 繁
(6 )

由 (4) , (5) 问题集中在 y 1 , y 2 上, 故 ? A F? = 2 需用定比分点式变换成 ? B F? 简
(6 )

x 1+ 1 = 2, - 1- x 2

y 1- 0 = 2, 0- y 2

即 x 1 = 2x 2 - 3. 注意到 ( 4) 式, 把 ( 6) 代入得
- 8k 2 - 2x 2 - 3+ x 2 = . 3+ 4k2 2 8k x 2 = 3+ 4k 2 - 3 再代入 ( 6) 就有 8k2 - 3) - 3. x 1= - 2 ( 3+ 4k 2 x 1 , x 2 代入 (5) 即得 ( = 8k 8k - 3) [ - 2 ( - 3) - 3 ] 3+ 4k2 3+ 4k 2 4k2 - 12 3+ 4k 2
2 2



即  y 1 = - 2y 2. 注 意到 (4) 式, 把 (6) 代入得



繁 繁 太繁
6m y 2 = 3m 2 + 4 , 再 代入 (6) 就有 12m y 1 = - 3m 2 + 4 , y 1 , y 2 代入 ( 5) 即得 8m 2 1 = , (3m 2 + 4) 2 3m 2 + 4

简 简



太繁 化 简得 (运算量非常小)
m 2= 4 , 5 2 5

化简得 ( 运算量非常大, 错误率很高)
5   k2 = , 4

所求直线方程为
y= ± 5 2 (x + 1).

所 求直 线方 程为 繁
x= ± y - 1.



通过上例的比较不难发现, 两种解法只是在设法上稍有区别, 但其运算过程的繁简程度是 非常明显的 . 前者由于设线不合理 , 使得每一步运算都相当繁琐, 且易算错; 而后者由于在设线 上挖掘了点 F ( - 1, 0) 的特性, 改进了设线 , 使得每一步运算都非常简洁 . 因此 , 在数学解题教 学中要有意识地训练学生思维的灵活性和深刻性 .


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