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【北师大版】高中数学必修五


高一数学五(必修) 《数列》单元测试卷
时间:100 分钟 满分:100 分

一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.) 1. 在数列 1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中, x 等于 A.11 B.12 C.13 2. 在数列{an } 中, a1 = 2 , 2an +1 = 2an + 1 ,则 a101 的值为 A.49 3.
1 11 2 11

D.14 D.52

B.50
3 11 n 11

C.51

4.

已知数列 10 ,10 ,10 ,…,10 ,…,使数列前 n 项的乘积不超过 105 的最大正整数 n 是 B.10 C.11 D.12 A. 9 在公比为整数的等比数列 {a n } 中, 如果 a1 + a 4 = 18, a 2 + a 3 = 12, 那么该数列的 前 8 项之和为
225 8 等差数列 {an } 中, a1 + a4 + a7 = 39 , a3 + a6 + a9 = 27 ,则数列 {an } 的前 9 项
A.513 B.512 C.510 D.

5.

6.

7.

8.

的和 S9 等于 A.66 B.99 C.144 D.297 已知命题甲: “任意两个数 a,b 必有唯一的等差中项” ,命题乙: “任意两 个数 a,b 必有两个等比中项”.则 A.甲是真命题,乙是真命题 B.甲是真命题,乙是假命题 D.甲是假命题,乙是假命题 C.甲是假命题,乙是真命题 a S 5 设 Sn 是等差数列 {a n } 的前 n 项和,若 5 = ,则 9 的值为 a3 9 S5 1 A.1 B.-1 C .2 D. 2 在等差数列 {a n } 中,若 S 4 = 1, S 8 = 4 ,则 a17 + a18 + a19 + a 20 的值为
A.9 B.12 C.16 D.17

9. {a n } 是一个等差数列且 a 4 + a 7 + a10 = 17 , a 4 + a 5 + L + a14 = 77 .若 a k = 13 , 则k等于 A.16 ( ) C.20 D.22

B.18

2 10、 在 各 项 均 不 为 零 的 等 差 数 列 {an } 中 , 若 an +1 ? an + an ?1 = 0(n ≥ 2) , 则

S2 n ?1 ? 4n = A. ?2 B. 0 C. 1 D. 2

第 1 页 共 6 页

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11 、 在 等 比 数 列 {a n } 中 , 若 a1 , a10 是 方 程 3x2 ? 2x ? 6 = 0 的 两 根 , 则 a 4 ? a 7 =___________. 12、已知数列的 S n = n 2 + n + 1 ,则 a8 + a9 + a10 + a11 + a12 =_____________。
13、三 个 不 同 的 实 数 a, b, c 成 等 差 数 列 , 且 a, c, b 成 等 比 数 列 , 则
a∶b∶c=_________。 14、已知数列 1,

,则其 前 n 项的和等

。 于 15、在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期 间, 某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成 若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第
1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3,4,L 堆
图1



最底层(第一层)分别按图 1 所示方式 固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示这 n 堆的乒乓球总数,则 f (3) = _____ ;
f (n) = _____ ( f ( n) 的答案用 n 表示).

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 46 分。解答应写出文字说明,或演算步骤) 1 16、 (1) 、等差数列 {a n } 中,已知 a1 = , a 2 + a5 = 4, a n = 33 ,试求 n 的值 3 (2) 在等比数列 {an } 中, a5 = 162 ,公比 q = 3 ,前 n 项和 S n = 242 ,求首 、 项 a1 和项数 n .

第 2 页 共 6 页

17、某城市 1991 年底人口为 500 万,人均住房面积为 6 m2,如果该城市每年 人口平均增长率为 1%,则从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为多少 万 m2, 才能使 2010 年底该城市人均住房面积至少为 24m2?(可参考的数据 1.0118=1.20,1.0119=1.21,1.0120=1.22).

18、设数列{an } 的前 n 项和为 S n ,点 (n,

Sn )(n ∈ N ? ) 均在函数 y=-x+12 的图 n

像上. (Ⅰ)写出 Sn 关于 n 的函数表达式; (Ⅱ)求证:数列 {an } 是等差数列;

第 3 页 共 6 页

19、等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n = 4n 2 ? 25n 。 (1) 求通项公式 an 。 (2) 求数列 {| a n |} 的前 n 项的和 Tn

20、设等比数列 {a n } 前 n 项和为 S n ,若 S 3 + S 6 = 2 S 9 . (Ⅰ)求数列的公比 q ; (Ⅱ)求证:2S3,S6,S12-S6 成等比数列.

21、(选做题)在等差数列 {an } 中, a1 = 1 ,前 n 项和 S n 满足条件 选做题)

(Ⅱ)记 bn = an p n ( p > 0) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn .
a

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

S 2 n 4n + 2 = , n = 1, 2,L . Sn n +1

第 4 页 共 6 页

高中数学五(必修)第二章《数列》单元测试卷
时间:100 分钟 满分:100 分

参考答案
一、选择题: 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 B 7 A 8 A 9 D 10 A

二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.-2; 12.100; 13.4∶1∶(-2) ; 14.

2n ; n +1

15. f (3) = 10, f ( n) =

n(n + 1)(n + 2) . 6

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 46 分。解答应写出文字说明,或演算步骤) 16.解: 1)d= (

2 ,n=50 3

(2)由已知,得 ?a1 ? 35?1 = 162, ? ? a1 (1 ? 3n ) = 242, ? ? 1? 3 2 (1-3n ) 由 ① 得 81a1 = 162 , 解 得 3n = 243 ,解得 ① ② a1 = 2 . 将 a1 = 2 代 入 ② 得

= 242 ,即 1? 3 数 n=5.

n=5.∴ 数列 {an } 的首项 a1 = 2 ,项

17.解 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 x 万 m2,则由题设可得下列不等式

500 × 6 + 19 x ≥ 500 × (1 + 0.01)19 × 24
解得 x ≥ 605 . 答 设从 1992 年起,每年平均需新增住房面积为 605 万 m2. 18.解 (Ⅰ)由题设得

Sn = ? n + 12 ,即 S n = n(?n + 12) = ?n 2 + 12n . n
第 5 页 共 6 页

(Ⅱ)当 n = 1 时, an = a1 = S1 = 11 ; 当 n ≥ 2 时, an = S n ? S n ?1 = ( ?n + 12n) ? ( ?( n ? 1) + 12(n ? 1)) = ?2n + 13 ;
2 2

由于此时-2×1+13=11= a1 ,从而数列 {an } 的通项公式是 an = ?2n + 13 . 19.解(1) an

= 8n ? 29(n ∈ N * )

(2)该等差数列为-21,-13,-5,3,11,……前 3 项为负,其和为-39。
2 ? ?25n ? 4n , n ≤ 3 Tn = ? 2 ?4n ? 25n + 78, n ≥ 4 ?

20、解 (Ⅰ)当 q = 1 时, S3 + S6 = 9a1 , 2 S9 = 18a1 .因为 a1 ≠ 0 ,所以 S3 + S6 ≠ 2 S9 , 由 题 设 q ≠ 1 . 从 而 由 S 3 + S 6 = 2S 9 得

a1 (1 ? q3 ) a1 (1 ? q 6 ) a (1 ? q9 ) + = 2? 1 ,化简得 1? q 1? q 1? q 2q 9 ? q 6 ? q 3 = 0 ,因为 q ≠ 0 ,所以 2q 6 ? q 3 ? 1 = 0 ,即 (2q 3 + 1)(q 3 ? 1) = 0 .又 q ≠ 1 ,
3

1 1 ,q = 3 ? . 2 2 S6 1 1 S ? S 3 + S 3 1 S 6 ? S3 1 1 1 3 = ? 6 = ?( + 1) = ? (q 3 + 1) = (? + 1) (Ⅱ)由 q = ? 得 2 2 S3 2 S3 2 S3 2 2 2
所以 q = ? =

S ? S6 S S ? S6 1 1 1 ;又 12 = q 6 = (? ) 2 = ,所以 6 = 12 ,从而 2S3,S6,S12-S6 成等比 4 2 4 2 S3 S6 S6 S 2 n 4n + 2 a + a2 = 得: 1 = 3, 所以 a2 = 2 , Sn n +1 a1
2 3 n ?1

数列. 21. (Ⅰ) 解: 设等差数列 {an } 的公差为 d ,由 即 d = a2 ? a1 = 1 ,所以 an = n 。 (Ⅱ)由 bn = an p n ,得 bn = np 。所以 Tn = p + 2 p + 3 p + L + ( n ? 1) p
a n

+ np n ,

当 p = 1 时, Tn = 当 p ≠ 1 时,

n(n + 1) ; 2

pTn = p 2 + 2 p 3 + 3 p 4 + L + (n ? 1) p n + np n +1 ,

(1 ? P)Tn = p + p 2 + p 3 + L + p n ?1 + p n ? np n +1 =
? n(n + 1) , p =1 ? 2 ? 即 Tn = ? . p (1 ? p n ) np n +1 ? ? , p ≠1 ? (1 ? p ) 2 1 ? p ?
第 6 页 共 6 页

p(1 ? p n ) ? np n +1 1? p


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