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江苏汉城国际学校2015年3月份月考高一数学试题


沛县汉城国际学校 2014~2015 学年度第二学期 3 月份质量检测

高 一 数 学 试 题
(命题:吴刘明,时间:120 分钟,总分:160 分)
一.填空(每题 5 分,共 70 分) 1.{an}是首项为 1,公差为 3 的等差数列,如果 an=2 011,则序号 n 等于________. 2.已知等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则 a12=________. 3.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前 4 项和为________. 4.等差数列{an}中,a1+a2+a3=-24,a18+a19+a20=78,则此数列前 20 项和等于________. 5.在数列{an}中,an+1= 2an ,对所有正整数 n 都成立,且 a1=2,则 an=______. 2+an

6.设数列{an}的通项公式为 an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a15|=_______. 7.在△ABC 中,已知 sin2B-sin2C-sin2A= 3sin Asin C,则角 B 的大小为________. 8 设点 A(—3,4),B(3,2 3 )直线 l 过点 P(1,0) ,且与线段 AB 相交,则直线 l 的 斜率 k 的取 值范围是 ,倾斜角α 的范围是

9.已知直线 l 经过点 P(1,2) ,且倾斜角等于直线 y ? 2 x ? 1 的倾斜角的 2 倍,直线 l 的方程 为 10.已知实数 x,y 满足 y=-2x+8,当 2≤x≤3 时,

y ?1 的取值范围是 x ?1

1? 11.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln? ?1+n?,则 an=________. 12.等比数列{an}中,S3=3,S6=9,则 a13+a14+a15=____________. 1 2 1 2 3 1 2 3 4 5 13.已知数列 1, , , , , , , , , ,…,则 是数列中的第________项. 2 1 3 2 1 4 3 2 1 6

14 已知数列{an}为等差数列,公差 d≠0,其中 ak1,ak2,…,akn 恰为等比数列,若 k1=1,k2=5,k3=17,则 k1+k2+…+kn=
二.解答题(14+14+14+16+16+16=90 分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.已知点(1,2)是函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1)的图象上一点,数列{an}的前 n 项和 Sn=f(n)-1. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 bn=logaan+1,求数列{anbn}的前 n 项和 Tn

16.在锐角 ?ABC 中, a ,b ,c 分别为内角 A , B ,C 所对的边,且满足 3a ? 2b sin A ? 0 .
1

(1)求角 B 的大小; (2)若 a ? c ? 5 ,且 a ? c , b ?

7 ,求 AB ? AC 的值.

17.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.

2

18.(1) an?1

? 2sn , a1 ? 1, 求通项a n .
1 (n ? 2) 成等比数列,且 a1 ? 1 ,求 2

(2)已知数列 ?an ? 的前 n 项和 S n 与 an 满足: a n , S n , S n ? 数列 ?an ? 的 通项a n 。

19、2015 银行申请个人住房公积金贷款 20 万元购买住房, 月利率 3.375‰,按复利计算,每月 等额还贷一次,并从贷款后的次月初开始还贷,如果 10 年还清,那么每月应还贷多少元? (精
120 . 003375 ?1 . 50 ) 确到 0.01,参考数据: 1

3

20.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 an , an ?1 ? . 3 1 ? 2an

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ? 20 ?

1 ,若数列 ? bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的表达式; an ?1? . ? cn xn ,求证: f ? ? ? 5 ( n ? N * ) ?2?

(3)记 cn ?

1 ,函数 f ( x) ? c1x ? c2 x2 ? c3 x3 ? an

4

沛县汉城国际学校 2014~2015 学年度第二学期 3 月份质量检测 高 一 数 学 参 考 答 案
一.填空
1.671 2 5. an=n. 9. 4x+3y—10=0 11.2+ln n n+1 1? ? 1? ∵an+1=an+ln? ?1+n?,∴an+1-an=ln?1+n?=ln n =ln(n+1)-ln n. 又 a1=2, ∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(an-an-1) =2+[ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+ln 4-ln 3+…+ln n-ln(n-1)] =2+ln n-ln 1=2+ln n. 解析 2.15 3.120 4.180

6. 153
10

7.150° 8.
3 5 4 3

(— ? ,—1]∪[ 3 ,+ ? ) ,
12. 48

[ , ] 11.2+ln n

12.解析

? ? 易知 q≠1,∴? a ?1-q ? ? ?S = 1-q =9
1 6 6

a1?1-q3? S3= =3 1-q



S6 ∴ =1+q3=3,∴q3=2. S3 ∴a13+a14+a15=(a1+a2+a3)q12=S3· q12=3×24=48. 13 解析 将数列分为第 1 组一个,第 2 组二个,…,第 n 组 n 个, n 1 2 1? ?1 2? ?1 2 3? ,…, ?, , , , , ,…,?n, 即? , 1? ?1? ?2 1? ?3 2 1? ? n-1 5 则第 n 组中每个数分子分母的和为 n+1, 则 为第 10 组中的第 5 个, 其项数为(1+2+3+… 6 +9)+5=50. 14.解 由题意知 a25=a1a17, 即(a1+4d)2=a1(a1+16d). ∵d≠0,由此解得 2d=a1. a5 a1+4d - 公比 q= = =3.∴akn=a1· 3n 1. a1 a1 kn+1 又 akn=a1+(kn-1)d= a, 2 1 kn+1 - ∴a1· 3n 1= a. 2 1 - ∵a1≠0,∴kn=2· 3n 1-1, - ∴k1+k2+…+kn=2(1+3+…+3n 1)-n=3n-n-1. 15.解 (1)把点(1,2)代入函数 f(x)=ax 得 a=2,
5

所以数列{an}的前 n 项和为 Sn=f(n)-1=2n-1. 当 n=1 时,a1=S1=1; - - 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-2n 1=2n 1, 对 n=1 时也适合, - ∴an=2n 1. (2)由 a=2,bn=logaan+1 得 bn=n, - 所以 anbn=n· 2n 1. - 0 1 Tn=1· 2 +2· 2 +3· 22+…+n· 2n 1,① - 2Tn=1· 21+2· 22+3· 23+…+(n-1)· 2n 1+n· 2n.② 0 1 2 n-1 由①-②得:-Tn=2 +2 +2 +…+2 -n· 2n, 所以 Tn=(n-1)2n+1. 16解: (1)因为 3a ? 2b sin A ? 0 , 所以 3 sin A ? 2sin B sin A ? 0 , 因为 sin A ? 0 ,所以 sin B ? 又 B 为锐角, 则 B ? (2)由(Ⅰ)可知, B ? ………………………………………… 2 分

?
3

3 . ……………………………………………3 分 2
…………………………………… 5 分

.

?
3

.因为 b ?
2 2

7,

根据余弦定理,得 7 ? a ? c ? 2ac cos 整理,得 (a ? c) ? 3ac ? 7 .
2

?
3

,……………………………7 分

由已知 a ? c ? 5 ,则 ac ? 6 . 又 a ? c ,可得 a ? 3 , c ? 2 . 于是 cos A ?
2 2 2

………………………………… 9 分 …………………… 11 分

b ?c ?a 7 ? 4?9 7 , ? ? 2bc 14 4 7

所以 AB AC ? AB AC cos A ? cb cos A ? 2 ? 7 ?

7 ?1. 14

……… 14 分

17.[解答] (1)证明:由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,有 a1+a2=4a1+2,a2=3a1+2=5,∴b1=a2- 2a1=3. 由 Sn+1=4an+2,① 则当 n≥2 时,有 Sn=4an-1+2.② ①-②得 an+1=4an-4an-1, ∴an+1-2an=2(an-2an-1). 又∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1, ∴{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.

6

(2)由(1)可得 bn=an+1-2an=3· 2n 1,∴


an+1 an 3 + - n= , 2n 1 2 4

?an? 1 3 ∴数列?2n ?是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 4 ? ?

an 1 3 3 1 ∴ n= +(n-1) = n- , 2 2 4 4 4 ∴an=(3n-1)· 2n 19
-2

.

设每次付 x 元,共付 120 次,则有

答:每月应还贷款 2029.66 元 20.(1)an=

1 2n ? 1

(2)Sn=

—n2+18n n≤9 n2+18n+162 n>9

(3)f(

1 1 1 —— )=5 —( )n 2 —(2n+1)×( )n<5 2 2 2

7


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