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高中数学必修5第二章数列课件 等差数列的性质


复习: 1、等差数列的概念; 2、等差数列的定义式;

d=an-an-1
3、等差数列的通项公式。

an=a1 +(n-1)d

练习1、等差数列{an}的前三项和为12,
前三项积为48,求an。

三个数等差的设法:a-d,a,a+d

练习2、成等差数列的四个数之和为26,第二 个与第三个数之积为40,求这四个数。 四个数等差的设法:
a-3d,a-d,a+d,a+3d

公差为2d。

性质一、 d=an-an-1 an-am=(n-m)d

性质二、
1、若一个数列的通项公式为n的一次函数 an=pn+q,则这个数列为等差数列,p=公差d .
2、非常数列的等差数列通项公式是关于n的一次函数. 常数列的等差数列通项公式为常值函数。

an=3n+5 y=3x+5 a1=8,d=3
17 14 11

an=12-2n a1=10,d=-2
10 8 6

y=12-2x

8
1 2 3 4

4
1 2 3 4

an ? a1 ?(n - 1)d ? dn ?(a1 ? d), 设p ? d, ?(a1 ? d), n ? pn ? q q 则a

p ? 0,即d ? 0时,an是关于n的一次函数, 即(n, n )在一次函数y? px ? q的图像上, a 是均匀排开的一群孤点

p ? 0, 即d ? 0时,等差数列为常数 列, 即在常值函数y? q的图像上,是平行 于x轴(或x轴)的直 线上的均匀分布 的一群孤立的点

性质三、
a,A,b为等差, a?b 则A为a,b的等差中项且A ? 2

思考.若在a, b中插入一个数A,使a,A,b成 等差数列,那么A应该满足什么条件?

1、数列1,3,5,7,9,11,13……中7是 那些项的等差中项? 2、求下列两个数的等差中项: (1)30与18; (2)-13与9。 3、在-1与9之间顺次插入a,b,c三个数, 使这五个数成等差数列,求插入的三个数和 等差数列的公差?

如何判断一个数列为等差数列
(1)定义法:a n ? a n ?1 ? d(常数)(n ? 1) ? {a n }为等差数列 (2)递推法: n ?1 ? a n ? a n ?2 (常数)(n ? 1) ? {a n }为等差数列 2a (3)通项法:a n为n的一次函数? {a n }为等差数列

性质四、
数列{an}是等差数列,m、n、p、q∈N+, 且m+n=p+q,,则am+an=ap+aq。
判断: (1)a ? a ? a ? a 3 5 1 7

注意:等式两 (3)a1 ? a 5 ? a 6 ? a 2 ? a 3 ? a 7 边作和的项数 必须一样多 (4)a3 ? a 4 ? a 5 ? 3a4

(2)a1 ? a 4 ? a 6 ? a 3 ? a 8

可推广到三项, 四项等

(5)a3 ? a 4 ? a 5 ? 4a3

a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ? ? ak ? an?k ?1

练习1:已知{a n }为等差数列, a4 ? a6 ? 10, 5 求a

练习2:已知{a }为等差数列, n a1 ? a8 ? a1 3 ? a1 8 ? 100, 1 0 求a

变式1:已知{a }为等差数列, n a 4 ? a 5 ? a6 ? a7 ? 56, 4 a7 ? 187, a 求a1,d
变式2:已知{an }为等差数列, a 2 ? a 5 ? a 8 ? 9, 3a 5a7 ? ?21, a 求数列通项公式

性质五、
已知一个等差数列的首项为a1,公差为d a1,a2,a3,……an
(1)将前m项去掉,其余各项组成的数列是等差数 列吗?如果是,他的首项与公差分别是多少?

am+1,am+2,……an是等差数列 首项为am+1,公差为d,项数为n-m

性质五、
已知一个等差数列的首项为a1,公差为d a1,a2,a3,……an
(2)取出数列中的所有奇数项,组成一个数列,是等 差数列吗?如果是,他的首项与公差分别是多少?

a1,a3,a5,……是等差数列 首项为a1,公差为2d
取出的是所有偶数项呢?

a2,a4,a6,……是等差数列

首项为a2,公差为2d

性质五、
已知一个等差数列的首项为a1,公差为d a1,a2,a3,……an

(3)取出数列中所有项是7的倍数的各项,组成一个数列, 是等差数列吗?如果是,他的首项与公差分别是多少?

a7,a14,a21,……是等差数列 首项为a7,公差为7d
取出的是所有k倍数的项呢?

ak,a2k,a3k,……是等差数列

首项为ak,公差为kd

性质五、
已知一个等差数列的首项为a1,公差为d a1,a2,a3,……an

(4)数列a1+a2,a3+a4,a5+a6,……是等差数列吗 公差是多少?

a1+a2,a3+a4,a5+a6,……是等差数列,公差为2d 数列a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5……是 等差数列吗?公差是多少? a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5……是等差数列, 公差为3d。

例: 等差数列中, 1 ? a 4 ? a 7 ? 19, a

a 2 ? a 5 ? a 8 ? 13, 求a 3 ? a 6 ? a 9

性质六、
1、若数列{an}为等差数列,公差为d,则{kan} 也为等差数列,公差为kd。

2、若数列{an}与{bn}都为等差数列,则{an+bn} 也为等差数列,{an-bn}也为等差数列, {pan+qbn}也为等差数列。

例:等差数列 a n }和{b n }中,a1 ? 34, b1 ? 66, { a 98 ? 85, b98 ? 15, 求a 2008 ? b 2008


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