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高三一轮复习精题组同角三角函数基本关系及诱导公式(有详细答案)

名师推荐 精心整理 学习必备 § 4.2 同角三角函数基本关系及诱导公式 1. 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系: =tan α. cos α 2. 下列各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α 图示 与角 α 终边的 关系 角 π-α π -α 2 π +α 2 相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 图示 与角 α 终边的 关系 3. 六组诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 一 2kπ+α (k∈Z) sin_α cos_α tan_α 关于 y 轴 对称 关于直线 y=x 对称 二 π+α -sin_α -cos_α tan_α 三 -α -sin_α cos_α -tan_α 四 π-α sin_α -cos_α -tan_α 五 π -α 2 cos_α sin_α 六 π +α 2 cos_α -sin_α 名师推荐 精心整理 学习必备 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 1. 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)sin(π+α)=-sin α 成立的条件是 α 为锐角. ( × ) (2)六组诱导公式中的角 α 可以是任意角. ( × ) ( × ( × ) ) 1 1 (3)若 cos(nπ-θ)= (n∈Z),则 cos θ= . 3 3 m-3 4-2m π (4)已知 sin θ= ,cos θ= ,其中 θ∈[ ,π],则 m<-5 或 m≥3. 2 m+5 m+5 (5)已知 θ∈(0,π),sin θ+cos θ= ( × ) 3-1 3 ,则 tan θ 的值为- 3或- . 2 3 1+2sin αcos α 1 1 (6)已知 tan α=- ,则 的值是- . 2 3 sin2α-cos2α 1 π 2. 已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈(- ,0),则 tan(2π-α)的值为 4 2 ( ) 2 5 B. 5 2 5 C .± 5 D. 5 2 ( √ ) 2 5 A.- 5 答案 B 解析 1 2 sin(π-α)=sin α=log8 =- , 4 3 π 又 α∈(- ,0), 2 得 cos α= 1-sin2α= 5 , 3 sin α 2 5 tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=- = . cos α 5 2sin α-cos α 3. 若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 答案 3 4 名师推荐 精心整理 学习必备 2tan α-1 3 解析 原式= = . tan α+2 4 π ? 2 2π -α = ,则 sin?α- ?=________. 4. 已知 cos? 3? ?6 ? 3 ? 2 答案 - 3 解析 2π? ? π ?π ?? sin? ?α- 3 ?=sin -2-?6-α? ? ? π π π 2 -α??=-cos? -α?=- . =-sin?2+? 6 ?? ?6 ? ? ? 3 ?2cos πx,x≤2 000, ? 3 5. 已知函数 f(x)=? 则 f[f(2 015)]=________. ?x-15,x>2 000, ? 答案 -1 解析 ∵f[f(2 015)]=f(2 015-15)=f(2 000), 2 000π 2 ∴f(2 000)=2cos =2cos π=-1. 3 3 题型一 同角三角函数关系式的应用 例1 3 (1)已知 cos(π+x)= ,x∈(π,2π),则 tan x=________. 5 (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ 等于 ( ) 5 B. 4 3 C.- 4 4 D. 5 4 A.- 3 思维启迪 (1)应用平方关系求出 sin x,可得 tan x; (2)把所求的代数式中的弦转化为正切,代入可求. 答案 解析 4 (1) (2)D 3 3 3 (1)∵cos(π+x)=-cos x= ,∴cos x=- . 5 5 又 x∈(π,2π), ∴sin x=- 1-cos2x=- 3 4 1-?- ?2=- , 5 5 名师推荐 sin x 4 = . cos x 3 2 精心整理 学习必备 ∴tan x= sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ (2)sin θ+sin θcos θ-2cos θ= sin2θ+cos2θ 2 sin2θ sin θcos θ + -2 tan2θ+tan θ-2 22+2-2 cos2θ cos2θ 4 = = = 2 = . 2 sin2θ 5 tan θ+1 2 +1 2 +1 cos θ sin α 思维升华 (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以实现角 α 的正弦、 余弦的互化, 利用 =tan α cos α 可以实现角 α 的弦切互化. (2)应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个 式子,利用(sin α± cos α)2=1± 2sin αcos α,可以知一求二. (3)注意公式逆用及变形应用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α. 1+sin x 1 cos x (1)已知 =- ,那么 的值是 cos x 2 sin x-1 1 A. 2 1 B.- 2 C .2 D.-2 ( ) (2)已知 tan θ=2,则 sin θcos θ=________. 答案 2 (1)A (2) 5 1+sin x sin x-1 sin2x-1 (1)由于 · = =-1, cos x cos x cos2x 解析 故 1 = . sin x-1 2

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